第十七章多元函数微分学证明题1证明函数在点00连续且偏

1、第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数22小y -0x2y在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微22，Xf(x, y) = x +y22小0, x +y =02. 证明函数f(x2f(x, y)二0,y2)sin 2x2 2x y1y-022小2， x y-0在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在原点(0,0)可微.3. 证明：假设二元函数f在点p(X0,y。)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界，那么f在U(p)内 连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有arctgx y1 xyx+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各

2、因子相对误差限之和(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和:Zsec x + secy=1.6. 设Z=丄,其中f为可微函数,验证7. 设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数 证明:Zex8. 设f(x,y)可微，证明:在坐标旋转变换x=u cos 0 -v sin 0 , y=u sin 0 +v cos 0之下.(fx 2 + fy f是一个形式不变量，即假设g(u,v)=f(u cos 0 -v sin 0 ,u sin 0 +v cos 0 ).那么必有(fx 2 + (fy 2 = (gu f+(gvf.(其中旋转角0是常数)9. 设f(u)是可

3、微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求：Fx(O,O)与 Fg(O,O)10. 假设函数u=F(x,y,z)满足恒等式kF(tx,ty,tZ)=t (x,y,z)(t>0):可微函数F(x,y,z)为K次那么称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理 齐次函数的充要条件是：xFx x,y,z +yFy x,y,z + ZFX x,y,z =KF(x,y,z).2并证明：Z=xy_xy为二次齐次函数Jx2 +y211. 设 f(x,y,z)具有性质 f tx,tky,tmZ = tnf (x,y,z)(t>0)证明：(1)f(x,y,z)=

4、 xnfx j.(2) xf x, y,z + kyfy x,y,z + mzfz x,y,z =nf(x,y,z).12. 设由行列式表示的函数a/t ) a12(t )am(t :D(t)=a21(t ) a22(t) a2n(t)a n1 (O an2(t )ann (t )其中aj t (i,j=1,2,n)的导数都存在 证明a/t ) a12(t ) am(t 攀)=£a；Jt) a：2(t)a；n(t)dt ：#an1(t ) an2(t ) ann(t )13. 证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd( a u+ 3 v)= a

5、 grad u+ 3 grad v( a , 3 为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;f，i x, y .= 0(i=1,2)那么 f(x,y)(4) grad f(u)= f (u)grad u.14. 设f(x,y)可微丄1与L2是R2上的一组线性无关向量，试证明；假设 三常数.15. 通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理 证明对某 r (0,1),有3 二 二 v 二 v 二 二 v 二 V=cos cossin sin4 33663616. 证明：函数1 -x-bu=e 4a t (a,b 为常数)2a 二t_ _ 2满足热传导方程：

6、M = a2U2.t ；x - 2 - 217. 证明：函数u= In J(x -af +(y-bf (a,b为常数)满足拉普拉斯方程：三斗+三号=0. excy18. 证明：假设函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程：2r.2+2 =0.那么函数 V=f( , )也满足此方程 .x；yx y x y19. 设函数u= ：:x，证明：2 2L、.u :- u : u :- u = *crrc 2.x: x ： y: y:x20. 设fx,fy和fyx在点(xo,yo)的某领域内存在,fyx在点(Xo,yo)连续，证明fxy(X0,y0)也存在，且fxy(xo,yo)= f yx(X0,y0),2

7、1. 设fx,fy在点(xo,yo)的某邻域内存在且在点(xo,yo)可微,那么有fxy(xo,yo)= fyx(xo,yo)二、计算题1. 求以下函数的偏导数：2 1(1) Z=x y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22 ；找+y2 Z=ln(x+y 2);(5) Z=exy;(6) Z=arctg -;x Z=xye sin(xy);yZx(8) u=;xyz(9) u=(xy) z;yz(10) u= x .2.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsin求 fx(X,1).3. 设ysin 2 2，x2 +y2 式0f(x, y) = x +y2 20,x +y =0考察函数

8、f在原点(0,0)的偏导数4. 证明函数Z= . x2 y2在点(0,0)连续但偏导数不存在5. 考察函数xysin2 1 2 ,x2y2 = 0f(x, y) = * x +y在点(0,0)处的可微性、0,x2 +y2 =06. 求以下函数在给定点的全微分；(1) Z=x 4+y 4-4x2y2 在点(0,0),(1,1);x(2) Z= . 22'在点(1,0),(0,1).Jx2 +y27. 求以下函数的全微分；(1) Z=ysi n( x+y);yx -z(2) u=xe +e +yyf兀)8. 求曲面Z=arctg上在点1,1, 一 |处的切平面方程和法线方程.xI4丿9.

