角的计算与证明

1、角的计算与证明余角、补角及M分线的筒中运算角的计算，证明角度讨齐中的分类讨论-用的踪合国.用1 .角的定义、表示方法、分类.2 .角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线.3 .余角和补角余角：如果两个角的和等于 90 ,就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.补角：如果两个角的和等于 180 ,就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 两个基本定理： 同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的补角相等.注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌 握.对于角的基本概念、分类和表

2、示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情 况自行讲解.【例1】如果90 ,而互余，那么与 的关系为（A.互余 B.互补 C.相等D.不能确定与 互余，则D. 180°的值等于（）已知是锐角，与 互补，A. 45° B, 60°C. 90°如果 和 互补，且,则下列表示的余角的式子中：9090 ;1(2A. 4个B. 3个）；：C. 2个）.正确的有（D. 1个（4） 一个角的余角的2倍和它的补角的1互为补角，求这个角的度数.2【解析】C;同角或等角的余角相等；C; 一个角的补角与这个角的余角的差等于90°B; 设这个角的度数为x,则

3、它的余角为90 x,补角为180 x,由题意，得：1 -2（90 x） -（180 x） 180 ,解得：x 36 .【铺垫】 下列说法：锐角的补角一定是钝角；一个角的补角一定大于这个角；如果两个角是 同一个角的余角，那么它们相等；锐角和钝角互补.其中正确的说法有（）A. 4个 B. 3个C. 2个 D. 1个下列说法中，正确的是（）A. 一个角的补角必是钝角B.两个锐角一定互为余角C.直角没有补角D.如果 MON 180 ,那么M , O, N三点在一条直线上下列语句正确的是（）A.钝角与锐角的差不可能是钝角 B.两个锐角的和不可能是锐角 C.钝角的补角一定是锐角 D. 和 互补（），则是钝

4、角或直角【解析】C；D;C.【备选】 若一个角的余角是 40° ,则这个角是（）A. 40° B. 50° C. 60° D, 140° 互为补角的两个角度比是 3: 2 ,这两个角是（）A. 108°, 72° B. 95°, 85°C. 108°, 80° D, 110°, 70° 对于互补的下列说法中：/ A+/B+/C=90° ,则/ A、/ B、/C互补；若/ 1是/2的补角，则/ 2是/ 1的补角；同一个锐角的补角一定比它的余角大90°

5、; ;互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角.其中，正确的有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个如图，A , O , B在一条直线上,A. 1 BOC AOC21C. -( BOC AOC)AOC是锐角，则 AOC的余角是()1 3B. BOC AOCC22D. - ( BOC AOC)3A O B【解析】B;A;B;C. 【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】如右图，已知直线AB、CD相交于点O , OE平分若 EOB 55 ,则 BOD的度数是（）A . 35 B. 55 C. 70D. 110D【例3】如右图，分别在长方形 ABCD的边DC、BC上取两点E、使得AE平分

6、/ DAF,若/A. 15°B.30°BAF = 60C. 45°则/ DAE =(D.60°如右图，OM平分BOC 10 ,求AOB , AODON平分COD C; A; AOD 2 MON如图所示,如果 如果 如果OM AOC MON MON是 AOC的平分线，28° , MON 35BOCON是,求出F,).（东城区期末）,若 MON50 1090 .BOC的平分线, AOB的度数；n°,求出 AOB的度数；n°的大小改变，AOB的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？请写出来. OM平分MOCON平分NOCAO

7、C1一AOC2AOC1一 BOC2MONNOCMOCAOCMONAOBAOB35°2 MON70 ° ；同上 AOB 2 MON MON的大小改变时2n° ;AOB的大小也随之改变当 0 n< 90 时， AOB 2 MON .当 90 n 180 时， AOB 360 2n.【拓展】已知点 O是直线AB上的一点，COE 90 , OF是 AOE的平分线.当点C , E , F在直线AB的同侧（如图1所示）时.试说明 BOE 2 COF ;当点C与点E , F在直线AB的两旁（如图2所示）时，中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由；将图2中的射线O

8、F绕点。顺时针旋转m （0 m 180）,得到射线OD .设 AOC n ,若 BOD (60,则 DOE的度数是（用含n的式子表示）.图1图2【解析】设COF OF 是AOFAOC,则 EOFAOE平分线,90(90BOE 180180902即 BOE 2 解：成立，)COE(902设 AOCAOFCOF4590902AOC902BOE18090BOE180 (90- 1(902AOE)COF ；解:DOE180180(60BOD AOE2n )(90 n ) 3(303n)故答案为:5 (30 - n)3题型二：角度计算中的分类讨论- "nr_ _ _-定义示例剖析角度计算的分类

9、讨论在平囿上，已知角的一边和角度大小则角的另 一边因为旋转有两种方向会产生不确定性.B BA' B'角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累 力口，固定角的一边，数出另一边共有多少个.另一种方法是使用排列组合知识.【例4】 一条射线OA,从点O再引两条射线OB与OC,使 AOB 40 ,BOC 20 ,则AOC .已知 AOB 40 ,从。点引射线OC ,若 AOC： 线所成的角的度数为.若 AOB 170 , AOC 70 , BOD 60 ,求COB 2 ： 3 ,求OC与 AOB的平分COD的度数.【解析】20或60 ；当OC在区域，所求的角度数为 4 ;当OC

