常用逻辑用语专题

1、常用逻辑用语专题【考试要求】1 .通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2 .通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3 .能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定【知识梳理】1 .充分条件、必要条件与充要条件的概念若p? q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p? q 且 q=> pp是q的必要不充分条件p为q且q? pp是q的充要条件p? qp是q的既/、充分也不必要条件p A q

2、且 q 1 > p2 .全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“？”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“？”表示.3 .全称命题和特称命题(命题p的否定记为p,读作“非p”)称形式全称命题特称命题结构对M中的任息个x,有p(x)成立.存在M中的一个xo,使p(xo)成立简记?xC M, p(x)?xo £ M p(x o)否定?x0cMp(xo)?xCM,p(x)【微点提醒】1 .区别A是B的充分不必要条件(A? B且BA),与A的充分不必要条件是 B(B? A且A

3、> B)两者的不同2 .A是B的充分不必要条件？ B是A的充分不必要条件.3 .含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)若已知p： x>1和q： x>1,则p是q的充分不必要条件.（）2 2） “长方形的对角线相等”是特称命题 .（）（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）（4）"若p不成立，则q不成立"等彳于"若 q成立，则p成立”.（）【教材衍化】22 .（选彳21P26A3改编）命题 ？xC R, x +x>0的否定是（）A.?x0CR, x02+ x0<

4、; 0B.?x0CR, x02 + x0<0C.?xCR, x2 + x<0D.?xC R, x2+ x<03 .（选彳21P12A4改编）圆（x a）2+（y b）2=r2经过原点的一个充要条件是 【真题体验】4 .（2015 全国 I 卷）设命题 p： ?nC N, n2>2n,贝U p为（）A.?nCN, n2>2nB.?nCN, n22nC.?nCN, n2w2nD.?nC N, n2= 2n1 15.（2018 天津卷）设 xC R,则“ x 2 <2” 是 “x 3<1” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

5、不必要条件16.（2019 济南调研）“a=0”是“函数 f（x） =sin x x +a为奇函数”的 条件.【考点聚焦】考点一充分条件与必要条件的判断【例1】（1）（2018 北京卷）设a, b均为单位向量，则“ |a 3b| = |3a + b| ”是“ ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2m*: x>0,（2）（2019 华大新高考联盟质检）设函数f（x） =1 则“m>1是联 1）>4”的（）x x ? x<0.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的两种判断

6、方法 定义法：根据p? q, q? p进行判断.（2）集合法：根据使p, q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断【训练1 （2018 浙江卷）已知平面 a ,直线 m, n满足m? a , n? a ,则"m/ n"是"m/ a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点二充分条件、必要条件的应用>典例迁移【例2】（经典母题）已知P=x|x28x 20W0,非空集合 S= x|1 -me xW1+m.若 xCP 是 xCS 的必要条件，求m的取值范围.【迁移探究1】本例条件不变，若 xCP是xCS的必要不充分条件，

7、求m的取值范围【迁移探究2】 本例条件不变，若x P的必要条件是x C S,求m的取值范围【迁移探究3】 本例条件不变，问是否存在实数 m,使xC P是xC S的充要条件？并说明理由【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的 不等式（或不等式组）求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取 等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象(3)数学定义都是充要条件.【训练2】(2019 临沂月考)设p

8、：实数x满足x2 4ax+3a2<0, aC R； q：实数x满足x2x 6wo或x2+ 2x 8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31(1)命题“？nCN*, f(n) C N*且f(n) w n”的否定形式是()A.?nCN*, f(n) N*且 f(n) >n B. ?nCN*, f(n)N*或 f(n) >nC.?n0CN*, f(n0)N*且 f(n0)>n0 D. ?n0CN*, f(n0) N*或 f(n0)>n0(2)(2019 德州调研)命题“？XoCR

