全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(文科)(含答案解析)

1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。x log 2 x 2 ,则 A B ()1 .已知集合 A x(x 1)(x 4) 0 , BA. 2 , 4B. 1,C. 0,4D. 2,12 .若复数z满足z

2、(1 i)2 i ( i是虚数单位)，则z为()A.B.C.D.3 .已知单位向量b满足则a.? (a.-b)=()1A. 0B. C. 1D. 24 .将函数门由=5而俨下 十2的图象向左平移;个单位，得到函数 成打的图象，则小的解析式为()A.2:一 一B. *，：.、： 一 一C.一二:5 .已知 x?10g32= 1,则 4x=()D. 9)D.等边三角形A. 4B. 6C. 4,寅”6 .在 ABC 中，若 sinB = 2sinAcosC ,那么 ABC 一定是A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形7 .宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱

3、世杰四大家”，朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习九章算术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术， 又吸收了南方的正负开方术、 各种日用算法及通俗歌诀, 在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.( )罕a=a+ jab=2b ：/i=n+l否/输勺/_ _ TIMA. 2 B. 3 C. 48.已知等比数列 an中，公比为q, a2 3,且数列bn的前

4、n项和为Tn,则T9()A. 36B. 28若输入的a,b分别为3, 1,则输出的nD. 51, q, 7成等差数列，又bn 10g3 an,C. 45D. 329.设函数f (x) a ln x bx2 (a 0, b 0),若函数f (x)的图象在x 1处的切线与直线11x y 2e 0平行，则一一的最小值为()a bA. 1 B.1 C. 3 2 2 D. 3 2/2210.已知函数 f (x) = sin (cox+(j)的最小正周期为兀,且关于中心对称，则下列结论正确的是(A. f (1) v f (0) v f (2)B. f (0) v f (2) vf (1)C. f (2)

5、v f(0) < f (1)D. f (2) v f (1) vf (0)11.已知抛物线y且该抛物线的22的焦点F是椭圆 与与 1(a b 0)的一个焦点,a b准线与椭圆相交于A、B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为(A. .31B. 2c. -13D.(x)，当A. (, 11B. ( 3,iC. 1,)二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。.1 . 一13 .求值：log315 -log325x> 0,14 .已知x, y满足 x y>4,若x 2y的最小值为x 2y < 1. 一一.1一，15、已知数列an的前n项和为Sn ,且Sn 2an

6、 1 ,则数列 的前6项和为an16、已知正三棱锥P-AB。点H、H、B、。都在半径为x3 球面上，若P/、P.B、.PC两两相互垂直，则球心到截面的距离为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. ( 12分)质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n彳安质量指质量指标值等级zplJJ分仪60, 75)三等品1075, 90)二等品30KJJ90, 105)一等品a a105, 120)特等品20合计n标值进行统计分析，得到表格如表:12.定

7、义在R上的可导函数f(x)满足f(2 x) f(x) 2x 2,记f(x)的导函数为fxW1时恒有f (x) 1.若f(m) f (1 2m) > 3m 1 ,则m的取值范围是(1)求 a, b, n;(2)从质量指标值在90, 120)的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.18. (12 分)已知数列an满足2一L 二一n2 a15 2a2 52a3 5 2an 53(1)求数列 an的通项公式；1(2)设数列 的前n项和为Tn,求Tn.an an 119. (12 分)将棱长为2的正方体ABCD A1B1cl D1截去三棱锥D1

8、 ACD后得到如图所示几何体, 。为丹勒的中点.(1)求证OB /平面ACD1 ;(2)求几何体 ACB1AlD1的体积.20. ( 12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线 C : x2 4y的焦点关于直线y x对称，且椭圆e与坐标轴的一个交点坐标为2,0(I)求椭圆E的标准方程；(II)过点0, 2的直线l (直线的斜率k存在且不为0)交E于A, B两点，交X轴于点P点A关于x轴的对称点为D,直线BD交x轴于点Q.试探究|OP | | OQ |是否为定值？请说明理由.221. ( 12 分)已知函数 f (x) x ax 21nx.(I)当a 5时，求f (x)的单调区间；1 1(II

