九年级数学下册第28章圆复习课件

1、第28章 单元复习课一、圆的相关概念一、圆的相关概念1.1.圆的定义有两种表述方式圆的定义有两种表述方式(1)(1)运动的观点：在一个平面内，线段运动的观点：在一个平面内，线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A A所形成的图形叫做圆所形成的图形叫做圆. .(2)(2)集合的观点：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合集合的观点：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合. .由圆的定义可知，确定圆的因素有两个：圆心确定圆的位置，由圆的定义可知，确定圆的因素有两个：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小半径确定圆的大小. .2.2.3.3.与圆有

2、关的概念较多，在辨析与圆有关的概念时，要深刻理与圆有关的概念较多，在辨析与圆有关的概念时，要深刻理解每个概念的内涵与外延，熟练把握解每个概念的内涵与外延，熟练把握. .如：如：(1)(1)等圆与同心圆：等圆是指半径相等的圆，对于位置没有限等圆与同心圆：等圆是指半径相等的圆，对于位置没有限制；同心圆是指圆心相同的圆制；同心圆是指圆心相同的圆. .(2)(2)弦与直径：直径是一条特殊的弦，且经过圆心，它是圆中弦与直径：直径是一条特殊的弦，且经过圆心，它是圆中最长的弦最长的弦. .直径是弦，但弦不一定是直径直径是弦，但弦不一定是直径. .(3)(3)半圆与弧：半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆与弧：半圆

3、是弧，但弧不一定是半圆. .(4)(4)对于等弧的理解，从定义来看，要求的是能够完全重合的对于等弧的理解，从定义来看，要求的是能够完全重合的弧为等弧，实质上，弧有长度和度数，规定半圆的度数为弧为等弧，实质上，弧有长度和度数，规定半圆的度数为180180，劣弧的度数小于，劣弧的度数小于180180，优弧的度数大于，优弧的度数大于180180. .若两条若两条弧为等弧，则必须满足长度及度数都相等，二者缺一不可弧为等弧，则必须满足长度及度数都相等，二者缺一不可. .4.4.两个概念：两个概念：(1)(1)圆心角：顶点在圆心的角；圆心角：顶点在圆心的角；(2)(2)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相

4、交的角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角. .圆心角的顶点在圆的内部，所以其边一定与圆相交；圆周角圆心角的顶点在圆的内部，所以其边一定与圆相交；圆周角必须满足两个条件，二者缺一不可必须满足两个条件，二者缺一不可. .5.5.经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外接圆的圆心叫做这个角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心三角形的外心. .(1)(1)一个三角形有且只有一个外接圆，但是一个圆有无数个内一个三角形有且只有一个外接圆，但是一个圆有无数个内接三角形接三角

5、形. .(2)(2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三顶点的距离相等，等于外接圆的半径三角形三顶点的距离相等，等于外接圆的半径. .(3)(3)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. .6.6.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. .三角形三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，这个三角形叫做这个的内切圆的圆心叫做这个三

6、角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形圆的外切三角形. .(1)(1)一个三角形有且只有一个内切圆，但是一个圆有无数个外一个三角形有且只有一个内切圆，但是一个圆有无数个外切三角形；切三角形；(2)(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；三边的距离相等；(3)(3)与三角形内心有关的证明或计算，往往连结顶点与内心，与三角形内心有关的证明或计算，往往连结顶点与内心，构造角平分线，应用角平分线的性质来证明或计算构造角平分线，应用角平分线的性质来证明或计算. .7.7.圆的切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点

7、到圆的圆的切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长. .切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，切切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，切线长是切线上一条线段的长，可以度量线长是切线上一条线段的长，可以度量. .8.8.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形与之有关的各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形与之有关的概念如图所示：概念如图所示：与正多边形有关的定义都是以正多边形的外接圆为基础的与正多边形有关的定义都是以正多边形的外接圆为基础的. .在在理解定义时，要注意与多边形的相关元素之间的对应关系理解定义时，要注意与多边形的相关元素之间的对应

8、关系. .二、圆的相关性质、判定及定理二、圆的相关性质、判定及定理1.1.垂径定理垂径定理(1)(1)垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. .如图如图,O,O中，若中，若CDCD为直径，为直径，CDAB,CDAB,垂足为垂足为M M，则，则AM=BMAM=BM，ADBD ACBC.，平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. .如图如图,O,O中，若中，若

