正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

1、第四单元第四单元 正弦函数和余弦函数的定义正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式与诱导公式 数学必修数学必修44.2单位圆与周期函数（第二课时）12021/4/2223思考题：填课本P15动手实践表1-5并借助单位圆记住特殊角的三角函数值x0643256764332531162sinyxcosyx01222321321201232132120132221201232132120321123提出问题（1）观察图5，根据前面学的知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？（2）怎样定义周期函数？（3）怎样确定最小正周期？xyM( , ),P u v2x1xo图54由三角函数的定义，可

2、以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是终边相同的角的正弦函数值相等，即即终边相同的角的余弦函数值相等，即即sin(2)sin ,;kxx kzcos(2)cos ,.kxx kz对于任意一个角x，每增加的2 整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。我们把这种随自变量的变化呈周期性变化随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数， 且且 为正弦函数、余弦函数的周期。为正弦函数、余弦函数的周期。 2(,0)kkZ k单位圆2自动画5例如 ， 等都是它

3、们的周期。其中 是正弦、余弦函数正周期中最小的一个（可以证明），称为最小正周期最小正周期。 4,22 ,42一般地，对于函数一般地，对于函数 ，如果存在非零实数，如果存在非零实数T T，任取，任取定义域内地任意一个定义域内地任意一个 值，都有值，都有 我们就把称它为我们就把称它为周期函数周期函数，T T称为这个函数的周期。称为这个函数的周期。( )f xx()( )fxTfx特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期。数的最小正周期。6例例1. 1. 求下列三角函数值：（1） ；（2） .sin39019cos6点评点评：本题主要是巩固任意

4、角的正弦、余弦函数的意义，我们体会到三角函数值的符号只与角的终边所在象限有关，与角的大小没有关系。（2）解：解：（1）1sin390sin(36030 )sin30.2 19773coscos(2)cos.6662 7思考思考1 1：函数函数y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的最小正周的最小正周期是多少？期是多少？ si n()yAxwj=+(0,0)Aw思考思考2 2：一般地，函数一般地，函数 的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? 思考思考3 3：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)的周期是的周期是T T，那么，那么函数函数y=f(xy=f(x)的周期是多少？的周期是多少

5、？8例例2.2. 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1 1）y=3cosx; xRy=3cosx; xR（2 2）y=sin2xy=sin2x，xRxR； 2 sin()26xyp=-（3 3） ， xR xR ；例例3.3.已知函数已知函数f(x)=f(x)= 满足满足f(-3f(-36)=f(-3)6)=f(-3) ，试判断试判断f(x)f(x)是否为以是否为以6 6为周期的周期函数？为为周期的周期函数？为什么什么? ?2x9例例4.4.已知 是 上的奇函数，且求( )f xR(1)2,(3)( ),ff xf x(8).f解：解：由题意，知3是函数 的周期，且所以( )f x()(

6、),fxf x (8)(2 2 3)(2)( 1 3)( 1)(1)2.ffffff 点评：巩固周期函数的定义，体会周期的初步应用。10设 求 的值。( )sin,3f xx(1)(2)(3).(72)ffff解： 323(1)sin,(2)sin,(3)sin0,3232fff4353(4)sin,(5)sin,(6)sin20,3232fff (1)(2)(3)(4)(5)(6)0.ffffff而78212(7)sinsin, (8)sinsin,., (12)sinsin2 ,33333fff(7)(8)(9)(10)(11)(12)0.ffffff同理 ， (13)(14)(15)(1

7、6)(17)(18)0,ffffff(67)f(68)f(72)0.f(1)(2)(3)fff(72)0.f11课本P16练习T1(1)12这节课我们学了这节课我们学了正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数是周期函数，是周期函数， 为正弦函数、余弦函数的周期。为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数如果函数y=f(x)的周期是的周期是T，那么函数，那么函数y=f(x)的周的周期是期是2(,0)kkZ kTTsin(2)sin ,;kxx kzcos(2)cos ,.kxx kz它们能将任意角它们能将任意角的三角函数化为的三角函数化为0360角的三角函数角的三角函数公式一公式一13课本P20习题14 A组T4。142021/4/2注：注：文档资