第一章思考题

1、第一章思考题1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？21.2在极坐标系中，vr = r , v.j - rd .为什么ar二- rr而非r ?为什么a° =宀 '2宀而非rr ?你能说出ar中的和中另一个rr出现的原因和它们的物理意义吗？ 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。1.3在内禀方程中，an是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点 沿空间运动时，副法线方向的加速度 等于零，而作用力在副法线方向的分量Fb 般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。1.4 在怎样的运动中只有 a .而无為？在怎样的运动中又只有 旳

2、而无 a ?在怎样的运动中既有可而无 a . ？dr drdv dv1.5 dt与dt有无不同？dt与dt有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论1.6 人以速度 v 向篮球网前进，那么当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？1.7雨点以匀速度v落下，在一有加速度 a的火车中看，它走什么路经？1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上 .当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中 .两分钟后， 此人才发现，立即返棹追赶 .追到渔竿之处是在桥的下游600 米的地方，问河水的流速是多大?残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東。1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？1.10 在那些

3、条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，那么物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。1.11 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，到达任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假设不是光滑的将如何？彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。1.12 为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是 v二3i 2J3k，式中i、j、k是沿x、厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔y、 z 轴上的单位矢量。求

4、此质点的动量和动能的量值。1.14 在上题中，当质点以上述速度运动到1，2，3点时，它对原点°及Z轴的动量矩各是多少？动量矩是守恒1.15 动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？质点受有心力作用而运动时， 的，问它的动量是否也守恒？ 茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。F =° 的关系存在吗？试验之。1.16如F二F r ,那么在三维直角坐标系中，仍有1.17 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？1.18 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为 68. 5 ，比苏 联及美国第一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大 的优

5、点是 什么？ 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾。1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？ 第一章思考题解答1.1 答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t >. ： t 内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿.： t 对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在凤 > 0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。 籟丛妈羥为贍债蛏练淨槠挞曉。1.2答：质点运动时，径向速度 Vr和横向速度V。的大小、方向都改变，而ar中的r只反映了 Vr本身V。 方大小的改变， 屯中的r

6、A m只是V。本身大小的改变。事实上，横向速度向的改变会引起径向速度 Vr大小大改变，-厂2就是反映这种改变的加速度分量；经向速 度Vr的方向 改变也引起 V0的大小改变，另一个 rr即为反映这种改变的加速度分量，故? ? ?ar =r rA2,2 A. 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅。1.3答：内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度 V 总是沿轨迹的切线方向，而an 垂直于 v 指向曲线凹陷一方，故an总是沿助法线方向质点沿空间曲线运动时，% =° Fb =

7、0Z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F ,还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力Fb ra。,故 ab =0 符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻假设Fb与Rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足 Fb RA 0即卩 ab =0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦

8、鋇絨钞dr而dt只表示定了直变速运动时即有at又有备。drr大小的改变。如在极坐标系中1.5答：dt即反响位矢dr .: drri r jrdt而dt o在直线运动中，规r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，dr drdt dtdr 且dt的 正负可dr动速度；在曲线运动中 圣骋贶頂廡缝勵黒。drdr丰dtdt,且dt也表示不了drdrdt的指向，二者完全不同。铙誅卧泻噦dvdt表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而dvdt只是质点运动速度大小的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动dv序 dva an,而 a中，二者

9、不同，dtdt 'o擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。其速度合成如题1.61.6答：不管人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，V球对人 vV人对地题1-6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示，坛搏乡囂忏蒌锲铃氈淚跻馱釣。0faa ' = -a /y1* vF题1-7图.1 t2x = at2oxy *是固定于车的坐标系，雨点相对车的加

10、速度a= -a ,其相对运动方程 丫 = S消去t的轨迹2 2v2.y xa如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a ?垂直于V ?方向的分量an在改变着V ?的方向，该轨迹上凹。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯。1.8答：设人觉察干落水时，船已上行s ，上行时船的绝对速度V船-V水，那么s -船-V水2船反向追赶竿的速度 V船V水，设从反船到追上竿共用时间t，那么V 船 V 水t =600 s 又竿与水同速，那么V 水2 t=600 +=得V 水=150m.水min1.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度

11、的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻。1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中假设初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动， 也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过綾镐鯛駕襯鹏踪韦耀来翟飙铳麦程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致， 后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动， 的

12、运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以夕卜力不断改变物体的运动方向，各时刻 如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不驅踬髏彦浃致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。绥譎饴憂锦諑琼针。1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，到达任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩。假设曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初 末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形

13、状有关。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈。1.12答:质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出an，有牛顿运动方程Fn Rn二口可便可求出Rn，即为约束力構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯1.13答：动量p =mv =1 ,32 22动能3 =4吧Jo =、他応-6$ +9-刚 +-4丫 彦867卜9 j rl丿1 2 / J2 =-4 kg m /s丿bJT 1 2T = mv =2 +22T32 = 8 N m一221.14 答：ijkJ =r 汉