9、, 1<f(x 0) W2”的否定形式是()A.?xCR, 1<f( x) <2B.?XoCR, 1<f(x o)<2C.?xoCR, f(x o)W1 或 f(x。)>2D. ?xCR, f(x) W1 或 f(x)>2角度2含有量词(？、？)的参数取值问题1 x【例 32】(经典母题)已知 f(x) =ln(x 2+ 1) , g(x) = 2 m 若对？xiC 0 , 3 , ?xzC 1 , 2,使得f(x 1) >g(x 2),则实数m的取值范围是 .【迁移探究】若将“ ？X2C 1 , 2”改为“ ？X2C 1 , 2”，其他条件不变

10、，则实数m的取值范围是【规律方法】 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时， 一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的 否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决【训练3】(2019 衡水调研)已知命题p： ?xCR log 2(x2+x+a)>0恒成立，命题 q： ?xoC2, 2, 2a<2x0,若命题p和q者B成立，则实数 a的取值范围为 .【反思与感悟】1 .充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系

11、判断：设A=x|p(x) , B=x|q(x);若A?B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A? B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若A= B,则p是q的充要条件.2 .要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1 .判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2 .注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定【核心素养提升】逻辑推理、数学运算一一突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理

12、的形式、结论的表达 .解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等彳转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质类型1形如“对任意xiCA,者B存在xzCB,使得g(x 2) = f(x 1)成立"191【例 1】 已知函数 f(x) = x3+ (1 - a)x 2- a(a + 2)x , g(x) ="6x - 3,若对任意 x1 - 1, 1,总存在 xzC0 , 2,使得f' (x1) + 2ax1 = g(x2)成立，求实数 a的取值范围.【评析】理解全称量词

13、与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x1 CA及x2C B,使得f(x1) =g(x2)成立"2x31x+1 ， x 2, 1 , nc a【例 2】 已知函数 f(x) =11i 函数 g(x) = ksin q - 2k+ 2(k>0),若存在 xi 0 , 13x + 6, xC 0，2，及x2C 0 , 1,使得f(x 1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围.【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的

14、交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“ f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围类型3 形如“对任意x1CA,者B存在x2CB,使得f(x1)<g(x2) 成立"41【例 3】已知函数 f(x) =x + x, g(x) =2x + a,若？x1 C 2, 1 , ?xzC 2 , 3,使得 f(x 1)<g(x 2),则实数a的取值范围是.【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max wg(x)max ,利用函数的单调性，求 f(x)与g(x)的最大值，得关于

15、a的不等式求得a的取值范围.思考1:在例3中，若把“ ？xzC 2 , 3”变为“ ？xzC 2 , 3”时，其它条件不变，则 a的取值范围是问题“等价转化”为f(x )max w g(x)min ,请读者完成.11思考2:在例3中，若将例3中“？x1C 2, 1 ”改为“ ？x1C 2, 1 "，其它条件不变，则a的取值范围是.问题“等价转化”为 f(x)min <g(x)max,请读者自行求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1 .命题“ ？xCZ,使x2+ 2x+mc 0”的否定是()A. ？x Z,使 x2+ 2x+ m>0B.不存在

16、x Z,使 x2+ 2x+ m>0C.？xC Z,使 x2+2x + m<0D. ？x Z,使 x2+2x+m>02 .命题“所有实数的平方都是正数”的否定是（）A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3 .设 xC R,则“2 x>0" 是"|x 1| W1” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2inrt曰钻4 .（2019 -焦作模拟）命题p： cos 0 = 2 ,命题q： tan 0 = 1,贝U p是q的（）A.充分不必要条

17、件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 .（2017 浙江卷）已知等差数列an的公差为d,前n项和为则“d>0”是“S 4+4>2S”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 .已知命题 p： “？xC0, 1, a>ex",命题 q： “？x0CR, x02+4x°+a = 0” .若命题 p 和 q 都成立，则实数a的取值范围是（）A.（4 , +8）B.1 , 4C.e , 4D.（巴1）7 .（2017 北京卷）设m,n为非零向量，则“存在负数 入，使得m=入n”是“m-n<0”

18、白（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8 .命题« ?xC1 , 2）, x2aW0”成立的一个充分不必要条件可以是（）A.a>1B.a>1C.a>4D.a>4二、填空题9 .直线x yk=0与圆（x 1）2+y2=2有两个不同交点的充要条件是 .10 . 已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的充要条件，那么p 是 q 的 条件 .11 .已知“p： （x m）2>3（x m）”是"q： x2+3x4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是12 .

