一次函数的应用

1、专题06一次函数的应用问题【典例分析】【考点1】行程问题【例11某校的甲、乙两位老师同住一小区,该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校,出发10分钟后乙再出发,乙从小区先骑公共自行车,途经学校义骑行假设干米到达还车点后,立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x分,图1中线段OA和折线BCD分别表示甲、乙离开小区的路程y米与甲步彳f时间x分的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s米与甲步行时间x分的函数关系的图象不完整.根据图1和图2中所给信息,解答以下问题：1求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程;2求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲

2、、乙两人之间的距离；3在图2中,画出当25x30时s关于x的函数的大致图象.温馨提示：请画在做题卷相对应的图上囹102【答案】1甲步行的速度是80米/分,乙出发时甲离开小区的路程是800米；2乙到达还车点时,甲、乙两人之间的距离是700米；3图象如下图见解析【解析】1根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；2根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式,然后将x=18代入OA的函数解析式,即可求得点E的纵坐标,进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；3根据题意可以求得乙到达学校的时间,从而可以函数图象补充完整.1由题意,得：甲步行的速度是2

3、4003080米/分,乙出发时甲离开小区的路程是8010800米.2设直线OA的解析式为：ykxk0,直线OA过点A30,2400,30k2400,解得k80,直线OA的解析式为：y80x.,当x18时,y80181440,乙骑自行车的速度/分.乙骑自行车的时间为251015分,乙骑自行车的路程为180152700米.当x25时,甲走过的路程是y80x80252000米,乙到达还车点时,甲、乙两人之间的距离是27002000700米.乙步行的速度为：80-5=75米/分,乙到达学校用的时间为：25+2700-24005=29分,当25WxW3时s关于x的函数的大致图象

4、如下图.【点睛】此题考查一次函数的应用,解答此题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.【变式1-H小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离ykm与小王的行驶时间xh之间的函数关系.请你根据图象进行探究：(2)求线段BC所表示的y与X之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.【答案】(1)小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h;y30x30(1x1.5).【解析】1根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；2根据1中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标,从而

5、可以解答此题.【详解】解：(1)由图可得,小王的速度为：30310km/h,小李的速度为：(30101)120km/h,答：小王和小李白速度分别是10km/h、20km/h;(2)小李从乙地到甲地用的时间为：qn,/n_1口,当小李到达甲地时,两人之间的距离为:101.515km,点C的坐标为1.5,15,设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为ykb0k30,解得,1.5kb15b30即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y30x30(1x1.5).【点睛】此题考查一次函数的应用,解答此题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.【变式1-2】低碳

6、生活,绿色出行是一种环保,健康的生活方式,小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地,她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示,在小丽出Skm与出发时间xh之间的函发的同时,小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地,两人之间的距离数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示.1小丽和小明骑车的速度各是多少？2求E点坐标,并解释点的实际意义.9144、一、.一.一,【答案】1V小丽=16km/h,V小明=20km/h；2E-,实际意义为小明到达甲地.55【解析】1观察图1可知小丽骑行36千米用了2.25小时,根据速度=路程刑间可求出小丽的速度,观察图2可知小丽与小明

7、1小时机遇,由此即可求得小明的速度;2观察图2,结合两人的速度可知点E为小明到达甲地,根据相关数据求出坐标即可【详解】(1)V小丽=36e.25=16(km/h),V小明=36T-16=20(km/h)(2)3620=9(h),5914416x=(km),551449所以点E的坐标为一,5实际意义是小明到达了甲地【点睛】此题考查了一次函数的应用行程问题,弄清题意,正确分析图象,得出有用的信息是解题的关键.【考点2】方案选择问题【例2】某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购置会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购置会员卡,每次游泳付

8、费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次,选择方式一的总费用为y1元,选择方式二的总费用为y2元.(1)请分别写出yi,y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱.【答案】yi30x200;y240x；(2)Hx20时选择方式一比方式二省钱.【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；(2)根据题意,列出关于x的不等式进行解答即可.【详解】yi30x200,y40x；(2)由yiy2得：30x20040x,解得：x20,当x20时选择方式一比方式2省钱,即一年内来此游泳馆的次数超过20次时先择方式一比方式二省钱.【点睛】此题考查了一