9、AM=BM(ABAM=BM(AB不是直径不是直径) )，CDCD为直径，则为直径，则ABCDABCD，(2)(2)理解垂径定理要注意以下问题：理解垂径定理要注意以下问题：定理中的定理中的“垂径垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线，其本可以是直径、半径或过圆心的直线，其本质是质是“经过圆心经过圆心”. .ADBD ACBC.，定理中的定理中的“弦弦”是直径时，结论仍然成立是直径时，结论仍然成立. .垂径定理可以这样理解：一条直线，如果它具备两条：垂径定理可以这样理解：一条直线，如果它具备两条：a a经过圆心；经过圆心；b b垂直于圆的一条弦垂直于圆的一条弦. .那么这条直线就具有另外三个性质：那

10、么这条直线就具有另外三个性质：a a平分弦；平分弦；b b平分弦所对的劣弧；平分弦所对的劣弧；c c平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧. .(3)(3)垂径定理的其他推论垂径定理的其他推论垂径定理成立的基础是圆的轴对称性，垂径定理及其推论可以垂径定理成立的基础是圆的轴对称性，垂径定理及其推论可以概括为：一条直线，如果它满足概括为：一条直线，如果它满足: :经过圆心；垂直于圆的一经过圆心；垂直于圆的一条弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧条弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧. .这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推知

11、二推三三”. .注：注：在垂径定理的推论中，对被平分的弦不是直径的要求是不在垂径定理的推论中，对被平分的弦不是直径的要求是不可去掉的，在圆中任意的两条直径都是互相平分的，但是它们可去掉的，在圆中任意的两条直径都是互相平分的，但是它们不一定垂直不一定垂直. .(4)(4)垂径定理的应用垂径定理的应用垂径定理是证明线段相等、角相等、垂直垂径定理是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等的重要依据，同时也为圆的关系、弧相等的重要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据有关计算提供了方法和依据. .应用垂径定理证明时，一般是过圆心作应用垂径定理证明时，一般是过圆心作弦的垂线，构造线段或弧相等弦的垂线，

12、构造线段或弧相等. .若有弦的中点，则连结圆心及弦若有弦的中点，则连结圆心及弦的中点，构造垂直关系的中点，构造垂直关系. .与垂径定理有关的计算，一般是利用弦长的一半、弦心距、与垂径定理有关的计算，一般是利用弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形结合勾股定理及方程的思想求解半径所构成的直角三角形结合勾股定理及方程的思想求解. .如图如图, ,常用的关系式为：常用的关系式为：r r2 2= +d= +d2 2,r=d+h,r=d+h等等. .若已知弦长若已知弦长a a和弓形和弓形的高的高h h，则需要构建关于，则需要构建关于r r的方程，利用方程的思想来解决的方程，利用方程的思想来解决. .

13、确定弧所在圆的圆心的方法，根据弦的垂直平分线经过圆确定弧所在圆的圆心的方法，根据弦的垂直平分线经过圆心，在弧上任意作两条弦，两弦的垂直平分线的交点就是弧所心，在弧上任意作两条弦，两弦的垂直平分线的交点就是弧所在圆的圆心在圆的圆心. .应用垂径定理解决实际问题，关键是根据实际问题抽象出几应用垂径定理解决实际问题，关键是根据实际问题抽象出几何模型，利用垂径定理来解决问题何模型，利用垂径定理来解决问题. .2a( )22.2.弧、弦、圆心角、圆周角的关系弧、弦、圆心角、圆周角的关系(1)(1)弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，有三组量：两个圆心角、两条弧、两条弦，在同圆

14、或等圆中，有三组量：两个圆心角、两条弧、两条弦，只要有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也都相等只要有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也都相等. .此定理成立的基础是圆的旋转不变性此定理成立的基础是圆的旋转不变性. .在应用上述关系解决问题在应用上述关系解决问题时，可根据需要选取有关部分；时，可根据需要选取有关部分；“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这一条件这一条件不能漏掉，如在不同的圆中，相等的圆心角所对的弦及弧不一不能漏掉，如在不同的圆中，相等的圆心角所对的弦及弧不一定相等，但是相等的弧所对的圆心角一定相等，因为等弧只有定相等，但是相等的弧所对的圆心角一定相等，因为等弧只有在同圆或

15、等圆中才有可能存在在同圆或等圆中才有可能存在. .(2)(2)圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. .半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于9090( (直角直角).).9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径. .(3)(3)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. .3.3.切线的判定及性质切线的判定及性

