空间观念培养再思考

1、空间观念培养再思考 无锡市第六高级中学 卢笛空间观念是指对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉观念，能帮助学生由实物形状想象出立体图形，再由立体图形想象实物的形状，它是人们认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。在教学中，指导学生感知身边实物的立体图形，在观察、比较、想象中建立空间和平面的内在联系，培养学生的空间观念能使他们更好地认识、理解生活空间。空间观念是几何课程改革的一个课程核心的概念,那么在立体几何的教学中应如何培养学生的空间观念呢？笔者思考如下，供参考。一、思维方式要突破平面几何几何教学是从平面几何开始的，教学中注重学生由二维和三维图形的转换，突破学生对平面几何的思维方

2、式，发展学生的空间想象能力。通过将平面图形进行折叠、投影、平移、旋转等方式转化为立体图形，让学生通过有针对性的练习，进行研究、讨论、想象，切实地来感受体验的过程，只有让学生充分的体验到位了，学生的空间观念才能落实在具体练习中。例1 如图1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.（1）求证：A1C平面BCDE；来源:（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：（1），平面，又平

3、面，又，平面（2）如图建系，则，,设平面法向量为则又与平面所成角的大小为（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则假设平面与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直点评：“折叠”就是把平面图形通过翻折变成立体图形，它是高考常考的热点题型。解决这类问题的关健是要正确利用好折叠前后的两种图形，准确找出其中的变化量和不变量二、能够充分借助实物图形的直观性初学立体几何时，学生可以使用桌面、手掌、铅笔等代替平面和直线进行一些空间位置关系的模拟，将要学的东西直观地创造出来，与生活中的事物图形相联系，学生共同参与、合作交流，引导学生主动动手来“画一画”、“量一量”、“折一折”、“摆一

4、摆”，鼓励学生大胆地动手去做，发挥自身的主观能动性，让学生亲身实践，在测量、观察和动手操作中，积累一些对空间的直观观念，帮助学生由实物几何向几何图形过渡，逐步形成几何形体的空间表象，进而弥补空间想象力的不足。例2 对于平面和异面直线，下列命题中为真命题的是 A存在平面，使， B存在平面，使，C存在平面，满足，D存在平面，满足，解析 本题虽然只是一个选择题，但对空间想象力的要求是很高的。本题难点在C、D选项的判断如果存在平面，使m，n，则直线m，n平行，即两直线m，n不是异面直线，故A不成立如果存在平面，使m，n，则m，n就不是异面直线了故B不成立；如果存在平面，满足m，n，将直线m，n平移到一

5、个平面上时，要求直线m，n互相垂直，而已知两直线m，n是任意异面直线，故C不成立存在平面，满足m，n，故D成立点评：教学中，同学们要充分运用身边的实物展示空间几何体，在头脑中有定性思维的过程，平常的练习中，要多用眼看，多动手画，多用脑推，尽可能用图形来刻画和描述问题、用图形来理解、记忆和认识数学的结果，这样可以增强学生思维方法的理性认识，不断地提高自己的理性思维三、能够灵活地变换研究角度学生对空间几何体首先是整体上的感受，还不能很好地把握对点、线、面进行正确的位置分析，让学生先对空间几何体的整体加以认识，在体验和操作中，感知立体几何的性质，进一步通过推理，了解“点与线”、“直线与平面”、“面与

6、面”之间的位置关系，充分认识立体几何的规律，学生能够熟练地由整体到局部，再由具体到整体，这之间自由灵活的进行变换，不同角度的来分析空间几何。例3 一四面体的三视图如图5所示,则该四面体四个面中最大的面积是（）A B C D 图4 图5解析 构造正方体如图5，在正方体中生成该几何体的直观图（如图中粗线所示），进而使问题的求解水到渠成答案D图6点评：近年高考对四面体的考查，多围绕着正方体命题.正方体割出三棱锥：如图6,在正方体中割出一个内接正四面体后,还余下4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6,故内接正四面体的体积为1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上,正方体的内接四面体

7、(即三棱锥)共有-12=58个.至此可以想通,正方体为何成为多面体的题根.四、要充分认识平面的无限延展性平面具有无限延展性，没有大小、宽窄、薄厚，是没有边界的，无法用具体的实物来表示，是从生活中抽象出来的数学概念，与直线的无限延伸是相通的，但在试题中却是以短距离为平面的，有些条件没有在图形中体现出来，引导学生以无限延伸的思想来看待平面，深入理解点与面、线与面、面与面之间的相关公理和推论，增强学生延展的想象能力，让学生能够由局部联想到整体，由已知图形联想到未画的图形，准确地找到解题的关键。例4 如图8， 在四棱锥中，/，平面，. （）设平面平面，求证：/；（）求证：平面；证明：（）因为/，平面，

8、平面，所以/平面. 因为平面，平面平面，所以/. 图8（）因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则， 所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. 点评 题目中平面与平面的交线并没有在已知图形中体现出来，但根据平面的延展性知两平面有一个交点，则必有一条交线，进而问题得证。五、“空间”化“平面”降维处理空间中也有很多问题需要转化到平面上来处理，如常用的“展开图”与“截面图”，角与距离的问题等。我们在教授异面直线所成的角与二面角的问题时，很多学生无法将相关的角准确作出，导致解题无法继续。需要学生能顺利的将一个在空间中难以处理的复杂问题转化为平面上

9、较易处理的问题。由图形当中的立体型利用“辅助线”、“展开图”的形式转化到平面几何上来，如果学生没有这种意识，没有准确掌握相关方法，或在转化过程中容易出错，势必导致最终问题的复杂化。例5（2013年高考北京卷理）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_。解析 本题可将空间问题进行平面化处理。易知CC1与面D1DE平行，点P在底面上的投影P，落在线段DE上，则点E到直线CC1距离的最小值为线段DE上的点到点C距离的最小值，即当CP垂直DE时，CP的长度即为最小值，计算得CP。点评 本题通过侧面展开，将空间问题转化为平面问题，通过动中找定，把立体几何推向了一个新的高度总之，纵观近几年的高考试题，立体几何的改革成为了高考改革的风向标，是高中阶段数学学习的一个难点。但是，只要在教学中，指导学生准确地理解概念，系统地掌握知识间的内在联系，调动