19、设nCN*, 一元二次方程 x24x+n= 0有整数根的充要条件是n=【能力提升题组】（ 建议用时：20 分钟 ）13 .（2019 宁波质检）祖的I原理：“哥势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，那么体积相等. 设 A， B 为两个同高的几何体，p： A, B的体积不相等，q： A, B在等高处的截面面积不恒相等，根据祖咂原理可知，p是4的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（2019 佛山质检）已知函数 f（x） =3x-3-x, ?a, bCR,贝 U "

20、; a>b” 是 “f（a）>f（b） ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件x? - x - 6w 0,15 .设p：实数x满足x24ax +3a2<0,其中aw0, q：实数x满足丫匕2丫_8>0 若p是q的必要不充分条 x -r nx 8>0 ,件，则实数a的取值范围是.16 .设数列an是等比数列，求证：" a n是递增数列”的充要条件为“ai<a2<a3” .17 .(答案不口t一型)能说明“若a>b,则a<b”为假命题的一组 a, b的值依次为 (填写一个正确的即可).

21、1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”) 若已知p： x>1和q : x>1,则p是q的充分不必要条件.()2 2) “长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立"等彳于“若 q成立，则p成立”.()【答案】(1 )V (2) X (3) V (4) V【解析】(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选彳21P26A3改编)命题“ ？xC R, x2 + x>0”的否定是()A.?x0CR,xo2+x°W0B. ?x°CR,xo2+xo<

22、;0 C. ?x CR,x2 + x<0 D. ?xCR,x2+x<0【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.3.(选彳21P12A4改编)圆(x a)2+(y b)2=r2经过原点的一个充要条件是 .【答案】a2+b2=r2【解析】 若圆(x a)2+(y b)2=r2经过原点，等价于原点坐标适合圆(x a)2 + (y b) 2= r2的方程，(0a) 2+(0 b) 2= r：，a2+b2= r 2,反之亦然.【真题体验】4.(2015 全国 I 卷)设命题 p： ?nC N, n2>2n,贝U p为()A.?nCN, n2>2nB.?nCN,

23、n2<2n C. ?nC N, n2<2n D. ?n C N, n2=2n【答案】C【解析】命题 p的量词“ ？”改为“ ？”，"n 2>2n”改为“n &2n”， p： ?nC N, n22n.1 15.(2018 天津卷)设*6 R,则“ x-2 <2” 是 “x 3<1” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A11【解析】 由x- 2 <2,得0<x<1 ,所以0<x3<1;由x3<1,得x<1,不能推出0vx<1.所以"x 2迂是

24、"x 3<1 "的充分而不必要条件.16.(2019 济南调研)“a=0”是“函数 f(x) =sin x x +a为奇函数”的 条件.【答案】 充要1【解析】 显然a=0时，f(x) = sin x x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f( x) + f(x) = sin( x) _x+ a+ sin x x+ a= 0.因此 2a= 0,故 a= 0.所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.【考点聚焦】考点一充分条件与必要条件的判断【例1】(1)(2018 北京卷)设a, b均为单位向量，则“ |a 3b| = |3a + b| ”是“ ab”的()A.

25、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2m*1, x>0,(2)设函数 f(x) =1 则 “m>1 是联一1)>4 ”的()x x? x<0.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】 (1)C(2)A【解析】 (1)|a 3b| =|3a+b|? (a 3b)2=(3a+b)2? a2 6a b+9b2=9a2+6a b+ b2,又. |a| = |b|=1, . .a - b= 0? a±b,因此 |a - 3b| = |3a + b| 是 “ab” 的充要条件.1(2)当 m>1