9、)若f(x)有两个极值点 “x2,且x1 - x2，求a取值范围.(其中e为自然对数 3e的底数).(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分。22.在平面直角坐标系 xOy中，直线1x的参数方程为L (t为参数)，以原点O二 t2为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为41 sin2uuu uuirQ 求 OP OQ .(1)求直线1的普通方程和曲线 C的直角坐标方程;(2)设P (0,-1),直线1与C的交点为M N,线段MN勺中点为23.已知函数f (x) x 2(1)解不等式：f (x) 4 f(x 1)(2)若函数g(x)

10、 Jx 3,(x 4)与函数y m f (x) 2f (x 2)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案1、【答案】C【解析】算出集合 A B后可求A B.【详解】A x(x 1)(x 4) 01,4 , B xlog2x 20,4 ,故A B 0,4 ,故选c.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得Z1一，问题得解2【详解】由z(1 i)2 i可得：zi2(1 i)_21 2i i211所以| Z 故选：B23、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可.解：因为单位向量 且,b满足则g? (a.-= a.?b=12-0=1-故选：C.4

11、、【答案】A【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式.【详解】将函数 月处%(2七十/的图象向左平移七个单位后所得图象对应的解析式为=cos2x故选A.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.解： x? 10g32= 1, x=log23,. 4x= 41cg/= 9?故选：D.2sinAcosC,6、B 解：sinB = sin兀一(A+C) = sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC cosAsinC - sinAcosC = sin (CA) =0,即 C-A = 0, C=A, .a= c,即 ABC为等腰三角形.7、【答案】C【解析】按

12、流程图逐一执行即可【详解】输入的a,b分别为3, 1时，依次执行程序框图可得:b 2 1 2a b不成立n 1 1 29 1 9 27 a 2 2 24b2 24ab不成立n2 132712781a 4248b2 4 8ab不成立n3 1481181243a82816b 2 8 16a b成立输出n 4故选：C8、【答案】A【解析】由 1, q, 7成等差数列即可列方程求得：q 3,即可求得：an 3n 1,即可求得：bn n 1,再利用等差数列前 n项和公式计算即可.【详解】因为 1, q, 7成等差数列，所以2q又 a23 ,所以 ana2qn 2 3 3n 23n 1所以 bnlog3

13、an 10g 3 3n1 n 1所以 T9b1b2 Lb99 131b929 119 1236故选：A9、【答案】D2a【斛析】由f(x) aln x bx可得：f (x) 2bx, x又函数f(x)的图象在x1处的切线与直线xy 2e 0平行,所以 f (1) a 2b 1a 2b2ba3 2栏3当且仅当a J2 1,b 1返时，等号成立211所以一一的取小值为3 2>/2 ab故选：D10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可.2几解：,函数的最小周期是兀，'=兀，得3=2,贝U f (x) = sin (2x+ 4),TT- f (x)

14、关于J , 0)中心对称, 匚：TT I2x (冏)+4=k 兀，kCZ,口冗I即(f)=k, kCZ,.c J，当 k=0 时，4兀即 f (x) = sin (2x+-)则函数在-2-上递增，在一，*丁上递减,o oo o7Tf (0) =f (丁，<1<2,兀f ()>f (1) >f (2),即 f v f (1) V f (0),11故选：D.【答案】C【解析】由题知线段AB是椭圆的通径，线段AB与y轴的交点是椭圆的下焦点 F1,且椭圆的c 1,又 / FAB 60o ，af2AF12a12【答案】D【解析】构造函数AFi63,f(m)造函数F(x) f (x

15、) xF(2 x) x 1,F(x)所以,F' x ,F(x)FF1otan 60f(1,32c32m) > 3m2后,|AF22 AFi13 ,故选C.331 f (m)f (2 x) f(x) 2x 2F(x)的对称轴为x是增函数；x -m f(1 2m) (1 2m),所以构f(21 ,1 ,F' xx) (2 x)F (x)f'(x)0, F (x)是f (x) x1所以减函数。一八，一1|m-1|1-2m-1|,解得：m -1,313【答案】1【解析】根据对数运算，化简即可得解【详解】由对数运算，化简可得1 log315 log32521 =log 31