10、在区域，所求的角度数为 100 ;当OC在区域，不符合.（不考虑优角）分四种情况如图 1, COD= AOB如图 2, COD = 160如图 3, COD = 180如图 4, COD = 60AOC BOD 40图1D图2图4CA7545O' 30【例5】 如下图，在已知角内画射线，画 1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共有个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n条射线所得的角的个数.【解析】3,6, 10, （n 1）（n 2） 2【拓展】已知直角AOB ,以O为顶点，在 AOB的内部画出100条射线，则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O为项点，在 AO

11、B的内部画出n条射线（n>1的自然数），则OA、OB以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】200个，2n【提示】在 AOB的内部，以O为顶点，画1, 2, 3, 4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再 计算100条射线、n条射线所构成的锐角的个数.【例6】 如右图所示，下列说法中错误.的是（）A. OAJ方向是北偏西15°B. OB的方向是南偏西45°C. OC的方向是南偏东 60°D. OD的方向是北偏东60°（西城区期末）题型三：角的综合应用典题精练 西南/、东南I南1.方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向度”、南偏东

12、度”、南偏西即北偏东 度”、北偏西思路导航.用甲方位角的取值范围0 w w 902.钟表问题：分针每分钟转6时针每分钟转0.5BD60°西北东北C如左下图所示的4 4正方形网格中，12 3。点，则如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于AOC DOB(4)如图如图如图如图如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起.则20°1,AOD则O若若2,3,4,COBAODAODAOD3050猜想COBCOBCOB与°°的数量关系为:（用式子表木）证明你的结论.【解析】D;利用对称性得315 180 ;160 , 150 ,D COB 180证明：C COD

13、90 ,AOB 90 ,AODAOC90BOD90COBAOC AOB9090 180.巅峰突破N【例7】 饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是 6点多，时针与分针成90角，散完 步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到 7点，而时针与分针又恰好成 90角，问韩老师外出 多少分钟？【解析】钟表上相邻两个数字之间有 5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格 6 , 秒针每分钟转过360 ,分针每分钟转过 6 ,时针每分钟转过 0.5 .设小明外出时，时间为 6点x分，又设小明回家时是 6点y分.由题意得 180° 6x 0.5x 90°, 6y 180

14、° 0.5y 90°,4 1解得 x 16 , y 49 1111I 48y x 49 16 32.II 1111【备选】, 都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1（）的结果依次为50 , 26 , 72 , 90 ,6其中有正确的结果，则计算一定正确的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁已知 、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 的值时，15有三位同学分另计算出了 23、24、25这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则【解析】A;345）.1因为90360 ,故6 24 ,所以三个结果中23是正确的，所以1515 23345 .;»思维拓展训练（选讲

15、）训练1.下列图中的角表示方法正确的个数有（）A B直线是平角A O BAOB是平角A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个把20.3°换算成度、分、秒的结果是 .用度表示 72 23 42;计算 32 16'25'' 4 78 25' .计算 157 43 5 =.【解析】 B; 20° 18 ； 72.395 ; (4) 50 40 40 ; 31；32 36训练2.如图， AOB 90°,OE平分 AOC,OF平分 BOD, EOF比 COD的4倍少28°,则COD (精确到秒)(西城区期末)题型一 余角、补角及角分

16、线的简单运算巩固练习【解析】20 51 26 .训练3.从下午13: 00到当天下午13:50,时钟的分针转过的角度为 度.【解析】300.训练4.如图，OC是/ AOB的平分线，且/ AOD = 90°.图中/ COD的余角是 如果/ COD=24 45',求/ BOD的度数.【解析】AOC , BOC ;解： AOC AOD COD 9024 45' 65 15'.因为OC是 AOB的平分线，所以AOB 2 AOC 130 30'.所以 BOD BOC COD 65 15' 24 45' 40 30'.60：1 ,求这个角的

17、余角度数.【演练1】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大【解析】设这个角为x,则它的补角和余角分别为 180 x和90 x ,x) 60 ,所以 x 60 ,(180 x) (90 x) (180 x) (90所以这个角的余角的度数为30【演练2】 如图，O为直线AB上一点,AOC 50 , OD 平分 AOC , DOE 90 请你数一数，图中有多少个小于平角的角;求出 BOD的度数；AOB请通过计算说明OE是否平分 BOC .【解析】 图中共有9个小于平角的角； 155 ； BOE 180 DOE AOD 180902565 , COE 902565 ,所以BOE COE ,即 OE 平分 BOC .题型二 角度计算中的分类讨论巩固练习【演练3】 已知 AOB 100° ,BOC 50° ,求 AOC的度数.【解析】 AOC等于50°或150° .BOC 41 36',求 AOC .【演练4】 已知：OA