选修4-1第一章相似三角形(文)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业年级年级高二学科学科数学版本版本通用版课程标题课程标题选修 41 第一章 相似三角形（文）编稿老师编稿老师孙洪成一校一校黄楠二校二校林卉审核审核王百玲一、学习目标：一、学习目标：1. 复习相似三角形的定义、判定定理与性质定理，并能利用判定定理与性质定理证明有关三角形相似的几何问题。2. 了解平行截割定理的内容及其应用。3. 复习锐角三角形的三角函数，会证明直角三角形的射影定理，并能利用射影定理进行一些计算与证明。二、重点、难点：二、重点、难点：重点：三角形相似的判定与应用以及平行截割定理与射影定理的应用。难点：恰当添加辅助线构造比例线段或相似三角形。三

2、、考点分析：三、考点分析：本讲内容在高考中属于选考内容，总分值为 510 分，多与圆相结合，考查利用相似以及射影定理求角或线段的长度，以填空题选做题的形式出现；有的省份也将其作为选做题出现在解答题中，通常也是结合圆，考查考生的逻辑推理能力。这部分内容是初中欧氏几何的延续，难度上有所增加，对逻辑推理能力要求较高，题目往往有一定难度。一、知识网络一、知识网络二、教材重要知识点细化二、教材重要知识点细化1. 相似三角形相似三角形精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业定义：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数） 。判定定理：判定定理

3、：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。特别地，对于直角三角形：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。（3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。说明：说明：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形三角形全等的判定SASSSSAAS（ASA）HL三角形相似的判定两边对应成比例，夹角相等（SAS）三边对应成比例（SSS）两角对应相等（AA

4、）一条直角边与斜边对应成比例（HL）从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是数学中所用的类比方法，即在旧知识的基础上找出新知识并从中探究掌握新知识的方法。性质定理：性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。2. 平行截割定理平行截割定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或

5、两边的延长线）所得的对应线段成比例。3. 直角三角形中的三角函数与射影定理直角三角形中的三角函数与射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业如图，三角形 ABC 中，C 是直角，CD 是斜边 AB 上的高，则：222(1)| |(2)|D|D|ACADABBCBDABCDAB、知识点一：相似三角形的判定与应用知识点一：相似三角形的判定与应用例例 1 （1）已知：图中 ACBD，DEAB，AC、ED 交于F，BC3，FC1，BD5，则 AC 。（2）在中，分别为上的点，且，的面

6、积是ABC,D E,AB AC/DEBCADE，梯形的面积为，则的值为（ ） 22cmDBCE26cm:DE BCA. B. C. D. 1:31:21:31:4思路分析：思路分析：（1）由包含条件 BC 和目标 AC 的与包含条件 FC 的相似，ACBDCF通过对应边成比例可求 AC。 （2）由面积比与相似比的关系可求。解答过程：解答过程：（1）在 RtABC 和 RtCDF 中，BACBFDCB ，所以BAC FDC所以ABCCDF，而 CDBDBC532，所以，所以12FCBCCDACAC2BC6。（2），,/ BCDEADEABC. 2:1:4262BCDESSADEABC、解题后的思

7、考：解题后的思考：这两个小题难度不大，体现了相似三角形的应用利用相似比求线段的长度或解决面积等问题。解决这类题目的关键是找到相似三角形，并把对应边找好。例例 2 如图，中，AB=AC，D 为 BC 的中点，BEAC,BE 交 AD 与 F,则图中的ABC相似三角形共有多少对？精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业FDACBE思路分析：思路分析：注意到,通过等角来找相似三角形。可分类考虑，一类为BDDCED与相似的直角三角形，一类为与相似的等腰三角形，一类为与相似ABDABCEFD的斜三角形。解答过程：解答过程：,90,9000DACEBCCDACCEBC又,DABDAC,ACDABDBEC

8、BDFAEF此类两两相似，有 10 对；FABDEBDBEDCDBEDBCERtED,斜边上的中线，为FDEFBAEDA此类两两相似，共 3 对；,ABCCCABACDCDE,DCE此类共 1 对；所以图中相似三角形共有 14 对。解题后的思考：解题后的思考：判断三角形相似时，找两个相等的角是最常用的策略，本题中的垂直与等腰直角三角形的条件孕育了许多对相等的角，其中比较容易疏漏的是“ED=BD=DC”这个隐含的关键条件，想找全并不容易，进行分类考虑可使思维清晰。这类直接找相似三角形的题目虽然在高考中很少出现，但它对认识相似三角形，提高读图的能力是很有帮助的。例例 3 如图所示，在ABC 中，A

9、D 为 BC 边上的中线，F 为 AB 边上任意一点，CF交 AD 于点 E。求证：AEBF2DEAF。思路分析：思路分析：要证的比例式中有数字 2，需将其“消灭”掉，转化为四条线段的比，再利用三角形相似加以证明。考虑到 D 为 BC 的中点，可构造中位线 DN，将底边 BF 转化为2DN，从而将 2“消灭”。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解答过程：解答过程：证明证明：过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N。在BCF 中，D 是 BC 的中点，DNBF，DNBF。21DNAF，AFEDNE，。AFAEDNDE又DNBF，21AFAEBFDE2即