26、 时，f f(-1) =f ( 1)'PIT =f(2) =22m+1>4,1 当 f f(1)>4 时，f f(-1) =f -( -1) -(TT =f(2) =22. 1>4=22, . 2m+ 1>2,解得 m>2.故"m>1是"f f( 1)>4 "的充分不必要条件 .【规律方法】充要条件的两种判断方法 定义法：根据p? q, q? p进行判断.(2)集合法：根据使p, q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断【训练1 (2018 浙江卷)已知平面 a ,直线 m, n满足m? a , n? a ,则&q

27、uot;m/ n"是"m/ a ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】若m?a , n? a , m/ n,由线面平行的判定定理知m/ a .若m/ a , m? a , n? a ,不一定推出m/ n,直线m与n可能异面，故“ m/ n”是“mil a ”的充分不必要条件.考点二充分条件、必要条件的应用,1"典例迁移【例2】(经典母题)已知P= x|x2 8x 20W0,非空集合 S= x|1 -m< xW1+m.若xCP是xCS的必 要条件，求m的取值范围.【答案】 见解析【解析】由 x28x

28、 20W0,得2WxW10, .P= x| -2<x<10. xCP是xCS的必要条件，则 S?P.1 一 m5 2,1+mC 10,解得 m13.又 S为非空集合，1 -m< 1+ m解得0.综上，m的取值范围是0 , 3.【迁移探究1】 本例条件不变，若 xCP是xC S的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案】 见解析【解析】由例知，S巳1m< 1+m,1 m< 1+m,. 1 mi> 2,或 1 mA 2，1 + m<101 + m< 10,解得 0Wm<3 或 0Wm<3，0Wmc 3,故m的取值范围是0 , 3.【迁移探究

29、2本例条件不变，若 xCP的必要条件是xCS,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】 由例知P= x| -2<x<10,若xC P的必要条件是 xCS,即xC S是xC P的必要条件，P? S,1 m< 1 + m,. 1me 2，解得 m>9.1 + m> 10,故m的取值范围是9 , +8).【迁移探究3】 本例条件不变，问是否存在实数m,使xC P是xC S的充要条件？并说明理由.【答案】见解析【解析】由例题知P=x| -2<x<10.若xCP是xCS的充要条件，则 P= S,1 m= 2,mi= 3,1 + m= 10,m= 9, 这样的m不存

30、在.【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上. 解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式组) 求解 .(2) 要注意区间端点值的检验. 尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3) 数学定义都是充要条件.【训练2 (2019 临沂月考)设p：实数x满足x2 4ax+3a2<0, aC R； q：实数x满足x2x 6W。或x2 2x 8>0. 若 a<0 且 p 是 q 的充分不必要

31、条件，求实数a 的取值范围.见解析【解析】 由 p 得(x3a)(x - a)<0 ,当 a<0 时，3a<x<a.则 x< 4 或 x> 2.由 q 得 x2x 6<0 或 x2 + 2x 8>0,则一2WxW3 或 x< 4 或 x>2 , 设 p： A= (3a , a), q： B=(8, 4)U2, +8), 又p是q的充分不必要条件.2可知 A? B,aW 4 或 3a> 2,即 aw 4 或 a> 一 3.2又< a<0,a< 4 或3wa<0,2即实数a的取值范围为(8, - 4 U

32、 -3, 0 .考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31(1)命题“？nCN*, f(n) C N*且f(n) w n”的否定形式是()A.?nCN*, f(n) N*且 f(n) >nB.?nCN*, f(n)N*或 f(n) >nC.?n0CN*, f(n0) N*且 f(n0)>n0D.?n0CN*, f(n0) N*或 f(no)>no(2)(2019 德州调研)命题“？XoCR, 1<f(x 0) W2”的否定形式是()A.?xCR, 1<f(x) <2B.?x°e R, 1<f(x 0尸 2C?XoC R,

33、 f(x o)<1 或 f(x o)>2D.?x R, f(x) <1 或 f(x)>2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全称命题的否定为特称命题，命题的否定是：？n0eN*, f(n 0)N*或 f(n0)>n。.(2)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“ ？xC R, f(x) <1或f(x)>2 ” .角度2含有量词(？、？)的参数取值问题【例 32】(经典母题)已知 f(x) =ln(x 2+ 1) , g(x) = 2 m 若对？XiC 0 , 3 , ?XzC 1 , 2,使得 f(x 1) >g(x 2),则实数m的取