14、 mv =123 = 2j3_6i + 9_j3+ 2_6k32V3故动量矩守恒并不意味力对力心的矩为零，輒峄陽檉簖1.15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心， 但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。 疖網儂號泶蛴镧釃。1.16答：假设F = F r ,在球坐标系中有-r由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有'F =0的关系。在直角坐标系中 尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭。<-zrIK zF-yr 二 xi yj zk,F

15、r = F x r i Fy i j Fz r kxi + yj + zkr故事实上据“ 算符的性质，上述证明完全可以简写为八7xF(r r = 0k2m1.17图所示,r，其势能曲线如题图i.i7答平方反比力场中系统的势能题1-17图由 T V r 二 E 知 T 二 E -V r ,因 T 0,故有 E V r。假设E 0，其势能曲线对应于近日点rmin和远日点max之间的一段。近日点处E V r T即为进入轨道需要的初动能假设E 0那么质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；假设E=0位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的r质点的运动是无界的，

16、当r很大时V r ，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道 运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙。由k2mrk2rk2即速度V的大小就决定了轨道的形状，图中宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故TI，T2，T3对应于进入轨道时的到达第一二三宇r有一极小值Re，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射 农其为地球半径。TiE-Vr为地面上发射时所需的 初动能，图示TO1， T02，T03分别为使卫星进入轨道时到达一二三宇宙速度在地面上的发射动能。Toi

17、 -Ti i刊23.为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。凍鈹鋨劳臘错痫婦胫籴铍賄鹗。1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，那么卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐。1.19答：对库仑引力场有mv2 - k = E,其中2r假设V2片：；02k ,贝 U，rE > 0，轨道是双曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引

18、力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；假设轨道椭圆E0或抛物线E = 0，卢瑟福公式不适用 V。刖仿照课本上的推证方法，在入射速度r的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。 第一章习题丄21.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1,而通过下一等距离 s的时间为t .试证明枪弹的减速度假定是常数为硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据。2s t?-匕1.2某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？阌擻輳嬪諫迁择植秘騖輛埙

19、鵜。1.3曲柄。入二，以匀角速* 绕定点0转动。此曲柄借连杆 AB使滑块B沿直线Ox运动。求连杆上c点的轨道方程及速度。设 AC二CB二a，- AOB二，? ABO =*。氬嚕躑竄贸恳彈濾颔澩 纷釓鄧。bA(P w 自 BOx第1.3题图1.4细杆0L绕0点以角速转动，并推动小环 C在固定的钢丝 AB上滑动。图中的d为已 知常数， 试求小球的速度及加速度的量值。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞。A x 丫 BO第1.4题图1.5矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示:r?哄、a = c 1 si n i< 2T丿式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。升降机

20、的初 速度为零1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r及，式中及"是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为跆-円2严1.7试自x = r cos ) y = r sin v-绕其焦点F转动。求此直线与椭圆的焦点1.8直线FM在一给定的椭圆平面内以匀角速M的速度 已 怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟。出发，计算X及y。并由此推出径向加速度ar及横向加速度aj。a(i -e2 )1 ecosv式中a为椭圆的半长轴，e为偏心率，都是常数。1.9质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。1.10 一质点沿着抛物线y'=2px运动其切向加速度的量值为法向加

21、速度量值的匕P、2的一端以速度-2k倍u出发，试求其到达正焦弦另一端正焦速率。担鈧谄动禪泻類谨现鸾。谚辞調1.11质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量 Vo。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹。与速度矢量间的夹角'保持不变。求质 点的速度随时间而变化的规1.12在上题中，试证其速度可表为v =voe z血：式中二为速度矢量与 x轴间的夹角，且当t = 0时，二二入1.13假定一飞机从 A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为V，而空气相对于地面的速度为vo。A与B之间的距离为I。飞机相对于空气的速度v 保持不变。熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰缄。a假定vo =；即空气相对于地

22、面是静止的，试证来回飞行的总时间为21b假定空气速度为向东或向西，试证来回飞行的总时间为C假定空气的速度为向北或向南，试证来回飞行的总时间为to1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，那么飞机绕此正方形飞行一周，需时多少?鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高 4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两局部的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为 8米/秒，求轮船的速率。 纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛。1.16宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成

23、正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为C。一小船以相对速度 u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对 岸靠拢的地点。颖刍C2朝岸上A点划回。假定河流速莖峽饽亿顿裊赔泷涨负這。1.17小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度 度G沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。1.18 一质点自倾角为的斜面上方 0点，沿一光滑斜槽上所需的时间为最短，问斜槽0A与竖直线所成之角二应为何值？銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎報0 KA"a第1.18题图1.19将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即RAm/gv?。如上抛时的速度为v，试证此质点又落至