10、AEBF2DEAF。解题后的思考：解题后的思考：解决本题的关键是构造中位线实现转化，由点 D 构造中位线，还可以取 BF 的中点，但这样不利于把 BF 与 DE 组织到一个三角形中，还需继续添加辅助线。这类积式相等的证明是高考中经常遇见的题目，解决的关键就是将其改造成四条线段之间的比的关系，通常将同一个三角形中的边作比，这样便于观察图中的相似三角形。知识点一小结：知识点一小结：相似三角形的判定与应用是重中之重，题型有计算也有证明。计算题主要是利用相似比，以填空题为主，题目较容易；证明题多是解答题，有时需要作出辅助线构造相似三角形，辅助线多与中点有关，比如构造中位线，直角三角形斜边上的中线等。无

11、论哪种题型，找出或者构造相似三角形是关键，其中较多地体现了转化思想，寻找“中间桥梁”沟通条件与目标结论。知识点二：平行截割定理的应用知识点二：平行截割定理的应用例例 4 如图，中，是的一个三等分点，ABCDAB/ /DEBC/ /EFDC，则_。2AF AB 思路分析：思路分析：题给条件中提供了两组平行线，分别利用平行截割定理，用结合三等ACAE点的条件可沟通 AF 与 AB。解答过程：解答过程：,/,/ACAEABADBCDEACAEADAFDCEF又D 为 AB 的一个三等分点，32ABAD精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业.2949,323232AFABABADAF解题后的思考：

12、解题后的思考：本题利用了三角形内的平行截割定理，属于基础题。解答过程体现了寻找“中间桥梁”的转化思想。例例 5 已知：如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，F 是 BA 延长线上的点，FD与 AC 交于点 E。 求证：AEFBECFA。思路分析：思路分析：将要证的积式改造成，等式两边是同一直线上的两条线段的比，FBFAECAE可考虑利用平行截割定理，于是可过点 A 作 BC 的平行线，交 FD 于 G，通过实现过渡。BDAGCDAG解答过程：解答过程：证明证明：过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点。AGBD，。FBFABDAG又BDDC，。FBFADCAGAGCD，。DCAGEC

13、AE。AEFBECFA。FBFAECAE解题后的思考：解题后的思考：本题所设的辅助线并没有利用中点条件，原因是要证的积式中没有AB。若将积式改造成 则 FB 与 EC 过于“松散”，不便展开证明。,ECFBEAFA知识点二小结：知识点二小结：平行截割定理常用于得出比例线段，从而实现比例线段之间的传递，体现了寻找“中间桥梁”的转化思想。知识点三：直角三角形中的射影定理与锐角三角函数知识点三：直角三角形中的射影定理与锐角三角函数例例 6 如图，AB 是半圆 O 的直径，弦 AD、BC 相交于点 P，那么BPD精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业CDAB A. B. C. D. sincost

14、an1tan（2）如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3cm，4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD cm 思路分析：思路分析：（1） 由等弧所对圆周角相等可知，将转化为PCDPABABCD利用锐角三角函数的定义可解。,PBPD （2）连结 CD，则 CDAB，由射影定理及勾股定理可解。解答过程：解答过程：（1）连结 CD，BD，则所以，所以,DCPBAPPCDPAB，AB 为半圆的直径，所以所以，。ABCDPBPD,90PDBPBPDcos（2）连结 CD，则 CDAB ，由直角三角形射影定理可得516BD5,BA4,BC,2所以又BABDBC解

15、题后的思考：解题后的思考：涉及到直角三角形有关计算是此类题中最为常见的，可以使用的定理、定义很多，像勾股定理、射影定理、斜边的中线等于斜边的一半等，此外，由于直径所对的圆周角、有关切线的定理与性质、垂径定理等都与直角三角形有关，所以也经常与圆相结合。例例 7 已知：如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，DEAC 于E，DFBC 于 F。求证：AEBFABCD3。思路分析：思路分析：利用射影定理，用 AD 和 BD 沟通 CD 与 AE 和 BF 的关系，再利用相似三角形证明。解答过程：解答过程：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业证明证明：ACB90，CDAB，CD

16、2ADBD，故 CD4AD2BD2。又RtADC 中，DEAC，RtBDC 中，DFBC，AD2AEAC，BD2BFBC。CD4AEBFACBC。又ACBCABCD，CD4AEBFABCD，即 AEBFABCD3。解题后的思考：解题后的思考：本题若直接将 CD3改造成 ADDBCD，从形式上看，要证的等式左右两端倒是整齐了，但由于是三项之积，并不利于转化为比例线段的结构。知识点三小结：知识点三小结：射影定理的本质是由三角形相似得出比例线段，但它在进行有关直角三角形的计算和证明线段积之间的关系时，效率明显高于直接利用相似三角形解决，但前提是记忆要准确，不要搞混。（陕西卷几何证明选做题）如图，且9

