工程数学线性代数课件第一章

1、第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开，1记ijjiijMA定义定义在在n阶行列式阶行列式D中，划掉元素中，划掉元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后留下的列后留下的n 1阶行列式称为元素阶行列式称为元素aij的的余子式余子式。记作。记作Mij.称为称为aij的的代数余子式代数余子式.例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定理定理.1.1 n阶行列式阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行等于它的任意一行（列）的各

2、元素与其对应的代数余子式乘积之（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即和。即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 定理定理3.2 n阶行列式阶行列式D中某一行（列）的各个元中某一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

3、之和等于零。即., 02211kiAaAaAainknikik., 02211kjAaAaAanjnkjkjk或或证明证明 我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第为一个行列式按第i行的展开式，该行列式的特点行的展开式，该行列式的特点是：第是：第i行的元素就是行的元素就是D中第中第k行的元素，而且它的行的元素，而且它的第第i行与行与D的第的第i行对应的元素有相同的代数余子式。行对应的元素有相同的代数余子式。于是知该行列式为于是知该行列式为nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaaB21212111211ik由于由于B中第中第i行与

4、第行与第k行相同，则行相同，则B0，故，故., 02211kiAaAaAainknikik., 02211kjAaAaAanjnkjkjk同理可证同理可证证毕证毕把把定理定理3.1及及定理定理3.2结合起来结合起来,便得到了两个重要便得到了两个重要公式：公式：设设n阶行列式阶行列式D，则，则;,0,1kikiDAantitkt当当;,0,1kjkjDAanttjtk当当0532004140013202527102135 D例例1 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252

5、53204140132021352152 13rr 122 rr 例例2 计算行列式计算行列式D=|aij|n，其中其中aij=|i j|.解：写出此行列式观察其特征解：写出此行列式观察其特征043211543240123310122210113210nnnnnnnnnnnn=( 1)n+1(n 1)2n-2.例例3计算计算n阶行列式阶行列式xaaaaxxxDnnn12110001001解解按第按第1列展开列展开111) 1() 1(nnnnnaxDDnnaxD1nnnaaxDx)(12nnnaxaDx122nnnnaxaxaDx12211xaD11nnnnnnaxaxaxaxD12211而而

6、所以所以练习练习：计算：计算aaaaaaaaa110001100011000110001 行列式的展开定理行列式的展开定理3.1可以进一步推广。为此我可以进一步推广。为此我们将元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。们将元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。定义定义 在在n阶行列式阶行列式D中选取中选取k行、行、k列列(1 k n) ，由这些行、列相交处的元素所构成的由这些行、列相交处的元素所构成的k阶行列式，阶行列式，称为称为D的的k阶子式阶子式。记作。记作N。在行列式。在行列式D中去掉中去掉k阶子式阶子式N所在行、列以后得到的所在行、列以后得到的n k阶行列式称阶行列式称为该为该k阶子式

7、的阶子式的余子式余子式。记作。记作M。若。若N所在的行所在的行序数为序数为i1,i2,ik，所在的列序数为，所在的列序数为j1,j2,jk，那那么么Mkkjjii11) 1(称做称做N的的代数余子式代数余子式。 定理定理3.3 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理设在设在n阶行列式阶行列式D中任意选取中任意选取k个行（列）个行（列） (1 k n-1) ，找出位于这找出位于这k行（列）中的一切行（列）中的一切k阶子式阶子式N1,N2,Nt及及其对应的代数余子式其对应的代数余子式A1,A2,At，则有，则有 其中其中,12211tiiittANANANAND.knCt 例例4计算五阶行列式

8、计算五阶行列式5100065100065100065100065D解解利用定理利用定理3.3，把行列式，把行列式D按前二行展开，按前二行展开，前二行共有前二行共有 C52=10 个二阶子式，但其个二阶子式，但其中不为中不为0的只有三个的只有三个 1951651N3061052N3665063N与与N1, N2, N3对应的代数余子式分别为对应的代数余子式分别为,65510651065) 1(21211A332211ANANAND19306519665所以所以,19510650061) 1(31212A, 0510650060) 1(32213A例例5计算计算2n阶行列式阶行列式dcdcdcba

9、babaDn2解法解法1按第一行展开有按第一行展开有ddcdcbabaaDn00002ocdcdcbababn000) 1(21) 1(2112) 1(2) 1(nnnDbcadD) 1(2)(nDbcad) 1(22)(nnDbcadD)2(22)(nDbcad以此作递推公式，即可以此作递推公式，即可得得21)(Dbcadndcbabcadn 1)(nbcad)(解法解法2利用定理利用定理3.3，按第，按第n,n+1行这两行展行这两行展开行列式，立即可得开行列式，立即可得) 1(22nnDdcbaD) 1(2)(nDbcad)2(22)(nDbcad21)(Dbcadnnbcad)(例例6 计算计算n阶行列式阶行列式)!2(2222232222222221nn例例7 计算计算2n阶行列式阶行列式.00001111111111112nnnnnnnnnnnnnbbbbaaccaaccD例例3证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证明证明对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的