24、投掷点时的速度为挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷鸨V1.1 k2v2。1.20 一枪弹以仰角：、初速度V。自倾角为:的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕辫和发射点的距离d 沿斜面量取及此距离的最大值分别为2 -cos2 -max2sec2g1.21将一质点以初速 V抛出，与水平线所成之角为：？。此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，m为质点的质量，k为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。 塤礙籟馐决穩賽釙冊庫麩适绲。1.22如向互相垂直的匀强电磁场 E、B中发射一电子，并设电子的初速度 V与E及B垂 直。试求电 子的运动规律。 此电子所受的力为

25、e E v B，式中E为电场强度，e为 电子所带的电荷， v为 任一瞬时电子运动的速度。 裊樣祕廬廂颤谚鍘芈蔺递灿扰。1.23在上题中，如a B =0，那么电子的轨道为在竖直平面xy平面 的抛物线；mVb如E =0，那么电子的轨道为半径等于 eB的圆。试证明之。1.24质量为m与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在mmg的下端又用固有长度为 a、倔强系数k为a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点。在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳那么处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期？及任何时刻两段绳中的张力T及T。仓嫗盤

26、紲嘱珑詁鍬齊驚條鯛鱧2m第1.24题图1.25滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W的物体。当滑轮以匀速转动时，物体以匀速V0下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受 W的作用时的静伸长为0。绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬轅。1.26 弹性绳上端固定，下端悬有m及m两质点。设a为绳的固有长度，b为加m后的伸 长，c 为加m后的伸长。今将 m 任其脱离而下坠，试证质点 m在任一瞬时离上端 0的距 离为骁顾燁鶚巯 瀆蕪領鲡赙骠弑綈。a b ccos g t Yb1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点 将离开圆柱面？

27、假定圆柱体的半径为r。 瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕戧。1.28重为W的不受摩擦而沿半长轴为 a、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时， 其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它 对椭圆的压力。 鎦 诗涇艳损楼紲鯗餳類碍穡鳓。1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mgcosr ，式中二为水平线和质点运动方向间的夹角。圆滚线方程为栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛辊。x = a 2 ) sin 2), y 二-a 1 二 ccos21.30 在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，到达圆滚线的

28、最低点时停止运动，那么摩擦系数" 应满足下式 辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应頁諳绞。"e1试证明之。1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与二成正比，且可写为_gR二-2mkN，式中m是摆锤的质量，丨为摆长，k为比例系数。试证当 k2 < I时，单摆 的振动周 期为 峴扬爛滾澗辐滠兴渙藺诈機愦。£= 2兀匚厶-:g - k2i1.32 光滑楔子以匀加速度 a0 沿水平面运动。质量为 m 的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质 点的相对 加速度 a ?和质点对楔子的压力 P。 詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜靈韬鰍。1.33光滑钢丝圆圈的半径为 r,其平面为竖直的

29、。圆圈上套一小环，其中为w。如钢丝圈以匀加速度 a 沿竖直方向运动， 求小环的相对速度 Vr 及圈对小环的反作用力 R。 那么鯤愜韋瘓賈 晖园栋泷 华缙輅。1.34火车质量为 m，其功率为常数k。如果车所受的阻力f为常数，那么时间与速度的关系为:mk k v0 fm(v v0)t 2 Inf k vff如果 f 和速度 v 成正比，那么丄 mv, vk - fv 2ot In2f v k -vf式中 Vo 为初速度，试证明之。1.35 质量为 m 的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间 一半时，增至极大值 P ，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总

30、秘孫戶孪钇賻锵咏繞。1.36 检验以下的力是否是保守力。如是，那么求出其势能。(a )Fx =6abz3y -20bx3y2, FA6abxz -10bx 4y, Fz=18abxyz2b F =iFx xjFy ykFz z1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：arV r 二丄,kr v 0试求a 中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比拟；b 求质量为 m 的粒子作半径为 a 的圆运动的动量矩 J 及能量 E 。1.38 作用在质点上的力为Fx AaAx a12y aAzFy 二 a?/ *22 y a23ZFz 二 a?/ a32y a33Z式中系数

31、j, j二1,2,3都是常数。问这些aj应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件 算其势能。31.39 一质点受一与距离 2 次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到旦达a时的速率和自a静止出发到达 4时的速率相同。 鳃躋峽祷紉诵帮废掃減萵輳慘。?的功。 胀鏝彈奥满足，试计O 点所需的时间1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其到达1.41试导出下面有心力量值的公式:2 2mh dp2 dr2式中m为质点的质点，r为质点到力心的距离，h二r v -常数，P为力心到轨道切线的垂直距离。1.42试利用上题的结果，证明：a如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，那么