9、次函数的应用,解答此题的关键是弄清题意,找准各量间的关系,正确运用相关知识解答.【变式2-1】甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店,不管一次购置数量是多少,价格均为6元/kg.在乙批发店,一次购置数量不超过元50kg时,价格为7元/kg;一次购置数量超过50kg时,其中有50kg的价格仍为7元/kg,超出50kg局部的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购置苹果的数量为xkg(x0).(I)根据题意填表：一次购置数量/kg3050i50甲批发店花费/元300乙批发店花费/元350(n)设在甲批发店花费yi元,在乙批发店花费y2元,分别求yi,y?关于x的函数解析式;(in)根据题意

10、填空：假设小王在甲批发店和在乙批发店一次购置苹果的数量相同,且花费相同,那么他在同一个批发店一次购置苹果的数量为kg；假设小王在同一个批发店一次购置苹果的数量为120kg,那么他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少；假设小王在同一个批发店一次购置苹果花费了360元,那么他在甲、乙两个批发店中的批发店购置数量多.【答案】(I)180,900,210,850；(n)yi6x(x0)；当0(50时,y7x；当x50时,y5x100.(m)100；乙；甲.【解析】(I)根据在甲批发店,不管一次购置数量是多少,价格均为6元/kg.在乙批发店,一次购置数量不超过元50kg时,价格为7元/kg；一次购置数

11、量超过50kg时,其中有50kg的价格仍为7元/kg,超出50kg局部的价格为5元/kg.可以分别把表一和表二补充完整；(n)根据所花费用=每千克的价格一次购置数量,可得出yy2关于x的函数关系式,注意进行分段；(出)根据必y2得出x的值即可；把x=120分别代入必和y2的解析式,并比拟y1和y2的大小即可；分别求出当y360和y360时x的值,并比拟大小即可.【详解】解：(I)当x=30时,y1306180,y307210当x=150时,y11506900,y25075(15050)850故答案为:180,900,210,850.(n)y16x(x0).当0x450时,y7x；当x50时,y

12、27505(x50),即y25x100.(m):x0,6x7x当y1y2时,即6x=5x+100/.x=100故答案为：100.x=12050,y16120720;y25120100=700,乙批发店购置花费少；故答案为：乙当x=50时乙批发店的花费是：350360一次购置苹果花费了360元,x50,当yi360时,6x=360,x=60,当y2360时,5x+100=360,/.x=52.甲批发店购置数量多.故答案为：甲【点睛】此题考查一次函数的应用一方案选择问题,解答此题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.x时所需费用为y元,选择这两种卡【变式2-2】某生态体验园推出

13、了甲、乙两种消费卡,设入园次数为消费时,y与x的函数关系如下图,解答以下问题(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式；(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比拟合算.100(2)见解析【解析】(1)运用待定系数法,即可求出y与x之间的函数表达式;(2)解方程或不等式即可解决问题,分三种情形答复即可.【详解】(1)设y甲k1x,根据题意得5k1100,解得k120,y甲20x；设立k2x100,根据题意得:20k2100300,解得k210,y乙10x100；(2)y甲y乙,即20x10x100,解得x10,当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比拟合算;y甲y乙,即20x10x10

14、0,解得x10,当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;y甲y乙,即20x10x100,解得x10,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比拟合算.【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标,正确由图象得出正确信息是解题关键,属于中考常考题型.【考点3最大利润问题【例3】某水果商方案购进甲、乙两种水果进行销售,经了解,甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元,且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同.(1)求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？(2)该水果商根据该水果店平常的销售情况确定,购进两种水果共200千克,其中甲种水果的

15、数量不超过乙种水果数量的3倍,且购置资金不超过3420元,购回后,水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元,乙种水果的销售价定为每千克25元,那么水果商应如何进货,才能获得最大利润,最大利润是多少？【答案】(1)甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；(2)水果商进货甲种水果145千克,乙种水果55千克,才能获得最大利润,最大利润是855元.【解析】(1)根据题意可以列出相应的分式方程,求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；(2)根据题意可以得到利润和购置甲种水果数量之间的关系,再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍,且购置资金不超过3420元,可以求得甲种水果数量的取值范围,最后根