17、0,ACDBCAEDB6,4,12ABACAD，则BE 。命题意图：命题意图：本题考查利用相似三角形的相似比以及勾股定理求线段的长度，同时考查分析问题、解决问题的能力，难度中等。解答过程：解答过程：因为，AEBC所以AEB，又因为BD，所以AEBACD，90ACD所以，ACADAEAB所以，6 4212AB ACAEAD在 RtAEB 中，。2222624 2BEABAE点拨：点拨：要求某条线段的长度，通常是把它放到某个三角形中加以解决，一般的三角形中往往可通过相似比求出，直角三角形中则可利用勾股定理求出。1. 判断三角形相似是本讲的核心内容，判断三角形相似的目的主要有两类，一类是利用相似比求

18、线段的长度，多以选择填空题的形式出现，破解的关键是找到相似三角形，把边对应好；另一类是证明题，以大题的形式出现，常见于证明四条线段之间的积的相等关系，破解的关键是将其转化为比例线段，再去寻找或构造相似三角形。2. 利用角的相等关系在解决三角形相似问题时显得非常重要，原因是可得到角相等的定理很多，要建立各定理之间的知识网络，对应角相等也是得出比例线段的重要依据。3. 作为三角形相似的“产品”，平行截割定理与射影定理对认识图形、快速寻找图中的比精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例线段发挥了重要的作用，使用的时候也要注意把边对应好，在记忆的时候要结合相似三角形加以理解记忆，否则容易产生混淆。

19、4. 寻找中间桥梁，实现比例线段以及等角的相互传递是进行计算与证明经常要用到的数学思想，有时还需要添加一些辅助线，比如作平行线、构造直角三角形斜边上的中线、利用中点构造中位线、构造圆周角等都是常用的添加辅助线的方法，在平时的学习中要注意积累经验。一、预习新知一、预习新知下一讲，我们学习有关圆的一些定理和应用。圆在高考中的几何证明选做题中有着更为重要的地位。二、预习点拨二、预习点拨探究与反思探究任务一：和圆有关的一些角。【反思反思】（1）什么是圆周角、圆心角？它们有何关系？（2）什么是弦切角？它与圆周角的关系是什么？探究任务二：和切线有关的定理。【反思反思】（1）如何判断直线和圆相切？（2）圆心

20、、切点、切线、圆的半径之间有何关系？（3）切线长定理是什么？探究任务三：和割线有关的定理【反思反思】（1）什么是切割线定理和割线定理，它们有何联系？（2）什么是相交弦定理？它与割线定理有何联系？（3）什么是垂径定理？弦心距、弦长、半径之间的关系是什么？（4）什么是圆幂定理？ 探究任务四：圆的内接四边形问题【反思反思】（1）圆的内接四边形有何性质？（2）如何判断四点共圆？（答题时间：（答题时间：60 分钟）分钟）一、选择题1. 在中，DEBC，DE 将分成面积相等的两部分，那么（ ABCABC:DE BC ）A. B. C. D. 1:21:31:21:12. 如图，ABCDEF，AF、BE 相

21、交于点 O，若 AOODDF，BE10cm，则 BO精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的长为（ ）A. cm B. 5cm C. D. 3cm10352cm3. 如图，在中，是边的中点，交的ABC90BACDBCAEADAECB延长线于，则下面结论中正确的是（ ）EA. B. AEDACBAEBACDC. D. BAEACEAECDAC4. 在中，为直角，垂足为，则下列说法中不正确的是（ Rt ABCCCDABD）A. B. 2CDAD DB2ACAD ABC. D. AC BDAD BCAC CDAD BC*5. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，于点，且，ABOCCDABDDBAD3

22、设，则（ ）COD2tan2A. B. C. D. 3131442 3*6. 如图，在直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCDC，E 为梯形内一点，且BEC90，将BEC 绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到DCF，连结 EF 交 CD于 M。已知 BC5，CF3，则 DM：MC 的值为 （ ）A. 5：3 B. 3：5 C. 4：3 D. 3：4精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二、填空题7. 如图所示，已知在ABC 中，C90，正方形 DEFC 内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则 AFFC 。8. 在梯形中，底为中位线，对角线与分别ABC

23、D2,AD 6,BC EFBDAC、EF交于，则_。MN、MN *9. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，ABCADBCAEBC，则_。DABDBA 18AB 12BE CE EBDCA*10. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB12，AD10，将此矩形折叠，使点 B 落在 AD 边上的中点 E 处，则折痕 FG 的长为 。 三、解答题11. 已知：如图，RtABC 中，C90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，求证：。22BCCE=ACAE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业EDBCA*12. 已知：如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，过点 D 作 AC 的平行线DE，交 BA 的延长线于点 E。求证：（1）ABCDCB （2）DEDCAEBD。*13. 如图，ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边的中线，P 为 AD 上