概率论与数理统计习题及答案

1、概率论与数理统计习题及答案第八章1.设X1,X2,|,Xn是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为的指数分布，Ho：未知，给定oo和显著性水平(o2检验统计量及否定域.试求假设Ho:选统计量noXii1onXXi,122_(2n),对于给定的显著性水平,2，,查分布表求出临界值2(2n),可见Ho:122|(2n)2,所以(，122(2n)22_、(2n),从而P12(2n)o的否定域为P2(2n)2.某种零件的尺寸方差为(2n).1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56,29.66,31.64,3o.oo,21.87,3103。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺

2、寸能否认为是32.50毫米(0.05).解问题是在2已知的条件下检验假设Ho:32.50Ho的否定域为|u|u/2其中X32.50:29.4632.50八八一u.n2.456.771.1Uo.0251.96,因|u|6.771.96,所以否定H。，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。3 .设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100,今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值不低于1600。解问题是在2已知的条件下检验假设H0:1600H0的否定域为uu/2,其中uX1600届158016005.11.02.100100u0.051

3、.64.因为u1.021.64U0.05,所以接受H。，即可以认为这批产品的指标的期望值不低于1600.4 .一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，问这批元件是否合格？(0.05)2解设元件寿命为X,则XN(,100),问题是检验假设H0:1000.H。的否定域为uu0.05,其中X10009501000LCLu.2552.5100u0.051.64因为u2.51.64u0.05所以否定H0,即元件不合格.5 .某批矿砂的5个样品中馍含量经测定为X(%)：3.25,3.27,3.24

4、,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的馍含量为3.25(0.01)?2解问题是在2未知的条件下检验假设H。：3.25H0的否定域为|t|t/2(4)c215_2cX3.252,S(Xi5X)0.00017,S0.0134i1to.4.6041,X3.25.3.2523.25,t52.240.345S0.013因为|t|0.3454.6041t0.005(4)所以接受H0,即可以认为这批矿砂的馍含量为3.25.6.糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下：99.3, 98.7,100.

5、5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5问该日打包机工作是否正常(0.05;已知包重服从正态分布)？o19解X99.98,S2-(XiX)2)1.47,S1.21,8i1问题是检验假设H0:100H。的否定域为|t|t/2(8).其中,X100-99.98100t一；930.05S1.21t0.025(8)2.306因为|t|0.052.306t0.025(8)所以接受H。，即该日打包机工作正常.7.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量(单位：毫克)如下(1) 21,20,23,21

6、,19,15,13,16,(2) 17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(0.025)解设X为维生素C的含量，则XN(,2),X20,S2419.625,S20.485,n17.问题是检验假设H。：21.(1)Ho:21.(2)选择多计量t并计算其值：,X21-2021tn170.20S20.485(3)对于给定的0.025查t分布表求出临界值t(n)to.025(16)2.2.(4)因为to.025(16)2.200.20t。所以接受Ho,即认为维生素含量合格.8.某种合金弦的抗拉强度XN(,2),由过去的经验知1056

7、0(公斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(0.05)2解X10631.4,S6558.89,S80.99,n10.问题是检验假设H0:10560(1)H0:10560.(2)选统”量并计算其值.X10560.10631.410560t:n:10S80.992.772(3)对于0.05,查t分布表，得临界值t(9)t0.05(9)1.833.(4)因t0.05(9)1.8332.772t,故否定H。即认

8、为抗拉强度提高了。9.从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S0.025,问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.0004有无显著差别？(0.05,椭圆度服从正态分布)。一_22解S0.025,S20.00065,n15,问题是检验假设H。：20.0004(1)H0:220.0004.2(2)选统计量2并计算其值2(n1)S220140.000650.000422.752.(3)对于给定的0.05,查2分布表得临界值2/2(14)2.025(14)26.119,12/2(14)0.975(14)5.629.222(4)因为0.9755.62922.75。磔26.119所以接受H。，即总体方差

9、与规定的20.0004无显著差异。10.从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80?(0.05,熔化时间服从正态分布).2_,2解X62.4,S121.82,n10,问题是检验假设H。：80.22(1)Ho:800；2(2)选统计量2并计算其值9121.828013.705_2(n1)S202(3)对于给定的0.05,查分布表得临界值22(n1)0.05(9)16.919.22(4)因13.70516.9190.05,故接受H0,即可以认为方差不大于80。11.对两种羊毛织品进行强度