16、5 log3 252 =log 3 15 10g35=log 33=1故答案为:114、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标函数z = x+2y对应的直线进行平移，可得当 x=3且y=1时，z取得最小值.X 0【详解】作出不等式组X y 4表示的平面区域，x 2y 1x y 4其中解得A (3, 1)x 2y 1设z=x+2y,将直线l： z = x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当 l经过点A时，目标函数z达到最小值z最小值=3+2=5故答案为：5. I-215、【答案】6332【解析】由题意得Sn-12ani 1(n 2)an2an2an 1an2 an 1 ,因为&#

17、167;=2a11 a1 1n 1an 2an数列工的前6项和为 a n196TT26332【详解】.正三棱锥P- ABCPA PRPC两两垂直,，此正三棱锥的外接球即为以PA PBPC为三条棱的正方体的外接球,球的半径为 ，正方体的边长为 2,即PA= PB= PC= 2球心到截面ABCW距离即正方体中心到截面 ABCW距离设P到截面ABCW距离为h,则正三棱锥P- ABCW体积V=1SaabcX h=-SpabX PG= - x - x 2 333 24X2X 2= 3ABC边长为 羽5的正三角形，Saabcx（2/2） 2二2、百，球心(即正方体中心)O到截面ABC勺距离为了-空竺，故答

18、案为17、解：（1）由 10+0.1=100,即 n=100,.a= 100X0.4 = 40,b= 30+ 100= 036 分(2)设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件,由分层抽样得:解得 x= 2, y= 4,，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1, A2,有一等品4件，记为B1，B2, B3, B4,则所有的抽样情况有 15种，分别为:A1A2, A1B1 , A1B2,A1B3, A1B4, A2B1, A2B2, A2B3, A2B4, B1B2, B1B3, B1B4, B2B3,B2B4, B3B4,其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为:

19、A2B4,A1A2, A1B1, A1B2, A1B3, A1B4, A2B1, A2B2, A2B3,.至少有1件特等品被抽到的概率为:12分18.解：（1）令 8n n,bn3. 一 1当n 1时，b1一，则bn3n2an 5n 1一,2an 5 3n n 11当 n 2 时，bn8n 8n 1 - -333故an3n 52(2)Q 1 an an 1(3n 5)3(n 1) 54而上(£3 n 5 3(n 1) 5)3(n 1) 5146 9n24n6n 161219.解：(1)取AC中点为O1,连接OOhBQ'OQj正方形A1B1C1D1中。为ac1的中点，。为B1D

20、1的中点.又.正方体 ABCD A1B1clD1 中 AA CC1 BB1,OO1 / CC1 / BB1 .OO1 / BB1 .四边形 OO1B1B 为平行四边形，BO1 B1OBO1 / D1O .，四边形 O1BOD1为平行四边形 . BO/O1D1 .又BO 平面ACD1 , OR 平面ACD1,OB / 平面 ACD1(2)VACB1A1D1VABCC1D1A1B, VA BCB1 VC B1C1D1VABCC1D1ABiVABCD A1B1C1 D1 VD1 ACD20312VA BCB1VC B1clD14204，VACB1A1D12-33320. (1)因为椭圆E的一个焦点与

21、抛物线 C:x2 4y的焦点关于直线 y x对称,所以椭圆E的右焦点为(1,0)，所以C 1.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 (2,0),所以a 2,又b2 a2 c2 3,2所以椭圆E的标准方程为x.42匕1.3(2)设直线1的方程为ykx 2, k0,则点Pr0A xi,yi,B X2,y2则点D Xi,yi1与椭圆E的方程有2y3 kx4k216kx 40 ,所以有 484k2k2X1且X2X1X216k3 4k ,即直线BD43 4k2y的方程为y2小y1XiX2X1令y 0,得点Q的横坐标为xqX1 y2X2 yy1y22 kxix2 2 x1X28k 32k代入得：xq2216k2 4 3 4k2所以|OP|OQ| Xp Xq2 2k k4 ,所以