函数的单调性

1、1、3、1、1函数的单调性学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲（教师叙述：同学们，我们前面学习了函数的基本知识，下面的学习中，我们将深入研究一下函数的相关性质.本节课我们来研究函数的单调性.函数的单调性是一个传统的课题，凡是研究函数，都会研究到函数的单调性.在很多习题中都能运用到函数的单调性，这就使得我们不得不把函数的单调性的研究放在一个突出的地位来学习）一、【学习目标】（约2分钟）（自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数的单调性解决一些相关的题目. 这节课的特点是符号比较多，所以希望同学们能在课下就对本节课的内容有所理解和预习.）1、理解函数单调性的本质内容和函

2、数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.课前引导：函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？【教学效果】：教学目标的出示给了学生学习的方向.二、【自学内容和要求及自学过程】（约28分钟）观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字内容，然后回答下列问题（约15分钟）（教师注意：这一部分内容主要是为了引导学生得出增函数的定义，所以要结合增函数的意义，把学生往增函数的概念这方面引导）（自学引导：主要是理解“上升”、“下降”的本质内涵，然后归纳得出增函数的定义）<1>你能描述上面三个

3、函数的图像特征吗？你是如何理解“上升”、“下降”的含义的？<2>对于二次函数y=x2，列出x，y的对应值表(1)，完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升；x-3-2-101234f(x)=x2结论：<1>函数y=x的图象，从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而

4、增大；“下降”亦然；<2>在区间(0，+)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2，也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升；阅读教材第28页“思考”下面的内容，然后回答下列问题（约5分钟）（自学引导：同学们要切实的理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解）<3>数学上规定：函数y=x2在区间(0,+)上是增函数.你能给出增函数定义吗？<4>增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这样行吗?增函数的定

5、义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?<5>增函数的几何意义是什么？结论：<3>一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；<4>增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)&g

6、t;f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随着自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的；<5>增函数的几何意义是从左向右看,图象是上升的；（教师注意：减函数的概念要有增函数类比得来，要注意培养学生的类比的能力）【教学效果】：学生通过自学，都能很好的完成教学目标.（自学引导：类比增函数的定义，切实理解减函数的含义.）思考：<1>类比增函数的定义，请你给出减函数的定义； <2>函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间

7、D上的图象有什么变化趋势？结论：<1>一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小；<2>函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的；【教学效果】：类比增函数的定义，学生都能给出减函数的定义并理解之.阅读教材第29页第一段，然后回答下列

8、问题（约2分钟）<6>你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之.三、【练习与巩固】（约7分钟）（教师注意：练习与巩固知识中，老师要完成一个新知识的讲解，函数单调性证明.这是一个重要的知识，学生不易理解，教师要找准讲解方法）自学教材第29页例1，然后仿照例1，完成练习一（约2分钟）练习一：完成教材第32页练习第3题自学教材第29页例2，仿照例2，完成练习二（约5分钟）练习二：完成教材第32页练习第4题注意：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比较

9、f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为：“去比赛”.【教学效果】：通过练习，学生要会证明函数单调性的步骤.这要等作业交上来之后才能反馈回来教学的效果.四、【课堂作业】1、必做题：教材第39页习题1.3A组第1题（1）2、选做题:教材第9页习题1.3A组第2题五、【小结】本节课主要讲解了函数的增减性函数的单调性就是函数的增减性.这节课要完成的学习目标有两个，一个是要求学生能理解函数的单调性，一个是要学生能熟练函数单调性证明的步骤.要注意渗透的是函数的单调性是对于某个区间而言的.六、【反思】本节课我对自己打60分，刚刚及格.函数的单调性是