高考数学一轮复习总教案：18.3　不等式的证明(二)

1、.18.3不等式的证明二典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式 【例1】a，bR，且ab1，求证：a22b22.【证明】 方法一：放缩法因为ab1，所以左边a22b2222ab42右边.方法二：反证法假设a22b22，那么 a2b24ab8.由ab1，得b1a，于是有a21a212.所以a20，这与a20矛盾.故假设不成立，所以a22b22.【点拨】 根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用重要不等式a2 b2来源:1ZXXK22来证明比较好，它可以将具备a2b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件ab1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证

2、明了原不等式.当然此题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，an1，an满足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求证：a1，a2，an10.【证明】由题设a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假设a1，a2，an1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，an1中第一个出现的正数. 即a10，a20，ar10，ar0，那么有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.这与题设an0矛盾.由此证得a1，a2，an10成立.题型二用数学归纳法证明

3、不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an，nN*，求证：an.来源:1【证明】 方法一：放缩法，即n.所以12nan132n1.所以an·，来源:1ZXXK即an.方法二：数学归纳法当n1时，a1，而12，所以原不等式成立.假设nk k1时，不等式成立，即ak.那么当nk1时，ak1，所以ak1.而k1，.所以ak1.故当nk1时，不等式也成立.综合知当nN*，都有an.【点拨】 在用放缩法时，常利用根本不等式将某个相乘的的式子进展放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目的来寻找思路.【变式训练2】数列，Sn为其前n项和，计算得

4、S1，S2，S3，S4，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜测SnnN.证明：当n1时，S1，等式成立.假设当nkk1时等式成立，即Sk.那么Sk1Sk.即当nk1时，等式也成立.综合得，对任何nN，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因消费建立的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.1求an的表达式；2为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于a，假如ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？假设会，需要经过几年？取lg 20.30【解析】1依题意得a1a

5、1bab，a2a1babb2a1b，a3a2b3a21b，由此猜测annan1n21bna4n1bnN.下面用数学归纳法证明：当n1时，a1ab，猜测成立.假设nkk2时猜测成立，即akka4k1b成立.那么当nk1时，ak1akbbk1a4k11b，即当nk1时，猜测仍成立.来源:1由知，对任意nN，猜测成立.2当ba时，假设该地区今后发生水土流失，那么森林木材存量必须少于a，所以na4n1·aa，整理得n5，两边取对数得nlg lg 5，所以n7.故经过8年该地区就开场水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y千辆/时与汽车的平均速度v千

6、米/时之间的函数关系为yv0.1在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？准确到0.1千辆/时来源:12假设要求在该时段内车流量超过10千辆/时，那么汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】1依题意，y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立，所以ymax11.1千辆/时.2由条件得10，整理得v289v1 6000，即v25v640，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.假如要求在该时段内车流量超过10千辆/时，那么汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结进步1.有些不等式，从正面证假如不易说清，可以考虑反证法，但凡含有“至少、“唯一或者其他否认词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进展命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目的，目的在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：1添加或舍去一些项，如，n；2将分子或分母放大或缩小；3利用根本