平面向量与解析几何综合应用问题汇总

1、平面向量与解析几何综合应用问题汇总由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和 纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐 成为高考命题的一个新的亮点。近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时有出现。但 从最近教学情况来看，学生对这一类问题的掌握不到位，在试卷上经常出现进退两难的境地，因此，就这 一问题做一归纳总结和反思。平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基 本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向

2、量运算的几何意义， 利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式1. 4卷/ )已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、B两点,研究这类问题要简捷的多。OA+OB 与 a =(3,1)共线。(i)求椭圆的离心率；.(n)设M为椭圆上任意一点，且 OM =?,OA+NOB (儿NwR),证明九2十N2为定值。22解：设椭圆方程为二、=1(a b 0), F(c,0) a b22化简得则直线AB

3、的方程为y=xc,代入与+冬 a b,2, 2、 222 22, 2(a b )x -2a cx a c - a b =0.令 A (Xi,y1)，B(X2,y2),则 xi+x2 =2a2c22" , xx2 =a 士 T2 22, 2a c -a b22a b由 OA + OB =(x1 +x2,y1 十y2),a = (3,1),OA+OB与a共线，得3(y +y?) +(x +x2) =0,又 Vi =x1 一c,y2 =x2 c ,3(x1x2 -2c) (x1 x2) = 0,即冷曦所以a"2.3x1x2 = 一 c.22, 2.' 6 a, c =&l

4、t;a -b =，3故离心率e = a(II)证明：(1)知a2 =3b2,所以椭圆221 + 4 =1 可化为 x2 + 3y2 = 3b2. 22a b设OM =(x, y),由已知得(x, y)=£(为、)+7仪2,丫2), x = Ax1 + Nx2,222二 、, v M(x, v)在椭圆上，二(九x +收2)2+3(九y1+%2)2 =3b2.y = Ax1 + *.即九(x1 +3y1 ) + N (x2 +3y2) +21M(x1x2 +3y1y2) =3b .由(1)知 x1 x2 = 3c, a2 = 3c2,b2 22x1x22 22, 2a c -a b3 2

5、=.c8x1x23yly2 =x1x2 3(x1 -c)(x2 -c)2= 4x1x2 -3(x1 x2)c 3c3 2二一 c2=0.又 x2+3y2 =3b2,x2-9c2 3c22+ 3y； = 3b2,代入得 九2 +R2 =1.故片+N2为定值，定值为1.例2 (天津卷)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2V2 ,相应于焦点F (c, 0) (c>0)的准线l与x轴相交于点A, OF| =2FA.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I )求椭圆的方程及离心率；(11)若加OQ = 0,求直线PQ的方程；(田)设第=九丽(九1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点 M

6、,证明： 丽=九FQ.22简解(I)椭圆方程为 ' +匕=1,离心率e = J. (H)略. 623(田)证明设 P(xi,yi) ,Q (X2,y2),又 A (3, 0), AP = (x1 3,y1), AQ = (x2 -3, y2)由已知得方程组：2222Xiyi 小 X2y2 dXi 3 =九(x2 3), y1 = /42 ， + = 1； + = 1.6262注意人1,消去xi、yi和y2得5' -1 一x2 =. HF (2,0) , M (xi,-yi),2,1-1故 FM =(xi -2,-yi) = (,(x2 -3) 1, _ yi) = (，- yi

7、) = - 1(，y2).221 、而 FQ =(x2 -2,y2) =(,y2).2所以 FM = - FQ.2 .运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题；运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。例3.(重庆卷)设p>0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线 段AB为直径作圆H (H为圆心)，试证明抛物线顶点在圆 H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线 AB的方程。1(YaYb)2 4P (2p)2分析要证点。在圆H上，只要证OALOB,可转化OA OB =0,用向量运算

8、的方法证明.(见图1)解答由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方k ky=x 2p Ly2 = 2px消去 x,得 y2 2pky4P2 = 0又设A (xA,yA),B(xB,yB),则其坐标满足y Ya + yB = 2 pk由此得2L yA yB =-4pxa + xb = 4p + k (ya+yb) =(4 + 2k2)p ,xaxb =因止匕 OA OB =xaxb + yAyB = 0,即 OA X OB 故O必在圆H的圆周上。又由题意圆心H (xh , yh)是AB的中点，故_ X A X B2_ yAyB22=(2 k )p二 kp由前已证，OH应是圆H的半径，且OH =

9、 q'x； + yH = px-'k4 +5k2 +4从而当k = 0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。此时，直线AB的方程为：x = 2p.3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。B(-1,3),若点C满足例4.(全国新课程卷)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)p CR且o（ + p=1,则点C的轨迹方程为（）Oc = ： OA -OB,其中二分析本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立 意更新，情景更好，内容更丰富。解法 1设 C(x, y),则 (x, y)=(3 a ,

