相似三角形证明技巧(整理)

1、相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件:、两个三角形相似的六种图形:条件DEBC条件条件/1,广口条件四"口£条件乙如/D 条件AD是RtABC斜边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单;2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；LAa）已知一对等找另一角两角对应相等，两三角形相

2、似- A找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似J 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比找第三边也对应成比例 一三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角f斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似C）己知一个直 工找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2“、行至眄壬J找顶角对应相等 判定定理1 d）有等腰关L找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例-判定定理3e）相似形的传递性若&s念&s也则is公四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线

3、段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同 的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题 复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知：如图，AABC 中,CE !AB,BF 1AC.求证: AE _ ACAF - BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是RtAABC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F

4、, AC AE=AF AB吗？说明理由。分析方法:1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定” ？例3、已知：如图，9BC中，ZACB=90 0, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：CD2=DE DF。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定” ？五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1 :如图3, AABC中，AD平分/BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E,求证：DE2=BE CE.分析:求证:AB _ DFAC - AFG是DC2、等比过渡法（等比代换法）例2:如图4,在那BC中，/BAC=90 °, AD JBC

5、, E是AC的中点,AB的延长线于点F.3、等积过渡法（等积代换法）例3:如图5,在 "BC中，ZACB=90 °, CD是斜边 AB上的高,延长线上一点，过 B作BE1AG,垂足为E,交CD于点F.求证：CD2=DFDG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急、：等线等比来代替。同类练习:1 . 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ADE= 4（1题图）(2)AD AB=AE AC.2. 如图，4ABC中，点 DE在边BC上，且4ADE是等边三角形，/ BAC=120求证： （1） AADBs£ea；(2) DE2=B

6、D CE;(3)AB AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线上一点，ZD= ZECA.求证：AD EC=AC EB5 .如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点,EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG EF.求证：FM=CF.7.如图， ABC中，AB=AC,点D为BC边中点,6.如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM /BE交DE于M.CE AB,BE分别交 AD、AC于点F、G,连接FC.求证：（1） BF=CF.(2)BF 2=FG FE.8 .如图，8ABC=90 ,AD=DB,DE 1AB,求证：D

7、C2=DE DF.39 .如图，四边形 ABCD 中，AB CD,AB JBC,AC !BD。AD= BD ,过 E 作 EF /AB 交 AD 于 F.是说明：(1) AF=BE;(2)AF 2=AE EC.10. ZABC 中，ZBAC=90 ,AD JBC,E 为 AC 中点。求证：AB:AC=DF:AF 。11 .已知，CE是RT MBC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点P,连接AP,作BG必P,垂足为 G,交CE于点D.试证：CE2=ED EP.三点定形用相似，三点共线取平截; 两端各自找联系，可用射影和园哥.六、证比例式和等积式的方法:可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关

8、系;平行线，转比例，等线等比来代替;例1 如图5在2BC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF1AB于F,殳AC的延长线于 H, 交BE于G,求证：(1)FG / FA = FB / FH(2)FD是FG与FH的比例中项.例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE： EC=3: 1,Safbe=18,求：(1)BF： FD(2)S aFDA例3 如图7在4ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求:AN: AB的值；例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE幺C交AC于F ：过F作FG /AB交AE于G .求证：A

9、G 2=AF xFC例5 如图在4ABC中，D是BC边的中点，且AD = AC,DE!BC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1) 求证：AABCs/FCD； (2)若 Safcd=5, BC=10,求 DE 的长.例6 如图10过4ABC的顶点C任作一直线与边 AB及中线 AD分别殳于点F和E.过点D作DM /FC 交 AB 于点 M.若 Saaef： S 四边形 mdef=2： 3,求 AE: ED;(2)求证：AEXFB = 2AF>ED例7己知如图11在正方形 ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，AADP与劣CP相似?例8 己知如图12在梯形

10、ABCD中，AD/BC, ZA = 900, AB = 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB上确定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.例9.如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF BA , BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE PF。例10.如图，已知：在 ABC中，/BAC=900 , ADJBC, E是AC的中点,ED交AB的延长线于F。八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计