34、值范围是 1【答案】4, +°°1【解析 】当 xC 0 , 3时，f(x)min =f(0) = 0,当 xC 1 , 2时，g(x)min = g(2) =43 对？xiC0,113 , ?x2(E 1 , 2使得 f(x i) >g(x 2)等价于 f(x)min >g(x)min ,得 O4m 所以4.【迁移探究】若将“ ？xzC 1 , 2”改为“ ？xzC 1 , 2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是1 【答案】2, +°°1【解析】当 xC 1 , 2时，g(x)max =g(1) =2成对？x 0 , 3 , ?xzC 1

35、 , 2使得 f(x 1) >g(x 2)等价11于 f(x)min >g(x)max,得 0>2m, 1.2.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决【训练3】(2 019 衡水调研)已知命题p： ?xCR log 2(x2+x+a)>0恒成立，命题 q： ?x°C2, 2,2a<2xc,若命题p和q者B成立，则实数 a

36、的取值范围为 . 5 【答案】4, 2【解析】 当命题p成立时，x2+x+a>1恒成立，即x2 + x+a1>0恒成立， 5:. = 1 4(a 1)<0,解得 a>4.当命题 q 成立时，2aW(2x c)max, xoC2, 2 , 1. a< 2.故4<aw2,a的取值范围是 4，2 .【反思与感悟】1 .充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设A=x|p(x) , B=x|q(x);若A?B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A? B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若A= B,则p

37、是q的充要条件.2 .要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1 .判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2 .注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定【核心素养提升】逻辑推理、数学运算一一突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等彳转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的

38、逻辑推理素养和良好的数学思维品质类型1形如“对任意XiCA,者B存在X2CB,使得g(X2)= f(x 1)成立"191【例 1】 已知函数 f(x) = x3+(1 a)x 2a(a+2)x , g(x) =qx3,若对任意 Xi - 1, 1,总存在 x?C0 , 2,使得f'仅1) + 22乂1 = 9仅2)成立，求实数a的取值范围.【答案】见解析1 【解析】由题意知，g(x)在0 , 2上的值域为 一3, 6 .1令 h(x) =f ' (x) + 2ax=3x2 + 2x a(a + 2),则 h' (x) = 6x+2,由 h' (x) =

39、 0 得 x= 3.1111当 xC 1, 3 时，h' (x)<0 ;当 xC 3, 1 时，h' (x)>0 ,所以h(x)min = h 3 = a2 2a 3.又h (1) <6,111由题意可知，h(x)的值域是 3, 6的子集，所以 a22a3 3,解得实数a的取值范围是2,h (1) <6,0.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x1 CA及x2C B,使得f(x1)

40、= g(x2)成立"2x31x+1，xe 2, 1 ,7tx【例 2】 已知函数 f(x) =11i 函数 g(x) = ksin q - 2k+ 2(k>0),若存在 xi 0 , 13x + 6, xC 0，2，及x2C 0 , 1,使得f(x 1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围.【答案】见解析3k【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为0,1, g(x)的值域为22k, 2-T ,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即22k>1或2 |k<0,解得k<2或k>4,所以，要使两个值域有公共部分，k1 4 的取值范围是 2，3 .【评

41、析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“ f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围类型3 形如“对任意x1CA,者B存在x2CB,使得f(x1)<g(x2) 成立"41【例 3】已知函数 f(x) =x + x, g(x) =2x + a,若？x1 C 2, 1 , ?xzC 2 , 3,使得 f(x 1)<g(x 2),则实数 a的取值范围是.1【答案】 2，十0°【解析】依题意知f(x)max wg(x)m

