贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究

贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究摘要：本文介绍了贝努里-欧拉（Bernoulli-Euler）梁和铁木辛柯（Timoshenko）梁理论，讨论了它们的基本假设，运用Mathematica软件推导了两者的运动方程，分析了贝努里-欧拉梁和铁木辛柯梁的不同之处，并通过一个简单的算例，运用ANSYS有限元分析软件计算了细长梁和短梁分别用贝努里-欧拉梁理论和铁木辛柯梁理论时的挠度，对两者的不同之处进行对比与分析。关键词：贝努里-欧拉梁；铁木辛柯梁；Mathematica；ANSYSComparativeStudyonTheoriesofBernoulli-EulerbeamandTimoshenkobeamAbstract:ThisarticlefirstlyintroducesthetheoriesofBernoulli-EulerbeamandTimoshenkobeam,andtheirbasicassumptions.ThenmotionequationofthetwobeamsisderivedbythesoftwareofMathematica.LastanalyzingthedifferencebetweenBernoulli-EulerbeamandTimoshenkobeambyanexamplewhichcalculatesthedeflectionoftheslenderbeamandshortbeamwiththetheoriesofBernoulli-EulerbeamandtheTimoshenkobeambythefiniteelementanalysissoftwareofANSYS,thedifferencebetweenthetwobeamsisalsocomparedandanalyzed.Keywords：Bernoulli-Eulerbeam;Timoshenkobeam;Mathematica;ANSYS1引言现今应用中的梁理论主要有：（1）精确的弹性方程；（2）Bernoulli-Euler-梁理论；（3）Timoshenko梁理论。弹性理论方法有一个主要的缺点是只能精确的求解极少问题，因此它并不具有很好的吸引力，本文不做详细介绍。Euler-Bernoulli梁理论认为横截面在变形前和变形后都垂直于中心轴并不受任何应变，也就是说其构型仍无缺的。换句话说，翘曲和横向剪切变形的影响和横向正应变非常小，所以可以忽略不计。这些假设对细长梁是有效的。无横向剪切意味着横截面的旋转只由挠曲引起。对于深梁，高频模态的激励，复合材料梁问题，横向剪切不可以忽略。将横向剪切变形加入Bernoulli-Euler-梁模型就得出Timoshenko梁理论。在此理论中，为了简化运动方程的导数，剪应变在一个给定横截面上是常值。接着引入剪切校正因子来解释这种简化，其值取决于横截面的形状。在横向剪切的存在下，横截面的旋转就由挠曲和横向（平面外）剪变形引起。贝努里-欧拉梁：假设梁只有弯曲变形，而梁对剪切变形完全刚性，即忽略了剪切变形和转动惯量（注意：虽然计算切应力，但剪切变形没考虑)。认为初始垂直于轴线的截平面在变形时仍保持为平面垂直于轴线（Kirchhoff假设）和刚性横截面假定。在这个假定中，实际上认为弯曲变形是主要的变形，因而不计剪切变形。例如：材料力学中剪应力的计算方式，它是通过平衡方程而非变形协调方程得到的，这对于高度远小于跨度的实腹梁来说，不会引起显著的误差，适用于梁的高度远小于跨度情况下。铁木辛柯（Timoshenko）梁理论：考虑剪切变形与转动惯量。需要考虑横向剪切变形影响的情况，如高度相对跨度不太小的深梁。此时，梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度，并使原来垂直于中性面的截面变形后不再与中性面垂直，且发生翘曲。经典梁理论也叫Bernoulli－Euler梁理论，它是建立在最基本的初等假设基础上的，因此它的结果只有当细长梁在低频时才与理论值接近，当在高阶模态或梁为短粗梁时，其结果与真实情况相差很大。铁木辛柯在1921－1922年提出了Timoshenko梁理论，这个理论同时考虑了梁的弯曲变形引起的转动惯量和梁的剪切变形，这个理论大大地改善了以往的梁的动力学理论。它使得梁在模态阶数不是很高时，在即使不是细长的情况下，它的动力参数的精度也得到了很好的改善。因此Timoshenko梁理论也被广泛的运用到很多实际工程上。对于大多数受各种荷载作用的梁，由弯曲产生的挠度都必须考虑，然而对于比较短的深梁，还必须考虑由于剪切引起的挠度。贝努里-欧拉梁理论不考虑梁剪切变形引起的挠度，而铁木辛柯梁则可以考虑剪切变形引起的挠度。简而言之，铁木辛柯（Timoshenko）梁理论是对欧拉－伯努利梁理论的发展。