结构力学影响线1

1、基本要求：基本要求： 掌握掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。熟练掌握熟练掌握静定梁的内力和反力影响线的绘制。了解了解桁架影响线和结点荷载作用下梁的影响线绘制； 理解理解影响量的计算和最不利荷载位置的确定。了解了解内力包络和绝对最大弯矩。 移动荷载及影响线的概念移动荷载及影响线的概念 静力法作影响线静力法作影响线 用机动法作影响线用机动法作影响线 影响线的应用影响线的应用 简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图本本 章章 内内 容容 静力法作桁架的影响线静力法作桁架的影响线大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。结构的反应（反力、

2、内力等）随荷载作用位结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位置的改变而改变。置的改变而改变。移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹性条件下，影响线是有效工具之一。性条件下，影响线是有效工具之一。 工程中的移动荷载是多种多样的，不可能针对每一个结构在各种移动荷载作用下产生的效果进行一一的分析，研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载 FP = 1 沿结构移动时，某一量值（内力、支反力等）的变化规律，再利用叠加原理，求出移动荷载对结构某一量值的影响。FP=1xy=FB1FP=1FBFB影响线DyD当单位移动荷载当

3、单位移动荷载FP=1=1在结构上移动时，用来表示某在结构上移动时，用来表示某一量值一量值Z Z变化规律的图形，称为该量值变化规律的图形，称为该量值Z Z的影响线。的影响线。 注意：注意： 在Z的影响线中, 横标表示的是FP=1的作用位置；竖标表示的是量值Z的值。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。绘制影响线时，正值画在基线之上，负值画在基线之下 FP=1Fyx3/41/21/41-反力反力F的影响线的影响线FP1FP2FA=FP1*3/4+FP2*1/4用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指用静力法作影响线是指用静力计算的方法列

4、出指定量值的影响线方程，再据此绘出影响线。其步骤定量值的影响线方程，再据此绘出影响线。其步骤如下：如下： 选定坐标系，将FP =1置于任意位置，以自变量x表示FP =1的作用位置。对于静定结构可直接由分离体的静力平衡条件，求出指定量值与x之间的函数关系，即影响线方程。由影响线方程作出影响线。 以自变量以自变量x x表示表示F FP P=1=1的作的作用位置，通过平衡方程，建用位置，通过平衡方程，建立反力和内力的影响线函数立反力和内力的影响线函数 并作影响线。并作影响线。1、支座反力影响线11FBy.影响线FAy.影响线2、剪力影响线当FP=1在AC上移时取CBMCFQCFBya/l当FP=1在

5、CB上移时取ACFAy FQCMCb/l+QCFQC.影响线静力法作单跨静定梁的影响线CabFAyAFBy.BxFP=1l0/0, )yQCByFFFx la 0/( , YQCAyFFFlxla l,弯矩影响线CBbACa0CM0,CByxMF bbal0CM,CAylxMF aaa llab/lMC.影响线0/0,0/0,AByBAyMFx llMFlxllFBy=x/l 0 ,l 当FP=1在AC上移动 FQC=x/l 0，a）当FP=1在CB上移动 FQC=（lx）/l( a, l CabxFP=1lFAyABFBy.当FP=1在EC上时：FQC=FBy=x/l l1，a）当FP=1在

6、CF上时： FQC=FAy=（lx）/l （a，l+l2FBy=x/l l1，l+l2 伸臂梁的影响线绘制由平衡条件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。l1abll2FP=1xABCFAyFByEF伸臂梁支座反力及支座间内力影响线方程与简支梁对应量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。+1FBy.I.La/lb/l+FQC.I.Lab/l+_Mc.I.LD当FP=1在D以里移动时D截面内力等于零， 故伸臂上截面内力影响线在该截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移动时D截面才有内力d+ 1FQD.I.Ll1abll2F

7、P=1xABCFAyFByEF伸臂梁的影响线 故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。. .QBFI L左+1下面讨论影响线与内力图的区别。影响线 ablblalFQ图 M图内力图 blalablFQC影响线 MC影响线 xFP=1ACablBACablBFP=11）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位置； 内力图中，x是梁截面位置。2）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位置 时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的 内力值。3）荷载位置：求影响线时，FP=1是移动荷载； 内力图中，荷载位置固定。FQC影响线 llblal在FQC影响线中 l