9、求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值：23(1) 1.002 X 2.003 X 3.004 ;(2) sin29 ° X tg46 ° .12. 设园台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm 高h=40cm.假设 R,r,h分别增加 3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值13. 设二元函数f在区域 D=a,b x c,d上连续(1) 假设在intD内有fx三0,试问f在D上有何特性？(2)

10、假设在intD内有fx=fy= 0,f又怎样？(3) 在(1)的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略 ？长方形区域可否改为任意区域？x2 +y214. 求曲面Z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.415.测得一物体的体积 v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量 W=30.80g,其绝对误 差限为0.018，求由公式d= W算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.v16. 求以下复合函数的偏导数或导数：(1)设 Z=arc tg(xy),y=e x，求 迟;ax22 x2 咖2沁r X +y 飞厂亠辽辽 设Z=e ,求 ，；xy；x : y设 Z=x2+x

11、y+y 2,x=t2,y=t,求 Z ;Z,:vdt2 ucZ-：u设 Z=x Iny,x= ,y=3u-2v,求,vr-.5土 cu cu设 u=f(x+y,xy),求 ，ex cy设u=f亠 Ju :u，求17. 求函数u=xy +z -xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60, ° 45° ,60 ° )的方向导数18. 求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点 B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.222Z19. 求函数u=x +2y +3z +xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,)处的梯度以及它们的模320.

12、 设函数u=ln 1 ,其中r= H(x a f +(y 0 f +(z cf求u的梯度 并指出在空间哪些点上成立等式 gradu=1.2 2 2z x y21设函数u=22，求它在点(a,b,c)的梯度.cab2 2 222. 设 r= . r y - z ，试求：1(1)gradr;(2)grad -.r23. 设u=x3+y3+z3 3xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3) 恒为零向量.24. 设f(x,y)可微丄是R2上的一个确定向量，倘假设处处有fL(x,y)三0,试问此函数f有何特征？25. 求以下函数的高阶偏导数：(1) Z=x

13、4+y4 4x2y2,所有二阶偏导数；(2) Z=e x(cos y+x sin y),所有二阶偏导数；a3z Z=xln( xy),2,2;ex cy(4) u=xyze x+y+z-p -q zc u-p - q - rx : y :zZ=f(xy 2,x2y),所有二阶偏导数;u=f(x 2+y2+x2),所有二阶偏导数;x(7)Z=f(x+y,xy,- ),Zx, zxx, Zxy.y26. 求以下函数在指定点处的泰勒公式：2 2(1) f(x,y)=sin(x +y )在点(0,0)(到二阶为止);xf(x,y)=在点(1,1)(至U三阶为止);y(3) f(x,y)=ln( 1+x

14、+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2xyy2 6x 36+5 在点(1, 2).27. 求以下函数的极值点：3 3(1) Z=3axy x y (a>0);2 2 Z=x +5y 6x+10y+6;2x 2 Z=e (x+y +2y).28. 求以下函数在指定范围内的最大值与最小值 Z= X2 _y2x,y x2 + y2 皿; Z= x2 xy +y2,勺x,y 0x| +|y 兰讣；(3) Z=sin x+s ing sin( x+y), *x,y j)(x,y 卜 KO,x + y 兰2兀29. 在周长为2P的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.30. 在xy平面

15、上求一点，使它到三直线x=0,y=0,及x+2y 16=0的距离平方和最小31. 平面上n个点的坐标分别是Ai X!！ ,A2 X2,y2，An xn,yn .试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小1 1 132.设 u= xyz222xyz求(1)Ux+Uy+Uz； (2)XUx+yUx+ZUz； (3)Uxx+Uyy + Uzz.2 2 233.设 f(x,y,z)=Ax +By +Cz +Dxy+Eyz+Fzx,试按 h,k,L 的下正整数幕展开 f(x+h,y+k,z+L).三、考研复习题1.设 f(x,y,z)=x 2y+y2z+z2x，证明2fx+fy+fz=(X+y+Z).2.

16、 求函数x3 _y32 十 222,x y - 0fx(0,0)与 fy(0,0),并考察 f(x,y)在(0,0)的可微f(x, y)=x +y在原点的偏导数C2 丄 2c0,x +y =011X1X2X22X2n ±X1n _X23.设 U =Xn2Xnn ArXn -证明：(1) U =0;k二玫kn XkU3u. kJ:* kf(x,y)具有连续的n阶偏导数：试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数dng(t) _ dtn -+k.&xfhtXkt)矽丿a +xb + yc +z5.设®(x, y,z) =d +ze +xf +yg +yh +zk +xf1(X)f2(x)f3(X)6.设(x,y, z)=g(y)g2(y