高中数学 13《空间几何体的表面积与体积柱体、锥体、台体》人教A版必修2

1、1 1、3 3 空间几何体的空间几何体的表面积与体积表面积与体积1.3.1柱体、椎体、台体柱体、椎体、台体的的表面积与体积表面积与体积问题提出问题提出 1. 1.对于空间几何体，我们分别从结对于空间几何体，我们分别从结构特征和视图两个方面进行了研究，为构特征和视图两个方面进行了研究，为了度量一个几何体的大小，我们还须进了度量一个几何体的大小，我们还须进一步学习几何体的表面积和体积一步学习几何体的表面积和体积. . 2. 2.柱、锥、台、球是最基本、最简柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，研究空间几何体的表面积单的几何体，研究空间几何体的表面积和体积，应以柱、锥、台、球的表面积和体积，应以柱

2、、锥、台、球的表面积和体积为基础和体积为基础. .那么如何求柱、锥、台、那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？球的表面积和体积呢？知识探究知识探究 .柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 思考思考: :面积是相对于平面图形而言的，体面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的积是相对于空间几何体而言的. .你知道面你知道面积和体积的含义吗？积和体积的含义吗？面积面积:平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 体积体积:几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的

3、展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积探究探究 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的几

4、何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？的表面积？ 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？/h/h正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、

5、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体

6、因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，ABCBCSD OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆

7、柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？关系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：

8、2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31

9、探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 31 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱棱锥锥)

10、 )截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台( (棱台棱台) )的的体积公式体积公式( (过程略过程略) )根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31讨论：台体的上底面积讨论：台体的上底面积S S，下底面积，下底面积S S，高，高h h，由，由此如何计算切割前的锥体的高？此如何计算切割前的锥体的高？ 如何计算台体的体积？如何计算台体的体积？解解:设切割设切割前的锥体的高前的锥体的高为为x,则则:2()xSxSxhShSSSxhSS11()33VS hxS

11、 x 为高。分别为上、下底面积，、其中台体hSShSSSSV)(312211()()33VSS SS hrrRRh圆台想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令同时，台成为柱。因此只要分别令S=SS=S和和S=0S=0便便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式从而锥、柱的公

12、式可以统一为台体的体积公式棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高SS柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV SS S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV310SS为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小思考思考关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等

13、；）相同的几何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3

14、/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个巩固练习：巩固练习：1.1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。这三部分自上而下的体积之比。2 2、棱台的两个底面面积分别是、棱台的两个底面面积分别是245c245cm m2 2和和8080m m2 2，截得这个棱台的棱锥的高为截得这个棱台的棱锥的高为35cm35cm，求这个棱台的，求这个棱台的体积。体积。（答案：（答案：2325cm2325cm3 3）3.3. 已知圆锥的侧面积是底面积的已知圆锥的侧面积是底面积的2 2倍，它的轴截倍，它的轴截面的面积为面的面积为4 4，求圆锥的体积，求圆锥的体积. .4.4. 高为高为12cm12cm的圆台，它的中截面面积为的圆台，它的中截面面积为225cm225cm2 2, ,体积为体积为2800cm