16、据一次函数的性质即可解答此题.【详解】(1)设甲种水果的单价是X元,那么乙种水果的单价是(x4)元,80010005xx4解得,x16,经检验,x16是原分式方程的解,x420,答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；(2)设购进甲种水果a千克,那么购进乙种水果(200a)千克,利润为w元,w(2016)a(2520)(200a)a1000,甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍,且购置资金不超过3420元,fa3(2CO-a),116a420(200-a)2+500X4=6000米,故答案为6000.【点睛】此题考查一次函数的应用,解答此题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答4.甲

17、、乙两人分别从A,B两地相向而行,匀速行进甲先出发且先到达B地,他们之间的距离skm与甲出发的时间th的关系如下图,那么乙由B地到A地用了h.【解析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度,从而可以求得乙由B地到A地所用的时间.【详解】解：由图可得,甲的速度为：36与=6(km/h),3664.5那么乙的速度为：=3.6(km/h),4.52那么乙由B地到A地用时：36与.6=10(h),故答案为：10.【点睛】此题考查一次函数的应用,解答此题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.150m3,假设今年用水量与去年相同,水费将比5 .某市为提倡居民节约用水,自今年i月i日起调整居民用

18、水价格.图中ii、12分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系.小雨家去年用水量为【解析】根据函数图象中的数据可以求得x120时,12对应的函数解析式,从而可以求得x150时对应的函数值,由11的的图象可以求得x150时对应的函数值,从而可以计算出题目中所求问题的答案,此题得以解决.设当x120时,12对应的函数解析式为ykxb,120kb480k6,得,160kb720b240即当x120时,I2对应的函数解析式为y6x240,当x150时,y6150240660,由图象可知,去年的水价是4801603元/m3,故小雨家去年用水量为150m3,需要缴费：1503450元,6

19、60450210元,即小雨家去年用水量为150m3,假设今年用水量与去年相同,水费将比去年多210元,故答案为：210.【点睛】此题考查一次函数的应用,解答此题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6 .某工厂方案生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x吨,生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元.1求y与x之间的函数表达式；2假设每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两

20、种产品各为多少吨时,能获得最大利润.【答案】1y0.1x1000；2工厂生产甲产品1000吨,乙产品1500吨时,能获得最大利润.【解析】1利润y元=生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润=生产1吨甲产品的利润0.3万元刈产品白吨数x,即0.3x万元,生产乙产品的利润=生产1吨乙产品的利润0.4万元出产品的吨数2500-x,即0.42500-x万元.2由1得y是x的一次函数,根据函数的增减性,结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时,利润y最大.【详解】（1） yx0.32500x0.40.1x1000.2由题意得：x0.252500x0.52500,所以100飞弋2500.由

21、1可知,0.10,所以y的值随着x的增加而减小.所以当x1000时,y取最大值,此时生产乙种产品250010001500吨.答：工厂生产甲产品1000吨,乙产品1500吨,时,能获得最大利润.【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题,准确地根据题目中数量之间的关系,求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式,然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围,最后确定函数的最值.也是常考内容之一.7,A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y千米与甲车

22、的行驶时间x时之间的函数关系如下图.1乙车的速度为千米/时,a,b.2求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.135x2702x3.6【答案】175；3.6；4.5；2y；3当甲车到达距B地70千米处时,求60x3.6x4.5甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】1根据图象可知两车2小时后相遇,根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据路程、速度、时间的关系确定a、b的值；2运用待定系数法解得即可；3求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间,代入2的结论解答即可.【详解】解：1乙车的速度为：270602275千米/时,a270753.6,b270604.5.故答案为：75；3.6

23、；4.5；(2)603.6216千米,3.6时,设yk1xb.,根据题意得:2ki403.6匕h216ki135270y135x2702x3.6；当3.6x4.6时,设y60x,135x2702x3.660x3.6x4.5203甲车到达距B地70千米处时行驶白时间为：2707060小时,620此时甲、乙两车之间的路程为：135一270180千米.6答：当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程为180千米.【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.8.某校喜迎中华人民共和国成立70周年,将举行以歌唱祖国为主题的歌咏比赛,需要在文具店购置国旗图案贴纸和小红旗发