16、质(1)(1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. .切线的性质可以作如下拓展：切线的性质可以作如下拓展：a a切线和圆只有一个公共点；切线和圆只有一个公共点；b b切线和圆心的距离等于圆的半径；切线和圆心的距离等于圆的半径；c c经过圆心且垂直于切线的直经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；线必过切点；d d经过切点且垂直于切线的直线必过圆心经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. .有圆的切线时，辅助线的作法一般是连结切点和圆心，构造有圆的切线时，辅助线的作法一般是连结切点和圆心，构造垂直关系来解题垂直关系来解题. .(2)(2)切线长定理：从圆外一

17、点可以引圆的两条切线，它们的切线切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角切线长定理能把许多圆的知识串联起来，并能找出一些规律性切线长定理能把许多圆的知识串联起来，并能找出一些规律性的东西，便于应用，也有利于开阔思路的东西，便于应用，也有利于开阔思路如图，如图，PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B两点，直线两点，直线OPOP交交O O于于D D，E E，交弦交弦ABAB于于C C，则：，则：由切线长定理得由切线长定理得PA=PBPA=PB，3=4.3=4.由等腰三角形三线合一得由

18、等腰三角形三线合一得PCABPCAB，AC=BC.AC=BC.由垂径定理得：由垂径定理得：由切线性质定理得：由切线性质定理得：OAAPOAAP，OBBPOBBP连结连结ADAD，BDBD，由，由ADAD，BDBD分别平分分别平分PABPAB，PBAPBA得：得：D D为为ABPABP的内心的内心1=2=3=4,5=6=7=81=2=3=4,5=6=7=8ADBD,AEBE(3)(3)圆切线的判定方法圆切线的判定方法定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线数量关系：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线数量关系：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线判定定理：经过

19、半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线应用切线的判定定理证明直线与圆相切时，常用的辅助线的作应用切线的判定定理证明直线与圆相切时，常用的辅助线的作法为：法为：(1)(1)若已知直线与圆有公共点，则连结圆心和公共点证明若已知直线与圆有公共点，则连结圆心和公共点证明垂直，即垂直，即“连半径，证垂直连半径，证垂直”；(2)(2)若直线与圆的公共点没有确若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，即半径，即“作垂直，证等径作垂直，证等径”. .(4)

20、(4)直角三角形内切圆的半径与三边的关系直角三角形内切圆的半径与三边的关系设直角三角形的两直角边为设直角三角形的两直角边为a a，b b，斜边为，斜边为c c，内切圆的半径为，内切圆的半径为r r，则有，则有 , ,或或 ( (由面积法得到由面积法得到).).abcr2abrabc4.4.定理的应用定理的应用(1)(1)在同圆或等圆中，证两弦相等时，常用的方法是找这两弦所在同圆或等圆中，证两弦相等时，常用的方法是找这两弦所对的弧、圆心角、圆周角相等对的弧、圆心角、圆周角相等. .同样，证明弧相等时，则考虑弧同样，证明弧相等时，则考虑弧所对的弦及有关的角之间存在的关系所对的弦及有关的角之间存在的

21、关系. .(2)(2)利用圆周角定理解决问题时，常进行两种转化：一是利用同利用圆周角定理解决问题时，常进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等或圆心角相等的问题相等的问题转化为弦相等或弧相等或圆心角相等的问题. .(3)(3)把圆中的直径与把圆中的直径与9090的圆周角联系在一起，当题目中有直径的圆周角联系在一起，当题目中有直径这一条件时，辅助线的作法一般是构造直径所对的圆周角是直这一条件时，辅助线的作法一般是构造直径所对的圆周角是直角，综合勾股定理等知识来解题角，综合勾股

22、定理等知识来解题. .没有直径时常通过添加辅助线没有直径时常通过添加辅助线作直径，创造条件，再利用圆周角的性质解题作直径，创造条件，再利用圆周角的性质解题. .(4)(4)若出现圆内接四边形，则利用其对角互补解决问题若出现圆内接四边形，则利用其对角互补解决问题. .注：注：(1)(1)在进行相关命题的判断时，易忽视在进行相关命题的判断时，易忽视“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个条件而造成误判；这个条件而造成误判；(2)(2)与圆周角有关的问题常因图形不确定而产生多解的情况，此与圆周角有关的问题常因图形不确定而产生多解的情况，此时易忽视分情况进行讨论而导致丢解的错误时易忽视分情况进行讨论而导致