8、/2l/2l/2KFP=1Al/4l/4kFP=1AMAYBiBl/4l/4FQKxMA l/2l/2l/2KP=1AxxMAFAyMA影响线影响线lFAy影响线影响线1FQKMKxl/22/ lx P=1FQK =1MK= -(x - l/2 )FQK影响线影响线1MK影响线影响线l/21AyF 0yF 0AM l/4l/4kP=1AMAFByiBl/4l/4xx0AM /2/2AByMF lxlx FBy影响线影响线1xl/44/ lx P=1 =0MK= l/4-(x - l/4 )=l/2-xMA影响线影响线l/2l/2MKFByMK影响线影响线l/2l/4影响线影响线1Mi4/3lx

9、 P=1x3l/4Mi=3l/4 -x =1Mi影响线影响线l/4影响线影响线10yF 1ByF作多跨静定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。作多跨静定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。 基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。 附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。 【例题】作图示多跨静定梁的 MK，MC，FQB左，MD，影响线。2m2m2m2m4m2mCFABDEGK1m+1m1m1m+ 作MK

10、、FQB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C左的直线，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、FQB左影响线竖标为零，由此绘出MK、FQB左影响线如图所示。ABC是基本梁，CDE为其附属梁，同时也是EFG的基本梁，EFG是附属梁。I.L.MKI.L.FQB左1/21/21/2+11/22m2m2m+2m2m+2m2m2m2m4m2mCFABDEGK 作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。 I.L.MCI.L.MD 作MD影响

11、线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。作业 4-2 如图简支梁AB，荷载FP=1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB某截面内力Z的影响线。FP=1ACDKxB 由下面的证明可以得出结论： 在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面以例加以证明。d 8 5d 4 3d1615横梁纵梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DFP=1 MD影响线FP=1 FP=1 DxFP=1FP=1 dxd dxdxddxddMD4385

12、 结点荷载下影响线特点 1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同. 2、相邻结点之间影响线为一直线。 结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.LFQCE. I.L1/21/4LIMC.43d 结点荷载作用下梁的影响线(Influence line under joint load)MA.I.L2m1m3mFRD.I.L111/2FQD右.I.LABCDEFG3m3m2m2m2m4m3m6=18m1m1m11/21/31/2FP=1x 平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载FP=1通过

13、纵梁横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线。 求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载FP=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。作图示桁架指定杆的内力影响线解：求FN1需取截面-，建立矩方程Me=0先作出简支梁的Me影响线如图(a)，再将其竖标除以桁架高度 a 即得FN1影响线如图(b) 。下承上承FP=1l=6aACBDEFacdefba12345FP=1I.L.Me4a/3+(a)I.L.FN1+4/3(b)l=6aACBDEFacdefba12345求FN2需取截面-， 建

14、立投影方程FY=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示FQE右影响线，而 FNY2=FQE右，且在相邻节点之间为一直线，得FN2影响线如图(b) 。FP=1I.L.FQE右+1/62/31/3(a)下承上承I.L.FN2+6/23/22(b)FP=1当桁架上下弦节点上下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分上承和下承。求FN3需取截面-， 建立投影方程FY=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示FQE右影响线，而 :FN3=FQE右，且在相邻节点之间为一直线，得FN3影响线如图(b) 。FP=1I.L.FQE右+1/62/31/3(a)上承I.L

15、.FN3+6/13/2(b)FP=1下承如为上承，被截载重弦节间是de，影响线如图(b)中的虚线所示。l=6aACBDEFacdefba12345求FN4需取截面-， 建立投影方程FY=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示FQC右影响线，而 :FNY4=FQC右，且在相邻节点之间为一直线，得FN4影响线如图(b) 。FP=1I.L.FQC右+1/22/31/3(a)上承+3/22/2I.L.FN2(b)FP=1下承如为上承，被截载重弦节间是cd，影响线如图(b)中的虚线所示。6/2l=6aACBDEFacdefba12345求FN5需取截面-， 建立矩方程MC=0先作

16、出简支梁MC影响线如图(a)所示，再将其竖标除以桁架高度 a 即得FN5影响线如图(b) 。P=1P=1如为上承，cd节间影响线要为直线，如图(b)中的虚线所示。I.L.FN5(b)+上承下承4/3绘制竖杆内力影响线，和当桁架上下弦节点上下不对齐时，绘制各杆内力影响线，需区分上承和下承。I.L.MC4a/3(a)+l=6aACBDEFacdefba12345例 作图示桁架FN1FN2的影响线。解：1）支座反力FRAFRB的影响线与跨度为5d 的简支梁相同。RAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh011(3 )/NRBFFFdMhh 011(2 )/ NRAFFFdMhh 2) 求