10、a)+(-P, 3P)=(3a -P, u+3P),，x=4 a 1,y= 2 a + 3.消去参数a,得点C的轨迹方程为x + 2y5=0.解法2利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A, B, C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线 AB的方程x+2y-5=0,故本题应选D.从上述几例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题 的向量背景，注意运用曲线参数方程的点化作用，就完全有可能获得一个漂亮的向量解法。随着新教材的逐步推广、使用，今后高考对新增内容的考查会逐渐加大，综合性会更强。作为新课程 新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，成

11、为了作为联系众多知识的桥梁。因此，向量与三角、解析几 何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势 ，所以必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理 解、运用熟练的境地。对“导数的应用”的教学反思数学组施冬芳新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着 广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一 本文对几类常见问题进行剖析和探究。问题：若 2x 1 2x -100为函数f(x)的极值点，则f '(X0)= 0吗？答：不一定，缺少一个条件(可导函数)。反例：函数y = x在x=。处有极小值，而

12、f(x0)不存在。正确的命题是：若x0为可导函数f(x)的极值点，则 f'(x0)= 0问题：若f (x0)= 0,则函数f(x)在x0处一定有极值吗？答：不一定。3反例：函数y=x有f (0)= 0,而f(x)在x=0处没有极值。正确的命题是：若f (x0) = 0,且函数f(x)在x0处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在x0处有极值.问题：在区间(a，b)上的可导函数f(x) , f'(x)>0是函数f(x)在该区间上为增函数的充要条件吗？3 ，、- 一、答：不一定。反例：函数y=X在(3，+叼上为增函数，而f (0)= 0。正确的命题是：(函数单调性的充分条件)

13、在区间(a，b)上，f'(x)>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件.(函数单调性的必要条件)函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内f'(x)之0。另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学(数学分析)上函数单调性的概念不一致。数学分析上函 数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。问题：单调区问(a，b)应写成开区间还是写成闭区问？答：若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区问。问题：“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有区别吗？1 38f (x) = x-例1已知曲线 3 上一点P (2, 3)

14、.求点P处的切线方程。大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果：12x -3y-化=0.一、138f (x) = x变式 已知曲线3 上一点P (2, 3)。求过点P的切线方程。解设切点为Q(x0，f(x0),则切线"勺方程为y 一 f(xo)= f(xo)(x - Xj 又点p在切线81 3 _ 2所以 3 3X0 X0X0整理，得( -2f(x。+1)=0所以 x0=T，x0=2 于是切线的方程为 12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0.小结：”曲线在点P处的切线”只有一条，且P为切点；“曲线过点P处的切线”有两条，P不一定是切点。 在高三数学复习中，用好课本，尤其是课

15、本例题更为重要，能总结出一些有规律性的东西，可使学生在复 习时既有熟悉感又有新奇感，从而提高认识的深度。问题6:忽视函数的定义域，容易致错，也给解题带来很大困难。2例2求函数f(x)=2x 7nx的单调递增区问。 2x 1 2x -1f x 二错解：xiix ,0 ilj , I ,01,所以 I 2 J I2）所以单调递增区间是I 2分口 I2人2x 1正解：因定义域为x>0 , 所以 x 是正数于是 f x 0 = 2x-1 01 ,： j 所以单调递增区间是'2 人评注：这种类型的题目在高三总复习中常常见到，也是学生常犯的错误之一。函数的单调性是函数性质的核心，是高考必考内

16、容，强调求函数的单调区间时， 不忘求定义域，还要先求定义域，从而达到化繁为简，事半功倍的效果。问题：用导数解含参数的函数在某区间上的单调性问题32例3若函数f（x）=x -ax +1在。2）内单调递减，则实数a的取值范围为232错解：f（x） = 3x-2ax因为f（x）=x-ax+1在（0，2 ）内单调递减，所以f（x）<0在。2）上恒成3 a x 立，即 2 包成立。因此a >3 0一一 2_32_一 一_正解：f（x）=3x -2ax因为f（x）=x -ax +1在（0，2 ）内单调递减，所以f（x）EO在92）上包成立，3 a - x 即 2 包成立。因此a至3评注：这种类型的题目是高考试题的重点和热点，也是学生常见的错误之一。出错的原因在于没有搞清楚 函数单调性的充分条件与必要条件之间的关系；没有正确理解函数单调性的充分条件”的含义。经探讨得到以下结论： 一般地，设函数y= f（x）在某个区间内可导，则久心0,且方程f'（x）=0 的解是离散的 是