23、丢解的错误. .5.5.相切两圆的性质相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上如果两圆相切，那么切点一定在连心线上(1)(1)要正确区别连心线和圆心距：连心线是通过不同心的两个圆要正确区别连心线和圆心距：连心线是通过不同心的两个圆的圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度的圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度. .显然，两个圆的圆心的连线显然，两个圆的圆心的连线( (线段线段) )一定在连心线一定在连心线( (直线直线) )上上(2)“(2)“相切两圆的连心线经过切点相切两圆的连心线经过切点” ” ，也可理解为，也可理解为“相切两圆相切两圆的圆心、切点在同

24、一条直线上的圆心、切点在同一条直线上” ” ，或，或“经过相切两圆的切点和经过相切两圆的切点和一个圆的圆心的直线必经过另一个圆的圆心一个圆的圆心的直线必经过另一个圆的圆心” ” . .(3)(3)两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时要两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时要注意：连心线是直线而不是线段；有时也用圆心距作辅助线注意：连心线是直线而不是线段；有时也用圆心距作辅助线注：注：由两圆相切的位置关系判断数量关系时，易忽视存在两种由两圆相切的位置关系判断数量关系时，易忽视存在两种情况而造成漏解情况而造成漏解. .三、圆中的位置关系三、圆中的位置关系1.1.点与圆的位

25、置关系的判断方法点与圆的位置关系的判断方法方法一：确定点和圆的位置关系，就是确定该点到圆心的距离方法一：确定点和圆的位置关系，就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系与半径的大小关系. .先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比较，如果较，如果P P是圆所在平面内的一点，是圆所在平面内的一点，d d表示点到圆心的距离，表示点到圆心的距离，r r表表示圆的半径，那么：示圆的半径，那么：d dr r P P在圆内；在圆内；d=r d=r P P在圆上；在圆上；d dr r P P在圆外在圆外方法二：利用圆内角、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判方法二：利用圆内角

26、、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判断，如果断，如果ABAB是是O O的一条弦，点的一条弦，点Q Q是是O O上的一点，上的一点，P P点、点、Q Q点在直点在直线线ABAB的同旁的同旁( (如图如图) )，则有：，则有：(1)APB(1)APBAQBAQB点点P P在圆内；在圆内；(2)APB=AQB(2)APB=AQB点点P P在圆上；在圆上；(3)APB(3)APBAQBAQB点点P P在圆外在圆外2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系既可转化为直线和圆的交点的个数，判断直线和圆的位置关系既可转化为直线和圆的交点的个数，又可转化为点又可转化为点( (圆心圆心)

27、 )到直线的距离与半径的大小关系到直线的距离与半径的大小关系. .若若O O的的半径为半径为r r，圆心，圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，则具体情况如下表：，则具体情况如下表：直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系图列图列公共点公共点的个数的个数圆心到直圆心到直线的距离线的距离 相离相离0 0drdr 相交相交2 2drdR+r 外切1个d=R+r 相交2个R-rdr) 内含0个dr) 括外离与内含两种情况，相切包括外切与内切，在理解它们括外离与内含两种情况，相切包括外切与内切，在理解它们时，要注意每个圆上的点相对于另一个圆的位置关系时，要注意每个圆上的点相对于另一个圆的位置

28、关系. .(1)(1)圆和圆的位置关系，不但考虑了数圆和圆的位置关系，不但考虑了数( (两圆公共点的个数两圆公共点的个数) )，而，而且考虑了形且考虑了形( (两圆的位置关系两圆的位置关系) )，两圆的五种位置关系按公共点，两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为的个数可分为0 0，1 1，2 2三大类三大类(2)(2)两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称为切点为切点(3)(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径具有内切或内含关系的两个圆的半径R R与与r r不可能相等，即具不可能相等，即具有内切或内含关系的两圆不可能为等圆，否则

29、，这两个圆重合有内切或内含关系的两圆不可能为等圆，否则，这两个圆重合四、圆中的相关计算四、圆中的相关计算1.1.正多边形的有关计算正多边形的有关计算正正n n边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正n n边形分成边形分成2n2n个全等的直角三角形，由于这些直角个全等的直角三角形，由于这些直角三角形的斜边都是正三角形的斜边都是正n n边形的外接圆的半边形的外接圆的半径径R R，一条直角边是正，一条直角边是正n n边形的边心距边形的边心距r rn，另一条直角边是正另一条直角边是正n n边形的边长边形的边长a an的一半，的一半，一个锐角是正一个锐角是正n n边形中心角边形中心角n的一半，即的一