Timoshenko梁就是能考虑剪切变形的效应，在有限元中，它的位移和截面转角是独立插值的，而不是由位移的导数来求得。2贝努里-欧拉梁理论与铁木辛柯梁理论及其差异2.1贝努里-欧拉梁理论Bernoulli-Euler梁理论，又称工程梁理论，最早出现，获得了广泛的应用。它简单易用，并且对许多问题都能给出可以接受的工程近似解答。BeBernoulli-Euler梁理论轻微的高估了高阶阵型的频率，同时，对于细长梁的解答要优于非细长梁。简单来说，Bernoulli-Euler梁理论忽略了剪切变形和转动惯量，认为初始垂直于中性轴的截平面在变形时仍保持为平面垂直于中性轴（Kirchhoff假设），即认为截面的转动等于挠度曲线切线的斜率。适用于梁的高度远小于跨度情况下。2.1.1贝努利-欧拉梁的基本假设Bernoulli-Euler梁理论，又称工程梁理论，最早出现，获得了广泛的应用。它简单易用，并且对许多问题都能给出可以接受的工程近似解答。Bernoulli-Euler梁理论轻微的高估了高阶阵型的频率，同时，对于细长梁的解答要优于非细长梁。欧拉－伯努利梁理论有两个假设：（1）变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；变形后横截面的平面仍与变形后的轴线相垂直。图1Bernoulli-Euler梁的计算简图2.1.2贝努里-欧拉梁运动方程的推导假设梁上分布有横向荷载沿Z方向作用，则在z方向考虑微元段的动力平衡，根据达朗贝尔原理可得：（2.1）式中：为材料密度；A为横截面积，由假设知，微元段的转动惯性效应不考虑，则弯矩的平衡方程由静力的形式给出：（2.2）将上式带入（2.1）式有：（2.3）由贝努里-欧拉弯矩-曲率关系：，可得下式：（2.4）公式2.4即是欧拉梁的运动方程。2.2铁木辛柯梁理论铁木辛柯梁理论是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。简单来说，铁木辛柯梁理论考虑剪切变形与转动惯量。需要考虑横向剪切变形影响的情况，如高度相对跨度不太小的深梁。此时，梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度，并使原来垂直于中性面的截面变形后不再与中性面垂直，且发生翘曲。2.2.1铁木辛柯的基本假设在描述杆的弯曲运动时考虑剪切变形，可得一个对于长细比不大的短梁长能产生更为满意结果的模型。Rayleigh首先提出了在初等梁理论中增加转动惯性的影响，而Timoshenko又指出剪切变形的影响与转动惯性的影响是同等重要的．所谓Timoshenko梁理论是同时考虑了两种效应的影响对初等理论进行了修正。这一模型中，仍假定截面平面保持为平面，但不再毂定平面截面保持与中性面垂直。铁木辛克梁理论有两个假设：变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；（2）由于欧拉－伯努利梁的第二个假设忽略了梁的剪切变形，对于有效长度较短或复合材料梁板桥时，忽略剪切变形是不妥的，铁木辛克提出让梁的应力应变关系得到满足。图2Timoshenko梁的计算模型2.2.2铁木辛柯梁运动方程的推导首先，考虑转动惯性的影响时Rayleigh的矫正模型，设由弯曲变形单独产生的挠度为、与杆横截面上的弯矩之间有材料力学中熟知的关系：（2.5）式中，I为杆的横截面对与杆的弯曲平面垂直的中性轴的惯性矩．考虑微元体的平衡条件。分别为单元段所受的剪力和弯矩，为单位杆长所受的外力．由挠度产生的单位杆长的惯性力为，这里A为杆的横截面面积。由转动产生的惯性力矩为：，单元体沿z方向力的平衡方程为：（2.6）单元体的力矩平衡为：（2.7）将式（2.5）代入式（2.7）可得：（2.8）下面推导Timoshenko梁的运动方程，在以上方程基础上计入剪切变形的影响，则梁的挠度由两部分组成：其中是弯曲引起的挠度，是剪切引起的挠度。将上式对x求偏导，则有：有材料力学知：弯矩M与有如下关系（2.9）剪力Q与的关系为：（2.10）上式表示总剪应力和某种平均剪应变之间的关系。其中，G为剪切弹性模量，K是反映梁不是处于均匀剪应力状态的与截面形状有关的数值因子。将（2.9）和（2.10）代入转到平衡方程，可得：（2.11）平动的平衡方程为：（2.12）将（2.10）代入上式得：（2.13）（2.11）和（2.13）式即为Timoshenko梁的运动方程。2.3贝努里-欧拉梁和铁木辛柯梁的差异贝努里-欧拉梁理论有两个假设：变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；变形后横截面的平面仍与变形后的轴线相垂直。铁木辛克梁理论有两个假设：变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；由于欧拉－伯努利梁的第二个假设忽略了梁的剪切变形，对于有效长度较短或复合材料梁板桥时，忽略剪切变形是不妥的，铁木辛克提出让梁的应力应变关系得到满足。