17、FN1的影响线（上承） 当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：0FM 当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：0FMABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影响线（上承）6d/5h 相应简支梁F截面的弯矩。0FMRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dII011(3 )/NRBFFFdMhh 011(2 )/ NRAFFFdMhh 求FN1的影响线（下承） 当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：0FM 当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：0FMABEF6d/5hFN1影响线（下承）2d/h3d/h 相应简支梁F截面的弯矩。0FMR

18、AFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dII3) 求FN2的影响线（上承） 当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：0yF222204NRBFhFhd2222024422NRBQCDhdhdFFFhh 当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：0QCDF相应简支梁节间CD的剪力。hd/22242hdRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh222204NRAFhFhd2222024422NRAQCDhdhdFFFhhABCD2244hdh223 420hdh2242hdh2242hdhFN2影响线(上承)hd/22242hd求FN2的影响线（下承） 当FP=

19、1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：0yFRAFFP=1AEFFP=121BCDRBF5dIIh0yF2222024422NRBQEFhdhdFFFhh 当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：0yF2222024422NRAQEFhdhdFFFhh0QEFF相应简支梁节间EF的剪力。ABEFFN2影响线（下承）223 410hdh22410hdh2242hdh2242hdhhd/22242hdRAFFP=1AEFFP=121CD5dII作静定结构影响线的作静定结构影响线的机动法机动法的理论基础是刚体虚功原理，的理论基础是刚体虚功原理，是将作影响线的静力问题转化为作虚位移图的几

20、何问题。是将作影响线的静力问题转化为作虚位移图的几何问题。 虚功原理：具有理想约束的任一刚体体系，其平衡条件是：虚功原理：具有理想约束的任一刚体体系，其平衡条件是：作用于体系的所有外力在任何虚位移上所做的功的和等于零作用于体系的所有外力在任何虚位移上所做的功的和等于零ABFP=1l求图示梁支座反力求图示梁支座反力.1.0RBBPFBFP=1RBFP2BP-问题的提出：对于有些问题往往要知道影响线的轮廓问题的提出：对于有些问题往往要知道影响线的轮廓形状，如何快速准确的画出影响线，是本节主要解决的问形状，如何快速准确的画出影响线，是本节主要解决的问题。题。0.5RBF FP=1xFP=1xablC

21、Z(x)()(0)(11)(xxZxxZPP 1 1P(x)要求量值Z（支座反力FRA）影响线，将与Z相应的约束解除，代以未知力Z，得到有一个自由度的机构。 然后让机构沿Z的正方向发生单位虚位移。 列出刚体虚功方程，力与位移同向时虚功为正。 Z 的影响线，基线以上的竖标为正。FP=1 作用点的竖向虚位移图，向下为正（与FP=1同向）。 于是得到：所得虚位移图即 Z 的影响线。基线以上的虚位移图是正影响线，基线以下的虚位移图是负影响线。求图示梁求图示梁C截面弯矩影响线截面弯矩影响线FP=1CFP=1xablCZbZab/lI.L.MC.1.0CZPM( )PCZxM-1Z令( )CPMx-机动法

22、步骤机动法步骤:1.1.去除与所求量值相应的约束，并代去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。以正向的约束力。2.2.使所得体系沿约束力的正方向发生使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的相应的单位位移，由此得到的P =1P =1作作用点的位移图即为该量值的影响线。用点的位移图即为该量值的影响线。3.3.基线以上的竖标取正号，以下取负基线以上的竖标取正号，以下取负号。号。求图示梁求图示梁C截面剪力影响线截面剪力影响线l/2l/2l/2KP=1A12( )PQCxFcc-121cc令b/la/lI.L.FQCFP=1CFQCFP=1xablC112.1.( )0QCQCPF

23、cFcx( )QCPFx-所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行等。 FRAFQK影响线影响线l/2l/2l/2KFP=1AFRA影响线影响线11MA影响线影响线MkMA）1lMk影响线影响线）1l/2FQK11练习练习:作作FRB , MA , MK , FQKMi , FQi影响线影响线.l/4l/4kFP=1AiBl/4l/4机动法步骤机动法步骤:1.1.去除与所求量值相应的约束，并代以正向的去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。约束力。2.2.使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单