30、半，即 另一个锐角另一个锐角180n，为一个内角的一半，即为一个内角的一半，即 所以，根据上所以，根据上面定理就可以把正面定理就可以把正n n边形的有关计算归结为解直角三角形问题边形的有关计算归结为解直角三角形问题. .这样就把正这样就把正n n边形的计算问题转化为解直角三角形的问题边形的计算问题转化为解直角三角形的问题. .计算公式：计算公式：(1)(1)正正n n边形每个内角的度数：边形每个内角的度数：(2)(2)正正n n边形的中心角的度数：边形的中心角的度数：(3)(3)正正n n边形的每个外角的度数：边形的每个外角的度数：(n2) 180n；(n2) 9018090nn或，360n；

31、360n；(4)(4)正正n n边形的对角线的条数：边形的对角线的条数：注注: :(1)(1)计算时易记错公式导致错误计算时易记错公式导致错误. .(2)(2)易将正易将正n n边形的边心距和半径混淆边形的边心距和半径混淆. .2.2.弧长及扇形面积公式弧长及扇形面积公式( (半径为半径为R R的圆中的圆中) )(1)(1)弧长：弧长：n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长(2)(2)扇形的面积：扇形的面积：n n的圆心角所对的扇形面积的圆心角所对的扇形面积弧长为弧长为l l的扇形的面积的扇形的面积n(n3).2n R180；l2n RS360；1SR.2l弧是圆的一部分，扇形是圆面的一部

32、分，所以在半径为弧是圆的一部分，扇形是圆面的一部分，所以在半径为R R的圆的圆中，中，360360的圆心角所对的弧长就是圆的周长的圆心角所对的弧长就是圆的周长2R2R，所以，所以1 1的的圆心角所对的弧长为圆心角所对的弧长为 圆心角为圆心角为1 1的扇形的面积为的扇形的面积为由此可以得到弧长和扇形的面积计算公式由此可以得到弧长和扇形的面积计算公式. .在公式中，在公式中，n n，180180，360360应理解为应理解为1 1的倍数，计算时都不带单的倍数，计算时都不带单位位. .扇形的第二个面积公式，与三角形的面积公式类似，为了便扇形的第二个面积公式，与三角形的面积公式类似，为了便于记忆，可以

33、把扇形理解成一个曲边的等腰三角形于记忆，可以把扇形理解成一个曲边的等腰三角形. .两个公式在两个公式在计算时要根据条件灵活选用计算时要根据条件灵活选用. .R180，2R360，五、圆锥的侧面展开图与侧面积计算五、圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长. .圆锥侧面积是扇形面积圆锥侧面积是扇形面积. .如果设扇形的半径为如果设扇形的半径为l l，弧长为，弧长为c c，圆心角，圆心角为为n n( (如图如图)

34、 )，则它们之间有如下关系：，则它们之间有如下关系：nc.180l同时，如果设圆锥底面半径为同时，如果设圆锥底面半径为r r，周长为，周长为c c，侧面母线长为，侧面母线长为l，那，那么它的侧面积是：么它的侧面积是：圆锥的全面积为：圆锥的全面积为：rrl+r+r2. .1Scr ,2 圆锥侧面ll与圆有与圆有关的位关的位置关系置关系点和圆的点和圆的位置关系位置关系直线和直线和圆的位圆的位置关系置关系圆和圆的圆和圆的位置关系位置关系圆的圆的有关有关计算计算圆锥侧面圆锥侧面积、全面积积、全面积扇形扇形面积面积弧长弧长 轴对称性轴对称性( (垂径定理垂径定理) )中心对称性中心对称性( (旋转不变性

35、旋转不变性) )圆心角、圆心角、圆周角关系圆周角关系圆圆圆的认识圆的认识 圆的对称性圆的对称性【相关链接相关链接】圆既是轴对称图形圆既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形. .与之相关的定理有垂径与之相关的定理有垂径定理及其推论定理及其推论, ,圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系. .它们是计算线段的它们是计算线段的长度长度, ,证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据. .应用垂径定应用垂径定理时理时, ,常作圆心到弦的垂线段常作圆心到弦的垂线段, ,与半径、弦长的一半构成直角三与半径、弦长的一半构成直角三角形角形, ,结合勾股

