三角恒等变换知识总结

1、*三角恒等变换知识点总结2021/10/24一、根本内容用讲1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tantan1mtantan对其变形：tana+tanB=tan(a+p)(1-tan2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：2.222sin2sincos.cos2cossin2cos112sin2tantan22.1tan要熟悉余弦“倍角与“二次的关系(升角一降次,降角一升次).特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形,cos21cos2,sin21cos2这两个形式常用.22、2sinx;3sinxcosx2sinx一46a

2、sinxbcosx.a2b2sinx4 .简单的三角包等变换(1)变换对象：角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质.(2)变换目标：利用公式简化三角函数式,到达化简、计算或证实的目的.(3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)变换思路：明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径.5.常用知识点：cos21,stan(注意变形使用,尤其1的灵活应cos用,求函数值时注意角的范围)、考点阐述考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式*1、sin20ocos40ocos20osin40o的值等于()一一一4一sin()tan()atanB),有时应用该公

3、式比拟方便.3.辅助角公式：sinxcosx(1)根本恒等式：sin2(2)三角形中的角:(3)向量的数量积:rrra*x/2y1y2,aABC,sinAsin(BC),cosArragorbrrabcos(a,b),rrx1x2y1y20a/bcos(BC)；0；2、右tan3,tan-,那么tan()等于()3、假设3,那么(1tan)(1tan)的值是.44、(1tanl)(1tan2)(1tan3)L(1tan44)(1tan45)考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、coscos2-的值等于提示：构造分子分母55556、cos200cos400cos600cos80o3.37、3

4、-A2,且cosA3,那么sin2A等于25考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换218、tan-,tan一,那么tan一的值等于544411-9、sinsin-,coscos一,贝Ucos值等于2310、函数fxcos2xsin2x1是1212A周期为2的奇函数B周期为2的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧另外总结一关于辅助角公式：asinxbcosx.a2b2sinx.其中cosfa,sin/b可以通过JOb7来判断最大最小值a2b2,a2b2如：1.假设方程sinxV3cosxc有实数解,那么c的取值范围是2.y2cosx3sinx2的最大值与最小值之和为

5、.r-,、2i7.右tan一一,那么tan45二三角函数式的化简与求值例11.c0s150一sin150;2.sin5001V3tan100；cos15sin153.求tan70otan50oV3tan70tan50o值;4公ABC不是直角三角形,求证：tanAtanBtanCtanA?tanB?tanC三三角函数给值求值问题1 .cos(a6)+sina=3,那么sin(a+3的值是542 .cos()一,cos-,均为锐角,1351 .(2021北京)函数f(x)2cos2xsin2x.求f-的值；2求fx的最大值和最小值.32.函数f(x)2sin(x)cosx.求fx的最小正周期；2求

6、fx在区间一,一上的最大值和最小值;62的单调区间.三、解题方法分析1.熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,做到真正的理解、记熟、用活.解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联想,灵活运用.sin的值.03.3,cos一443.3,sin545_13,求sin的值.四三角函数给值求角问题1.假设sinA=,sinB=狙0,且A,B均为钝角,求A+B的值.102.一、一2是方程x3、3x40的两个根,3.均为锐角,且tan4.tan7,tan花411,并且311一,tan2一冗C.一3Ltan5

7、1皿一,贝U+85冗D.4的值.的值综合问题求周期,最值,对称轴,增减区间等3求函数在,1o3o2tan13osin50o例1设a-cos6sin6,b2o,co,贝U有()221tan132cos25【点评】：此题属于“理解层次,要能善于正用、逆用、变用公式.例如:asinx+bcosx是根本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为baa2 2b b2 2sin(x)sin(x)即asinx+bcosx=va2b b2 2sin(x)sin(x)(其中tan)是常用转化手段.a特别是与特殊角有关的sin土cosx,土sinxV3cosx,要熟练掌握其变形结论.2 .明确三角恒等变换的目的,从数学

8、思想方法上寻找突破口(1)运用转化与化归思想,实现三角包等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都表达了转化与化归的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证实中角、名称、形式的变换问题.例2.Ba/3.【点评】：此题属于“理解层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦的方法,再利用两角和与1sin22.2sincos=-sin2,cos=,cossin22sin2212sincos(sincos),1cos22coscos22tan1-tan2tan221cos22sin21cos2cos2.2sin1cos2,tana+tan2=tan(a+p)(1-tan

9、等.另外,三角函数式a+B)=-,求sin2a的55665差的三角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量求出值来.(2)运用函数方程思想,实现三角包等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换.因此,有时在三角恒等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.例4：sin(a+p)=,sin(a0)=3,求色2)一史tan的值.34tantan()【解析】tan()tantantan()tan()(1tantan)tanA-,i

10、_1=17tantan()tantan()tan【点评】：此题属于“理解层次,考查学生对所学过的内容能进行理性分析,善于利用题中的条件运用方程思想到达求值的目的.(3)运用换元思想,实现三角包等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向转化,可以利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元的范围.2例5:右sinsin,求coscos的取值沱围.2【解析】：令coscost,那么(sinsin)2(coscos)2t21,2【点评】：此题属于“理解层次,解题的关键是将要求的式子coscos看作一个整体,通过代数、三角变换等手段求出取值范围.

11、3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比拟广泛,主要表达在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合,特别是与平面向量的综合,要适当注意知识间的联系与整合.r_rrr例6:：向量a(卢1),b(sin2x,cos2x),函数f(x)ab(1)假设f(x)0且0 x,求x的值；x或二1212rr(2)求函数f(x)取得最大值时,向量a与b的夹角.(2)2sin(2x)6rrrrrrf(x)max2,当f(x)2时,由ab|a|b|cosa,b2rrrrabrrrr得cosa,b-r1,Q0a,b.a,b0|a|b|【点评】 ： 此题属于“理解中

12、综合应用层次,主要考查应用平面向量、 三角函数知识的分析和计算水平.四、课堂练习477243 .x(一,0)cosx一,那么tan2x()A.一B.一C.一D25242474.化简2sin(：x)sin(j+x),其结果是()A.sin2xB.cos2xC.一cos2xD.一sin2xrr【解析】：:f(x)ab=.3sin2xcos2x1.sin165o=(ABTC.近9D2242.sin140cos16o+sin760cos74o的值是()A.BCD.-222224713.0 x,sin(445+x)一,求13cos2x的值.cos(x)14.假设A0,且sinAcosA,13C15.在ABC中,假设sinAsinB=cos2-2、,5sinA4cosA求15sinA7cosA的值.A.等边三角形C不等边三角形16化简1sin2321sin2cos2B.等腰三角形D.直角三角形17.求证:12sincos22cossina1tan1tan5 .sin逐一J3cos行的值是()A.0B.J2C,2D21tan756 .的值为()tan757x24y0C.24x7y0D.