10、试验，所得结果如下第一种138,127,134,125;第二种134,137,135,140,130,134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(0.05)2解设第一、二种织品的强度分别为X和Y,则XN(1,),2YN(2,)2X131,S36.667,n14Y135,S；35.2,n26问题是检验假设H0:12(3) H0:12(2)选统计量T并计算其值.TXYnn213113546(n11)S2(n21)SHn1n2336.667535.2,46:n1n22:4621.295(3)对于给定的0.05,查t分布表得临界值t/2(n1n22)t0.025(

11、8)2.3069.(4)因为|t|1.2952.3069tog©),所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。12.在20块条件相同的土地上,同时试种新旧两个品种的作物各十块土地,其产量(公斤)分别为旧品种78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;新品种79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体(方差相等)，问新品种的产量是否高于旧品种？(0.01)2.解设X为新品种产量，Y为旧品种产量；XN(1,),2.YN(2,),问题是检验假

12、设H0:12X79.43,S22.2246,n110Y76.23,Sf3.3245,n210选统方t量T并计算其值：TXYn1n2(n1出2)，(小1)S2(n21虑n1n279.4376.231800495=-142956(2.22463.3245)9；20对给定白00.01,查t分布表得临界值t(18)t0.01(18)2.5524.因为T4.29562.5524Loi(18)故接受H0,即新品种高于旧品种13.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得一2一2S10.345,S20.357，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？(0.0

13、5),一2一一一一解S10.345,n16,S；0.357,n29问题是检验假设Ho：选统方t量F并计算其值0.9664F瓮0.345S0.357对给定白0.05查F分布表得临界值F/2（5,8）Fo.o25（5,8）4.65,L、1"F0.975（5,8）0.1479.6.76因Fo.975（5,8）0.14790.9664F4.65Fo.o25（5,8）故接受H。，即无显著差异.13.甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径(单位：mm)为甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9;乙：19.7,20.8,20.5

14、,19.8,19.4,20.6,19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？(0.05,产品直径服从正态分布。)22.解设甲加工的直径为X,乙为Y.XN(1,1),Y-N(2,2).2X19.925,S20.2164,n18问题是检验假设S；0.3967,n27H022选统at量F并计算其值§0.2164F-0.5455.S>0.3967对于给定的0.05,查F分布表得临界值F/2(7,6)F0.025(7,6)5.70,1F0.975(7,6)0.19535.12因F0.975(7,6)0.19530.5455FF0.025(7,6)5.70,故接受H。,即精度无显著差

15、异.14.一颗骰子掷了120次，得下列结果：点数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（0.05）解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1,2,3,4,5,6。问题是检验假设I1,2,|,6.这里k6,Pi0n120,2(ni20)2964.82020(25)H0:RP（XI）,6npi020,Ai故(26) k（口n一1610 1npi01,22_222查分布表，得临界值（k1）0.05（5）11.071因为4.81.0710.05故接受H0,即骰子匀称。15.从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm）为15.015.815.215.115.914.7

16、14.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？（0.05）解数据中最小的为14.2,最大者为15.9,设a14.05,b16.15,欲把16.1514.05a,b分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为0.3得7分点y14.35,y214.65,y1

17、4.95,y15.25,y15.55,y15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：iyi1yini114.353214.3514.655314.6514.9510414.9515.2516515.2515.558615.5515.856715.852设钢珠的直径为X,其分布函数为F（x）,我们的问题是检验假设:H0:F（x）（X一）.其中，2未知.在Ho成立之下，和2的极大似然估计为X15.1,X)20.1849,0.43.11 1n一(Xini1在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成5组，分点为ti14.65,t214.95,t315.25,

18、t415.55.14.6515.1p1F(t1)()1(1.04)0.14920.4314.9515.1P2F(t2)F(t1)(二)0.14920.431(0.35)0.14920.2140.36320.2736P3F(t3)F(t2)(合鲁)0.43(0.35)0.36321555151P4F(t4)F(t3)(-)0.43(1.04)0.63680.21815.5515.1P51F(t4)1(;-一)0.14520.43统计量(nnPi)2iniPinpininpi(ninpi)2(ninpi)2/npi180.14927.460.540.29160.039092100.214010.7

19、-0.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218010.9298.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997i1nPi的值计算如下表:即21.24997,对于0.05查2分布表得临界值2(2)黑5.991.22因1.249975.9910.05(2),故接受H。，即认为钢珠直径服从正态分布N(15.1,0.1849).16.设A(匚'，b,i1,2,3,A(-,2),假设随机变量X在(0,2)222上是均匀分布的，今又X进彳T100次独立观察，发现其值落入