36、定理计算或证明结合勾股定理计算或证明【例例1 1】(2011(2011常州中考常州中考) )如图如图,DE,DE是是O O的直径的直径, ,弦弦ABDE,ABDE,垂足垂足为为C,C,若若AB=6,CE=1,AB=6,CE=1,则则OC=_,CD=_.OC=_,CD=_.【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】如图连结如图连结OA,OA,设设O O的半径为的半径为R,R,由垂径定理得由垂径定理得AC= AB=3, OC=R-1,AC= AB=3, OC=R-1,根据勾股定理根据勾股定理, AC, AC2+OC+OC2=OA=OA2得得3 32+(R-1)+(R-1)2=R=R2, ,解得解得R

37、=5, OC=4,CD=9.R=5, OC=4,CD=9.答案：答案：4 94 912 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论【相关链接相关链接】圆周角定理提供了与圆有关的角的转化方法圆周角定理提供了与圆有关的角的转化方法. .圆周角与圆心角圆周角与圆心角的关系、同弧或等弧所对的圆周角相等是证明角相等的重要依的关系、同弧或等弧所对的圆周角相等是证明角相等的重要依据据, ,进而也可计算或证明有关线段的问题进而也可计算或证明有关线段的问题. .在题目中在题目中, ,若有直径若有直径, ,常作直径所对的圆周角常作直径所对的圆周角, ,构造直角三角形构造直角三角形, ,利用解直角三角形的利用解直角三角形

38、的知识解决问题知识解决问题【例例2 2】(2011(2011曲靖中考曲靖中考) )如图如图, ,点点A A，B B，C C，D D都在都在O O上上, ,OCAB,ADC=30OCAB,ADC=30, ,求求BOCBOC的度数的度数. . 【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】点点A A，B B，C C，D D都在都在O O上上,OCAB,OCAB, ADC=30 ADC=30, ,AOC=BOC=2ADC=60AOC=BOC=2ADC=60, ,BOCBOC的度数为的度数为6060. .ACBC, 切线的性质与判定、切线长定理切线的性质与判定、切线长定理【相关链接相关链接】(1)(1)在证

39、明直线与圆的位置关系时在证明直线与圆的位置关系时, ,若有公共点若有公共点, ,则连结公共点则连结公共点与圆心与圆心, ,证半径与直线垂直；若直线与圆的公共点未知时证半径与直线垂直；若直线与圆的公共点未知时, ,可作可作出圆心到直线的垂线段出圆心到直线的垂线段, ,证明圆心到直线的距离和半径相等证明圆心到直线的距离和半径相等, ,从从而判定直线和圆相切；而判定直线和圆相切；(2)(2)利用切线的性质时利用切线的性质时, ,常连结切点和圆心常连结切点和圆心, ,则半径与切线垂则半径与切线垂直；切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段直；切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段

40、相等、角相等、弧相等及垂直关系的重要依据相等、角相等、弧相等及垂直关系的重要依据【例例3 3】(2012(2012德州中考德州中考) )如图，点如图，点A A，E E是半圆周上的三等分是半圆周上的三等分点，直径点，直径BC=2BC=2，ADBC,ADBC,垂足为垂足为D D，连结，连结BEBE交交ADAD于于F F，过，过A A作作AGBEAGBE交交BCBC于于G G(1)(1)判断直线判断直线AGAG与与O O的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由(2)(2)求线段求线段AFAF的长的长【思路点拨思路点拨】(1)(1) (2) (2) 【自主解答自主解答】(1)AG(1)AG与与O

41、O相切相切. . 证明：连结证明：连结OAOA，点点A A，E E是半圆周上的三等分点，是半圆周上的三等分点， 点点A A是是 的中点，的中点，OABEOABE又又AGBEAGBE，OAAGOAAGAGAG与与O O相切相切BAAEECBE(2)(2)点点A A，E E是半圆周上的三等分点，是半圆周上的三等分点，AOB=AOE=EOC=60AOB=AOE=EOC=60又又OA=OBOA=OB，ABOABO为正三角形为正三角形又又ADOBADOB，OB=1OB=1，BD=OD= BD=OD= ， AD= AD= 又又EBC= =30EBC= =30，在在RtRtFBDFBD中，中， FD=BDF

42、D=BDtan EBC=BD tan EBC=BD tan 30tan 30= =12321EOC236，333AFADDF263 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系【相关链接相关链接】圆和圆的位置关系重点考查两圆相切和相交两种情况圆和圆的位置关系重点考查两圆相切和相交两种情况, ,其中相切其中相切又分为外切和内切又分为外切和内切, ,在解题时常常因考虑不全而漏解在解题时常常因考虑不全而漏解. .相交时常相交时常添加的辅助线是两圆的公共弦添加的辅助线是两圆的公共弦, ,把两圆中的角或线段联系起来把两圆中的角或线段联系起来, ,起到了桥梁的作用起到了桥梁的作用【例例4 4】(2012(2012德州