24、位位移，由此得到的位位移，由此得到的F FP P =1 =1作用点的位移图即作用点的位移图即为该量值的影响线。为该量值的影响线。3.3.基线以上的竖标取正号，以下取负号。基线以上的竖标取正号，以下取负号。FQKFRBMi影响线影响线FRB影响线影响线1MA影响线影响线）1l/2Mk影响线影响线）1l/411练习练习:作作FRB , MA , MK , FQKMi , FQi影响线影响线.l/4l/4kFP=1AiBl/4l/4MAMkl/2FQK影响线影响线Mi）1FQiFQi影响线影响线机动法步骤机动法步骤:1.1.去除与所求量值相应的约束，并代以正向的去除与所求量值相应的约束，并代以正向的

25、约束力。约束力。2.2.使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的位位移，由此得到的F FP P =1 =1作用点的位移图即作用点的位移图即为该量值的影响线。为该量值的影响线。3.3.基线以上的竖标取正号，以下取负号。基线以上的竖标取正号，以下取负号。（1/2M1FAy影响线影响线例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影响线影响线11ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mFAyM1影响线影响线M2影响线影响线M2（11（1MBFQ2

26、影响线影响线2ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mMB影响线影响线FQ3影响线影响线1FQ21FQ31例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影响线影响线FCy影响线影响线ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mFQ4影响线影响线1FCy1FQ41FQC左左影响线影响线FQC左左FQC右右影响线影响线FQC右右1例：作例：作FAy 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3、 FCy 、 FQ4 、 FQC左左 、 FQC右右 影响线影响线xFP=1AB

27、CDl / 2l / 2l / 2l / 2一、一、 求各种荷载作用下的影响量求各种荷载作用下的影响量1）集中荷载yc1CBAFpynyiy2y1Fp1Fp2FpiFpnAB1nYAPiiiFF yYAPcFFy绘制影响线时，考虑的是绘制影响线时，考虑的是单位荷载单位荷载Fp=1的作用，当的作用，当若干具体荷载作用于结构若干具体荷载作用于结构时，可根据叠加原理，利时，可根据叠加原理，利用影响线计算出该内力所用影响线计算出该内力所受的总影响，即产生的该受的总影响，即产生的该内力总值称为影响量。内力总值称为影响量。简化计算简化计算y(x)2)均布荷载均布荷载FP1NiiiPyF1kZk影响线影响线

28、yky1Zk=FP1y1FP2y2+FP2y2FPNyN+ + FPNyN0当当q(x)为常数时为常数时xq(x)x x+dxkabq(x)dxXaXb( ) ( )baxkxZq x y x dx( )baxkxZqy x dx q Zk影响线影响线( )( )kdZq x dx y x 利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下：大小的方法如下： 作出某一量值作出某一量值Z的影响线；的影响线； 利用下式求出该量值的大小。利用下式求出该量值的大小。 11nnPiiiiiiSFyqZ例：利用影响线求例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。截

29、面弯矩、剪力。2(/4)kMqll kl/2qql2l/2l/2l/2解：解：FQK影响线影响线1/21/21/21/2Mk影响线影响线l/4l/4l/4ql11 (22)2 2 42 2 4llllq /2ql 1202QkFqlq11nnPiiiiiiSFyqZ二、求荷载的最不利位置二、求荷载的最不利位置 如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（、），则此荷载所在位置称为最不利位置最不利位置。 我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。maxmin（）一个集中荷载（）一组集中荷载（）任意分布荷载qqq三、临界位置的判定三、临界位置的判定(1)求

30、出使Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。(2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。0+Z-Zx1R2R3R010203如何求临界位置呢？31iii332211yRyRyRyRZ1y2y3y:x相应有当荷载移动xy1R2R3R1R2R3Riitgxyx31iii333222111yRZ)yy(R)yy(R)yy(RZZiiiiiitgRxtgxRyRZ0102031y2y3yxyiiiiiitgRxtgxRyRZ1R2R3RZxZxx0Z x0Z 使Z成为极大值极大值的临界位置必须满足的条件：0tgRx,0Zii即0tgR0 xii0tgR0 xii 使Z成为极小值极小值的临界位置必须满足的条件：0tgRx,0Zii即0tgR0 xii0tgR0 xii0tgRii一般情况下小结：极值位置时只要荷载移动 就变号。iitgR0102031y2y3yxy1R2R3R1R2R3R极值位置时只要荷载移动 就变号，它就是一个判别式。iitgR在什么情形下它才会变号呢？临界位置临界荷载总结：总结： 1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；）选一个荷载置于影响线的某个顶点；2）利用判别式，看是否变号；）利用判别式，看是否变号；3）求出每个临界位置对应的）求出每个临界位置