20、A(i1,2,3,4)的频数分别为30,20,36,14,问均匀分布的假设，在显著性水平为0.05下是否可信。解检验假设：H0：XU0,2检验计算表如下：iniPinPininpi/2(nnp)nPi1301425512201425513361425114.844141425-114.841001100011.68统计量2(n一咀)11.68,2-2(41)iinpi2对于0.05,查得0.05(3)7.815因为211.687.815盆(3)所以不接受H。，即不能相信X-U0,2.习题九1.一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率

21、的结果如下表缩水】率布样节AA2A3A4A514.36.16.59.39.527.87.38.38.78.833.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响（0.01）解m5,n1n2n3n4n54,n20,查附表5得Fo.oi(m1,nm)F。.。9,15)4.89.序号AA2A3A4A5mi1P12(147.9)22014.36.16.59.39.51093.7227.87.38.38.78.8Q1149.2533.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8R1170.92niX八ijj121.821.731.

22、635.337.5147.9SeRQ2ni21.67X-ijj1475.24470.89998.561246.091406.254597.03SAQP21nXijnij1131.82112.24252.34316.03358.491149.2555.53niw2SRPXijj1131.82112.24252.34316.03358.491170.9277.2方差分析表方差来源平方和自由度均方F值工艺误差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总和77.2019因为9.60954.89,所以工艺对缩水率有显著影响.2.灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今

23、从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果(单位：小时)，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？(0.01)试验万寿命A1A2A3A116001850146015102161016401550152031650164016001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8_一一1820一解m4,ni7,叫5,%8,56,n26,查附表5得Fo.oi(m1,nm)F0.0i(3,22)4.82为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表寿命序号AlA2A3A44i11025T4-9214-563

24、540748102§51015406126872014822niXj1Xij565829T91242niXijj1ij3136336484136121ni一'jnij1448672.8105.12560.1671286.092nX2八ijj17349829572642937-1“、2”一P(124)2591.385,Q1286,092,R293726C11SeRQ1650,908,SeSe16.509100C-f一八c1c-SAQP694,707,SASA6.947100方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配料误差6.94716.5093222.3130.7273.18总和

25、23.45625因为F3.184.82F0.01(3,22),故不显著3.在单因素试验方差分析模型式(9.2)中，i是未知参数(i1,21|,m),的点估计和区间估计.解因为XiN(i,2),所以i的点估计为？Xi,i1,2,1",m.22由定理9.1知Se/(nm),再由定理6.1知Xi与s2Xi与s2,S2j”,Sm独(2) ni-2,(XijXi)相互独立，又由Xij独立，知1j1m_从而Se(ni1)S2与Xi独立，又i1(Xii卜ni!LN(0,1)由t分布的定义知(Xii)nit(nm)/Se其中SeSe/(nm)对于给定的，查t分布表求出临界值t/2(nm),使在上式括

26、号内将i暴露出来得i在置信度1下的置信区间Xit/2(nm)J,Xit/2(nm)I:nini4.在单因素试验方差分析模型式(9.2)中，2是未知参数，试证一J是2的无偏估计，且nm2的1下的置信区间为SeSe2j2./2(nm)i/2(nm)222一证：因为Se/(nm),所以E(Se/)nm,即ESe(nm)2于是ESe故一二是2的无偏估计；nm22因为Se/(nm).92.2.所以对于给定的，查分布表求出临界值/2(nm)和i/2(nm)使得P(i2/2(nm)S22/2(nm)1式中将2暴露出来得P故2的置信度为1a2Znm)下的置信区间为Se12/2(nm)证毕SeSej2/2(nm

27、)1/2(nm)5.验证式(9.24)的解a,b能使Q(a,b)(Yii1abxi)2达到最小值.证：a,b是函数Q(a,b)(Yii1abxi)2的驻点.而QQnA<2n,B2Xi,C2aabii2Qb2n2Xi2i1nACB24nXi2Xi由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故0,而A0,C0所以(a,a,b能使Q(a,b)达到最小值是Q(a,b)的极小点,.利用定理9.2证明，在假设H0:b0成立的条件下，统计量b-tSLxx-t(n2)并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(0.01)证：因为bN(b,)所以匡国仁N(0,1)Lxx一b在Ho:b0成立的条件下一jLx