43、中考德州中考) )如果两圆的半径分别为如果两圆的半径分别为6 6和和4 4，圆心距，圆心距为为1010，那么这两圆的位置关系是，那么这两圆的位置关系是( )( ) (A) (A)内含内含 (B)(B)内切内切 (C)(C)相交相交 (D)(D)外切外切【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】选选D.D.两圆的半径分别为两圆的半径分别为4 4和和6 6，圆心距为，圆心距为1010，又，又4+6=104+6=10，这两圆的位置关系是外切这两圆的位置关系是外切 弧长和扇形、圆锥面积的相关计算弧长和扇形、圆锥面积的相关计算【相关链接相关链接】(1)(1)弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积的计算, ,关

44、键是寻求所在圆的半径及弧所对关键是寻求所在圆的半径及弧所对的圆心角；的圆心角；(2)(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形圆锥的侧面展开图是一个扇形, ,扇形的弧长为圆锥底面圆的扇形的弧长为圆锥底面圆的周长周长, ,半径为圆锥的母线；圆锥的高、母线和底面半径构成一个半径为圆锥的母线；圆锥的高、母线和底面半径构成一个直角三角形；直角三角形；(3)(3)计算不规则图形的面积时计算不规则图形的面积时, ,常转化为规则图形常转化为规则图形面积的和或差来解决面积的和或差来解决【例例5 5】(2011(2011宁波中考宁波中考) )如图如图,Rt,RtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AC=BC=

45、, ,AC=BC= , 若把若把RtRtABCABC绕边绕边ABAB所在直线旋转一周则所得的几何体所在直线旋转一周则所得的几何体的表面积为的表面积为( )( )(A)4 (B)(A)4 (B)(C)8 (D) (C)8 (D) 4 28 22 2【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】选选D.D.由三角形绕斜边旋转后得到的由三角形绕斜边旋转后得到的, ,求表面积求表面积, ,实实际是两个圆锥的侧面积之和际是两个圆锥的侧面积之和, ,一个圆锥的母线是原直角三角形的一个圆锥的母线是原直角三角形的一条直角边一条直角边, ,半径是斜边的中线半径是斜边的中线, ,等于等于2,2,圆锥的侧面是个扇形圆锥的

46、侧面是个扇形, ,其其弧长为圆锥底面圆的周长弧长为圆锥底面圆的周长, ,即即4,4,其半径是圆锥的母线长其半径是圆锥的母线长, ,即即ACAC的长的长, ,然后再利用扇形的面积公式然后再利用扇形的面积公式S= S= 弧长弧长半径半径 则两个的和为则两个的和为12142 24 2 ,2 8 2 . 【命题揭秘命题揭秘】圆是数学的重点之一圆是数学的重点之一, ,也是中考的热点也是中考的热点, ,纵观近几年中考纵观近几年中考, ,题型题型包含选择题、填空题、解答题包含选择题、填空题、解答题. .在填空题、选择题里常常考的在填空题、选择题里常常考的是单独的一个知识点，如：圆周角、点与圆的位置关系、两圆

47、是单独的一个知识点，如：圆周角、点与圆的位置关系、两圆的位置关系、弧长的计算等的位置关系、弧长的计算等, ,解答题是稍微综合点的解答题是稍微综合点的, ,常常是几常常是几个知识点综合起来考个知识点综合起来考. .常考的有：切线的性质与判定常考的有：切线的性质与判定, ,垂径定理垂径定理或圆周角定理结合勾股定理或相似三角形来考或圆周角定理结合勾股定理或相似三角形来考. .1.(20121.(2012兰州中考兰州中考) )已知两圆的直径分别为已知两圆的直径分别为2 cm2 cm和和4 cm4 cm，圆心，圆心距为距为3 cm,3 cm,则这两个圆的位置关系是则这两个圆的位置关系是( )( )(A)