24、给学生做演出道具.每袋贴纸有50张,每袋小红旗有20面,贴纸和小红旗需整袋购置,每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元,用150元购置贴纸所得袋数与用200元购置小红旗所得袋数相同.1求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？2如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张,小红旗1面.设购置国旗图案贴纸a袋a为正整数,那么购置小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示.3在文具店累计购物超过800元后,超出800元的局部可享受8折优惠.学校按2中的配套方案购买,共支付w元,求w关于a的函数关系式.现全校有1200名学生参加演出,需要购置国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？5【答案】1

25、每袋国旗图案贴纸为15兀,每袋小红旗为20兀；2购置小红旗一a袋恰好配套；3需要4购置国旗图案贴纸和小红旗各48,60袋,总费用W1696元.【解析】(1)设每袋国旗图案贴纸为x元,那么有150-200,解得X15,检验后即可求解;xx55(2)设购置b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套,那么有50a:20b2:1,解得ba；4(3)如果没有折扣,W40a,a2032a160,a,国旗贴纸20120022400张,小红旗需要:120011200面,贝Ua24005048袋,5-a60袋,总费用W32481601696元.4(1)设每袋国旗图案贴纸为x元,200x5解得x15,经检验x15是方程的解,每

26、袋小红旗为15520元;答：每袋国旗图案贴纸为15元,每袋小红旗为20元;(2)设购置b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套,那么有50a:20b2:1,一5斛得b-a,45答：购置小红旗-a袋恰好配套；45(3)如果没有折扣,那么W15a20-a40a,4依题意得40a800,当a20时,那么W解得a20,8000.8(40a800)32a160,40a,a2032a160,a20国旗贴纸需要：120022400张,小红旗需要：120011200面,门2400.5i贝Ua48袋,b-a60袋,504总费用W32481601696元.【点睛】此题考查分式方程,一次函数的应用,能够根据题意列出准确的分式方

27、程,求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键9.某超市方案购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:商品甲乙进价(元/件)x60x售价(元/件)200100假设用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？(2)假设超市销售甲、乙两种商品共50件,其中销售甲种商品为a件(a30),设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元,求w与a之间的函数关系式,并求出w的最小值.【答案】(1)分别是120元,60元；(2)w40a2000(a30),当a=30件时,w最小值=3200元【解析】(1)根据用360元购进甲种商品的件数与用

28、180元购进乙种商品的件数相同列出方程,解方程即可；(2)根据总利润=甲种商品一件的利润X甲种商品的件数+乙种商品一件的利润X乙种商品的彳数列出w与a之间的函数关系式,再根据一次函数的性质即可求出w的最小值.,、-360180解：(1)依题意可得方程：,x60x解得x60,经检验x60是方程的根,x60120元,答：甲、乙两种商品的进价分别是120元,60元；(2) .销售甲种商品为a件(a30),.销售乙种商品为(50a)件,根据题意得：w(200120)a(10060)(50a)40a2000(a30),.400,w的值随a值的增大而增大,.当a30时,w最小值403020003200(元

29、).【点睛】此题考查了分式方程的应用,一次函数的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的数量关系.10 .为了节能减排,我市某校准备购置某种品牌的节能灯,3只A型节能灯和5只B型节能次T共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购置这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购置方案,并说明理由.【答案】(1)1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元；(2)当购置A型号节能灯150只,B型号节能灯50只时最省钱,见解析.【

30、解析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答此题；(2)根据题意可以得到费用与购置A型号节能灯的关系式,然后根据一次函数的性质即可解答此题.【详解】解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元,1只B型节能灯的售价是y元,3x5y50,解得,2x3y31答：1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元；(2)设购置A型号的节能灯a只,那么购置B型号的节能灯(200-a)只,费用为w元,w=5a7(200a)=-2a1400,i*、,a3200a),a150,当a=150时,w取得最小值,此时w=1100,200-a=50答：当购置A型号节能灯150只,B型号节能灯50只时最省钱.【点睛】此题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答此题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答.11 .学校方案为我和我的祖国演讲比赛购置奖品.购置3个A奖品和2个B奖品共需120元；购置5个A奖品和4个B奖品共需210元.(1)求A,B两种奖品的单价；1(2)学校准备购置A,B两种奖品共30个,且A奖品