28、xN(0,1)22(n2)(n2)S22由t分布的定义知证毕今利用t统计量检验归方程的显著性.,b27.156c-CtLxx-6.0566.133Sxx118.734对于给定的0.01查t分布表得临界值t0.01(10)2.7638.因为t6.1332.738t0.01(10),所以回归方程显著.利用定理9.2证明回3系数b的置信区间为It/2(n2),'Lxx5t/2(n2)Lxx并利用这个公式求9.2中例1的回归系数b的置信区间(置信度为0.95).解由定理9.2知bb-t三。Lxxt(n2)对于给定的，查t分布表求出临界值t/2(n2),使Pt/2)-S-Lxxt/2(n2)1在

29、上式的大括号内，将b暴露出来得Pbt/2(n2)S_b,'Lxxt/2(n2)故b的置信度为1下的置信区间为1t/2(n2)S,.LxxIt/2(n2)-=,Lxx证毕27.156n12,S10.897,Lxx6.056to.025(10)2.228.所以b的置信度为0.95下的置信区间为(17.291,37.021).在钢线碳含量x(%)对于电阻y(20C时，微欧)效应的研究中，得到以下的数据x0.010.300.400.550.700.800.95y1518192122.623.826设对于给定的x,y为正态变量，且方差与x无关.(1)求线性回归方程yabx;(2)检验回归方程的显

30、著性；(3)求b的置信区间(置信度为0.95);(4)求y在x0.50处的置彳言度为0.95的预测区间.解我们用下表进行计算序号xy2x2yxy10.10150.012251.520.30180.093245.430.40190.163617.640.55210.302544111.5550.7022.60.49510.7615.8260.8023.80.64566.4419.0470.95260.902567624.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.770.543,720.77Lxx27x2.5952.0640.531,Lyy2Yi2-7y3104.230

31、19.7584.45,LxyXYi7xy85.6178.9476.663,为12.55,Lxxbx13.95,所以回归方程为13.9512.55x.其中UjLxy,QLyyU,Q查F分布表求出临界值Fo.oi(1,5)Q.n216.62因为F503.6116.62Fo.oi(1,5),我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方差分析表方差来源平方和自由度均方F值回归U83.621U83.62U503.61Q乘U余Q0.8315Q0.166总和Lyy84.456所以回归方程高度显著(3)由第7题知，b的置信度为1下的置信区间为3/2(n2)：，St/2(n2).Lxx此处12.55,n7,20.0

32、5,t0.025(5)2.5706,S(Lyy/(n2)0.166.所以b的置信度为0.95下的置信区间为(11.112,13.987)(4)n7,x0.53,Lxx0.531,s0.407,t。.2.5706,x00.50.(xo)t/2(n1)Sj11(x0疗nLxx1(0.50.543)22.57060.407.11.1270.531y013.9512.550.520.225故y在x0.50处的置信度为0.95的置信区间为(y0(0.5),y0(0.5)(19.105,21.345)9.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，对不同的温度t：C测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量Y的观测值

33、如下：t0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1从理论知Y与t满足线性回归模型式(9.20)(1)求Y的回归方程；(2)检验回归方程的显著性(0.01);(3)求Y在t25c时的预测区间(置信度为0.95).解计算表如下序号tiyiti22yitiyi1066.704448.8902471.0165041.0028431076.31005821.6976341580.62256496.36120952185.74417344.491799.762992.98418630.412694.173699.912969980.01

34、3596.4851113.6260112904.965793.6968125.1462415560.018506.8234811.81014476317.8224646.6F26,y90.29Lttt：9产1014460844060,i19Ltytiy9fy24646.621106.83539.8,i19Lyyyi29y276317.8273224.363093.461bLy0.87187,aybt67.5313,LttS2(LyybLty)/71.0307,S1.0152Yt的回归方程为y67.53130.87187t;(2)方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值回归3086.25130

35、86.253086.25剩余7.2171.031.03总和3093.468=2996.36查F分布表求出临界值Fo.oi(1,7)12.25因F2996.3612.25F.。7),故方程高度显著1067.53130.871872589.3281t/2(n2)S小-(t0t)nLtt2.36461.01521.052.53Y在t25c时的置信度为0.95下的预测区间为(y°(25),y°(25)(86.79,91.85).000000000000 .某种合金的抗拉强度Y与钢中含碳量x满足线性回归模型式(9.20)今实测了92组数据(Xi,yi)(i1,2,|,92)并算得X0.1255,y45.7