32、力与距离五次方成反比。b如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，那么力与距离立方成反比。1.43质点所受的有心力如果为2V 1F = m23rr式中，及、都是常数，并且> v h2，那么其轨道方程可写成ar1 ecoskv,2 h2-、.k = Aa=-A_5试证明之。式中h ?1.45如Sa及Sp为质点在远日点及近日点处的速率，k2h2e =厂Ak2h2J A为积分常数。试证明sp : sa =1 e : 1 - e1.46质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率那么_ a,与距离成反比，即v 一 r。如果a2 > h2 h = r爲，求点的轨道方程

33、。设当r = ro时，二=0。 稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜椤灣鲳。1.47 a某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道假定为圆形半径的 n。那么此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的陽窶埡鮭罷規呜旧岿錟麗鲍轸。2 n 2 n -13 二 n 2n倍，试证明之。b试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道仍假定为圆形内的最长时间为一年的 3 二倍，或约为 76 日1.48试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率Vi及v以及它绕地球运行的周期参看79页。沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應釵蔼绋。a - r = aecos E,2JTdt = T，式中？为

34、周期，a为试由能量方程推出下1.49在行星绕太阳的椭圆运动中，如令 半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角面的开普勒方程：钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺缔嵛恽。T =E -esi n Emc1.50质量为m的质点在有心斥力场r中运动，式中r为质点到力心0的距离，c为常数。当质点离0 很远时，质点的速度为 V.，而其渐进性与 o的垂直距离那么为'即瞄准距离。 试求质点与 O的最 近距离a。懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮揚銥鯊。第一章习题解答1.1由题可知示意图如题图:t2L tl题图设开始计时的时刻速度为 Vo,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为那么有：2s =vo t1 t2 -

35、a 11 t2由以上两式得 再由此式得att1Vo -2s t2 - t|1t2 t1 t2证明完毕？1.2解由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题121图题图toB船经过v2小时经过灯塔任意时刻设A船经过to小时向东经过灯塔，那么向北行驶的A船的坐标Xa = -(15t o - 15t ), yA = 0-15 to +1-:<02yBB船坐标xB =0,那么AB船间距离的平方1-15t2d2 =(xa -XB f +(yA - yB2即-(门f22 十 15 to +1 i-15t 1d2=(15to_15tf i 2 丿2 21 ¥=45ot2 -(9ooto +67

36、5 +225t :+225 to +1 < 2丿dd2dt=9oot - 9oot o 675d2对时间t求导dd2=0AB船相距最近，即dt，所以3t -toh4即午后45分钟时两船相距最近最近距离_ k_ 3八3 3fAaC说“ B u0 x由题分析可知，点C的坐标为x = r cos? + a co 就y = asi n 即2a_2丿km正弦定理所以认4丿I 41由于在加二AOB中，有sin'' 联立以上各式运用sin2cos2=1由此可得第1-3题图2 2x 、 a2 y2x - a cos'-cosa2题图qAsin ;2 cos3y2 x2 a2r2

37、=2x.a2y2化简整理可得2a+2y此即为c点的轨道万程？x =r sin(2)要求1点的速度，分别求导w cos? y 厂其中又因为r sin = 2asin -对两边分别求导 故有 屮 rco cos?2 a cos 即所以2 2 2 rcos?忙 w cos? -r sin -sin -2 cos 屮2 s cos24sin 3Sin1.4解如题14J图所示,第1.4题图OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量v - - OC - d 川'XC点速度COSTd22 2xd2 x2tan v - 2d ,see tanrdVc 二1.5解 由题可知

38、，变加速度表示为r ?毗、a = e 1 si nil 2T丿由加速度的微分形式我们可知dv a = dt代入得(兀 t '、dv = e 1 s indt<2T . 丿dv2半 sin对等式两边同时积分空eeos二七n2TD为常数代入初始条件:=0时，v =0，故可得：D2Tejiv=et空eos-1.2T丿ji又因为dsv =dt所以CtMs =2TJit+COS n V 2TdtS=C 1t2 竺2TIL2二,可得:对等式两边同时积分1.6解由题可知质点的位矢速度Jiv 二 r 沿垂直于位矢速度v_-上又因为V ，即r =，r?曲?A =V -I丁即"ra 二d vdr打dtdtdt(取位矢方向，垂直位矢方向j)所以dd r .i dtdtdtdrd2dtdta = r-L2i r : j即沿位矢方向加速度八2垂直位矢方向加速度a_ = L 2r 二对求导对求导二二-2 r2 r 一r把代入式中可得、2a a 二，r r卩、a | = P6 X +一 I丄