42、ax.41117. f(x) =x + x在 2，1 上是减函数，f(x)max = f 2 = 2 .又 g(x) =2x+a 在2, 3上是增函数，g(x)max=8 + a, 171因此 2 w 8+ a,则 a> 2.【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max wg(x)max ,利用函数的单调性，求 f(x)与g(x) 的最大值，得关于 a的不等式求得a的取值范围.思考1:在例3中，若把“ 2X26 2 , 3”变为“ ？xzC 2 , 3”时，其它条件不变，则a的取值范围是问题“等价转化”为f(x)max wg(x)min ,请读者完成11思考2:在例3中，若将例

43、3中“？x1C 2, 1 ”改为“ ？x1C 2, 1 "，其它条件不变，则 a的取值范围是.问题“等价转化”为 f（x）min wg（x）max,请读者自行求解 .【分层训练】【基础巩固题组】（建议用时：30分钟）一、选择题1 .命题“ ？xCZ,使x2+2x+m< 0”的否定是（）A. ?xCZ,使 x2+2x+m>0B.不存在 xCZ,使 x2+2x+m>0C.?xCZ,使 x2+2x + m<0D.?xC Z,使 x2+2x+m>0【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题 .故选D.2 .命题“所有实数的平方都是正数”的否定是（）A.所有实数的

44、平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】 因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.3 .设 xC R,则“2 x>0" 是"|x 1| W1” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2-x>0,得x<2,由|x 1| W1,得0WxW2.当x<2时不一定有 0WxW2,而当 0WxW2时一定有x<2,. “2 x>0”是“|

45、x 1| W1”的必要不充分条件2一口"曰的4.（2019 -焦作模拟）命题p： cos 0 = 2 ,命题q： tan 0 = 1,贝U p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】必三【解析】由 cos 0 = 2，得。=± 4 +2k 兀，kCZ,则 tan 。=±1,故p?/q, p是q的不充分条件；兀由 tan 0=1,# 0 = 7 + k 兀，k C Z,则 cos 0 = ± 2 ,故q?/p, p是q的不必要条件；所以p是q的既不充分也不必要条件.5.（2017 浙江卷）已知等差数列an

46、的公差为d,前n项和为S.,则“d>0”是“S 4+&>23”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】 由 S4+ S6-2S5= S6- S5- （S5 S4） = a6a5= d,所以 S4+ S6>2S5等价 d>0,所以 “d>0” 是“S4+ S6> 2s5'的充要条件.6.已知命题 p： “？xC0, 1, a>ex",命题 q： “？x0CR, X02+4x0+a = 0” .若命题 p 和 q 都成立，则实数a的取值范围是（）A.（4 , +8）B.

47、1 , 4C.e , 4D.（巴1）【答案】 C【解析】对于p成立，a>（ex）max, .a>e.对于q成立，知x2+4x+a = 0有解，则 A = 16 4a>0,解得 a<4.综上可知e<a<4.7.（2017 北京卷）设m, n为非零向量，则“存在负数入，使得m=入n”是“m-n<0”白（ （）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】存在负数 入，使得 n n,则mn=入n n=入|n|2<0 ;反之 m- n= |m|n|cos m n><0? cos兀兀<

48、 m n> <0?m nC 2，兀，当mX nC 2，兀时，mX n不共线.故“存在负数 入，使得入n”是"mn<0"的充分不必要条件.8 .命题“ ？xC1 , 2） , x2aW0”成立的一个充分不必要条件可以是（）A.a>1B.a>1C.a>4D.a>4【答案】D【解析】命题成立的充要条件是 ？xC 1 , 2), a>x2恒成立，即a>4.，命题成立的一个充分不必要条件可以是a>4.二、填空题9 .直线x yk=0与圆(x 1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是 .【答案】1<k<3|1 0

49、 k|【解析】直线xyk= 0与圆(x 1)2 + y2= 2有两个不同交点等价于/42,解之得一1<k<3.10 .已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么 p是q的 条件.【答案】充分不必要【解析】由已知得p? r, r? s, s? q, p? r ? s? q.但由于r推不出p,所以q推不出p,故p是q的充分不必要条件.11 .已知“p： (x m)2>3(x m)”是"q： x2+3x4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是【答案】(一8, - 7 U 1 , +OO)【解析】p： x>m+ 3或x<m, q： 4&l