48、(A)相交相交 (B)(B)外切外切(C)(C)外离外离 (D)(D)内含内含【解析解析】选选B.B.两圆半径分别为两圆半径分别为1 cm1 cm和和2 cm,2 cm,圆心距等于两圆半径圆心距等于两圆半径之和，所以这两个圆外切之和，所以这两个圆外切. .2.(20122.(2012黄石中考黄石中考) )如图所示，直线如图所示，直线CDCD与以线段与以线段ABAB为直径的圆相切于点为直径的圆相切于点D D并交并交BABA的延长线于点的延长线于点C C，且，且AB=2AB=2，AD=AD=1 1，P P点在切线点在切线CDCD上移动上移动. .当当APBAPB的度的度数最大时数最大时,ABP,A

49、BP的度数为的度数为( )( )(A)15(A)15 (B)30 (B)30(C)60(C)60 (D)90 (D)90【解析解析】选选B.B.当当P P点运动到点点运动到点D D时时, ,此时此时APB=ADBAPB=ADB为最大角为最大角. .在在直角三角形直角三角形ABDABD中中,AB=2,AD=1,AB=2,AD=1,所以所以ABP=30ABP=30. .3.(20123.(2012临沂中考临沂中考) )如图，如图，ABAB是是O O的的直径，点直径，点E E为为BCBC的中点，的中点，AB=4AB=4，BEDBED=120=120，则图中阴影部分的面积之和，则图中阴影部分的面积之和

50、为为( )( )(A)1 (B) (A)1 (B) (C) (D)(C) (D)3232 3【解析解析】选选C.C.连结连结AEAE，ABAB是直径，是直径，AEB=90AEB=90，又又BED=120BED=120，AED=30AED=30，AOD=2AED=60AOD=2AED=60OA=ODOA=OD，AODAOD是等边三角形，是等边三角形，A=60A=60，点点E E为为BCBC的中点，的中点，AED=90AED=90，AB=ACAB=AC，ABCABC是等边三角形是等边三角形EDCEDC是等边三角形，边长是是等边三角形，边长是2 2BOE=EOD=60BOE=EOD=60， 和弦和弦

51、BEBE围成的部分的面积围成的部分的面积= = 和弦和弦DEDE围成的部分的面积围成的部分的面积阴影部分的面积阴影部分的面积= =故选故选C CBEDE2EDC3S2344.(20124.(2012南安中考南安中考) )用圆心角为用圆心角为120120，半径为，半径为6 cm6 cm的扇形做成的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为_cm._cm.【解析解析】把把n=120n=120,r=6,r=6代入代入 得得l=4;=4;所以圆锥的底所以圆锥的底面周长为面周长为4,4,则则4=2R,4=2R,所以所以R=2.R=2.答案：答案：2 2n r

52、180l5.(20125.(2012河南中考河南中考) )母线长为母线长为3,3,底面圆的直径为底面圆的直径为2 2的圆锥的侧面的圆锥的侧面积为积为_._.【解析解析】答案：答案：3311sr2 33 .22 l6.(20126.(2012荆门中考荆门中考) )如图，在直角坐标如图，在直角坐标系中，四边形系中，四边形OABCOABC是直角梯形，是直角梯形，BCOABCOA，P P分别与分别与OAOA，OCOC，BCBC相切于点相切于点E E，D D，B B，与与ABAB交于点交于点F F已知已知A(2A(2，0)0)，B(1B(1，2)2)，则则tanFDEtanFDE_【解析解析】连结连结B

53、E.BCOABE.BCOA，BEBE为为P P的直径的直径. .由由A(2A(2，0)0)，B(1B(1，2)2)，得，得BC=1BC=1，AO=2AO=2，BE=2BE=2，AE=2-1=1.AE=2-1=1.在直角三角形在直角三角形ABEABE中，中，tanFDEtanFDEtanABEtanABE答案：答案：AE1.BE2127. (20127. (2012株洲中考株洲中考) )如图，已知如图，已知ADAD为为O O的直径，的直径，B B为为ADAD延长线延长线上一点，上一点，BCBC与与O O切于切于C C点，点，A=30A=30. .求证：求证：(1)BD=CD(1)BD=CD； (2)(2)AOCAOCCDB.CDB.【证明证明】(1)AD(1)AD为为O O的直径，的直径， ACD=90ACD=90，又又A=30A=30，OA=OC=ODOA=OC=OD， ACO=30ACO=30，ODC=OCD=60ODC=OCD=60，又又BCBC与与O O切于切于C C，OCB=90OCB=90，BCD=30BCD=30，B=30B=30，BCD=BBCD=B，BD=CD.BD=CD.(2)A=ACO=BCD=B=30(2)A=ACO