由两者的基本假设，可以看出，主要区别在于第二个假设。（1）贝努里-欧拉梁不考虑剪切变形的影响，总挠度中把剪切引起的挠度忽略不计，而铁木辛柯梁则考虑了剪切变形的影响。所以。基于铁木辛柯梁理论计算出来的挠度会大于欧拉梁的挠度。（2）对于细长梁而言，由于其以弯曲变形为主，剪切变形的影响很小，可以忽略，两种梁上午挠度计算结果差别不大，而对于短梁来说，剪切变形的影响较大，铁木辛柯梁计算出来的结果会有大于欧拉梁计算的结果。也可以简单的说，铁木辛柯（Timoshenko）梁理论是对欧拉－伯努利梁理论的发展。3计算实例用有限元软件ANSYS分别选用两种单元计算跨中挠度，并做比较，验证以上结论。具体计算中建立一个长梁（高跨比为1/15）和一个短梁（高跨比为1/5）分别加以比较。3.1短梁的计算在ANSYS中建立一个长2.5m，截面高度为0.5m，高跨比为1/5的两端固支的梁，在跨中施加荷载20KN。除了以上高跨比不同外，其他的参数，如材料参数（弹性模量、泊松比）、荷载大小、荷载作用位置、有限元模型划分的段数都与细长梁保持统一，以对计算结果做验证比较。有限元模型如下图3：图3两端固支短梁分别用beam3和beam188单元来模拟计算，取节点挠度作为比较，并计算剪切变形引起的挠度和总挠度之比，计算结果如下表1所示：表1短梁不同单元计算结果节点Beam3Beam188/21.58E-073.21E-070.508935.34E-078.61E-070.379849.83E-071.47E-060.332851.36E-062.01E-060.324861.52E-062.33E-060.350171.36E-062.01E-060.324889.83E-071.47E-060.332895.34E-078.61E-070.3798101.58E-073.21E-070.5089上表中/表示，剪切变形所引起的挠度与总挠度之比，由表中数据可知，对于短梁来说，剪切变形引起的挠度非常明显，大部分节点剪切变形挠度只占30%以上，最大超过50%，剪切变形引起的挠度不可忽略。3.2长梁的计算在ANSYS中建立一个长4.5m，截面高度为0.3m，高跨比为1/15的两端固支的梁，在跨中施加荷载20KN。有限元模型如下图4：图4两端固支细长梁分别用beam3和beam188单元来模拟计算，取节点挠度作为比较，并计算剪切变形引起的挠度和总挠度之比，计算结果如下表2所示：表2细长梁不同单元计算结果节点Beam3Beam188/27.41E-067.10E-060.041732.46E-052.40E-050.025044.52E-054.42E-050.020556.24E-056.12E-050.019866.98E-056.83E-050.022176.24E-056.12E-050.019884.52E-054.42E-050.020592.46E-052.40E-050.0250107.41E-067.10E-060.0417上表中/表示，剪切变形所引起的挠度与总挠度之比，由表中数据可知，对于细长梁来说，剪切变形引起的挠度非常微小，大部分节点剪切变形挠度只占2%左右，最大不超过5%，可以忽略不计。3.3结论由算例结果，可以很明显的看出，对于细长梁来说，剪切变形可以忽略不计，故而采用欧拉梁就可以达到较高的精度；而对于短梁，则必须考虑剪切变形的影响，应该选用铁木辛柯梁来模拟计算。Euler-Bernoulli梁简单易用，并且对许多问题都能给出可以接受的工程近似解答。Euler-Bernoulli梁理论轻微的高估了高阶阵型的频率，同时，对于细长梁的解答要优于非细长梁。Rayleigh梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，考虑了梁横截面转动的影响，一定程度上降低了Euler-Bernoulli理论对频率的高估程度，但Rayleigh理论依然高估了梁的频率。Timoshenko梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，同时考虑了梁横截面转动和剪切变形的影响。对于剪切和转动效应不可忽略的情况，如非细长梁和高阶模态，分析结果有显著改进。故，铁木辛柯（Timoshenko）梁理论是对欧拉－伯努利梁理论的改进和发展。4结语梁理论主要有四种：Euler-Bernoulli梁理论、Rayleigh梁理论、Shear梁理论、Timoshenko梁理论。本文主要研究了Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko梁理论。Euler-Bernoulli梁理论，又称工程梁理论，最早出现，获得了广泛的应用。它简单易用，并且对许多问题都能给出可以接受的工程近似解答。Euler-Bernoulli梁理论轻微的高估了高阶阵型的频率，同时，对于细长梁的解答要优于非细长梁。Rayleigh梁理论在Euler-Bernoulli理论的基础上，考虑了梁横截面转动的影响，一定程度上降