11、算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种:例1.如图，MBC的AB边和AC边上各取一点 D和E, BF BDF,求证： 二CF CEBA1 二F例2.如图，4ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取延长线相交十点 F,证明：AB DF=AC EF。例3、如图4 5, B为AC的中点，E为BD的中点，则例4、如图4-7,已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BC 于 F,若 AB=a , BC=b , BE=c ,求 BF 的长.（H斯Fi且使AD = AE , DE延长线与BC延长线相交于FaBD=CE , DE, BC 的D/ BC -三AF : AE=.BD交十。点，E为AB

12、延长线上一点， OE交FEA（一）、作平行线DF例5、那BC中，在 AC上截取 AD,在CB延长线上截取 BE,使 AD=BE ,求证：DF,AC=BC *FE例6:如图4ABC中，AD为中线，CF为任一直线， CF交AD于E,交AB于F,求证：AE : ED=2AF :FB。（二）、作延长线例7.如图，RtAABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点,AE的延长线交 BC于F, FG_LAB于G,求证：FG2=CFBFAF例8.如图4-1 ,已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，1二一 AD3 ，连E、F交AC于G.求AG:AC的值.（三）、作中线例 10: 已知：如图， ABC 中

13、，AB=AC, BD1AC 于 D.求证：BC2 = 2CDAC.中考综合题型1 .已知：如图，在 MBC中，AB = AC,/A =36*BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2 =DC AC .2 .如图，矩形 ABCD中，AD =3厘米，AB=a厘米(a >3) .动点M, N同时从B点出发，分另1J沿Bt A, Bt C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q .当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1)若a =4厘米，t =1秒，则PM =厘米；(2)若a =5厘米，求时间t,使PNBspad ,并求出它们

14、的相似比;3.如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s ,点Q运动的速度是2cm/s ,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 t (s),解答下列问题：(1)当t=2时，判断4BPQ的形状，并说明理由；(2)设4BPQ的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；4 .如图(10)所示：等边4ABC中，线段AD为其内角角平分线，过 D点的直线BiCiAC于Ci交AB的延长线于Bi.请你探究：AB嘿，4=DD是否都成立? AC CD请你继续探究：若 ABC为任意三角形，线段 AD为

15、其内角角平分线，请问 七=不一定成立吗?AB DB并证明你的判断.图125 .如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形 ABCO为矩形，AB=16,点D 与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段 AD、AC上的动点(点 E不与点A、D重合)， 且/CEF=/ACB.(1)求AC的长和点D的坐标；(2)说明4AEF与4DCE相似；6 .如图，在RtMBC中，ZB=90 ,AB=1, BC=-,以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D;以点A为圆心，AD为半径的弧交 AB于点E.(1)求AE的长度；(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点

16、F (F与C在AB两侧)，连接AF、EF,设EF交弧DE所在的圆于点 G,连接AG,试猜想/ EAG的大小，并说明理AGED由.7.如图（1） , 4ABC与4EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9 , / BAC= / DEF= 90 °,固定ABC,将EFD绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G、H点，如图（2）.（1）问：始终与 4AGC相似的三角形有 及;（2）设CG = x, BH = y,求y关于x的函数关系式（只要求根据 2的情况说明

17、理由）；广7zVRC （此BE 图 图9 . （1）如图1,在4ABC中，点D, E, Q分别在AB, AC, BC上，证：DP=PE.BQ QC（2）如图，在 ABC中，/BAC=90°,止方形 DEFG的四个顶点在交DE于M, N两点.如图2,若AB=AC=1 ,直接写出 MN的长；1B10 .如图，在 ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足 AD = AB, /ADE = /C.（1）求证：/AED = /ADC, /DEC=/B;且DE / BC, AQ交DE于点P,求 ABC的边上，连接AG, AF分别3/WQc B G FCS(l)图(2)A AxBDC(2

18、)求证：AB2=AE?AC.(第25题)12.如图，在4ABC 中，/C=90° ,AC=8 , BC=6 . P 是 AB 边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为 M、N.设 AP=x .在ZABC 中，AB=;(2)当x= 时，矩形 PMCN的周长是14;(3)是否存在x的值，使得4PAM的面积、4BN的面积与矩形 PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明.14 .如图1,在RtMBC中，/BAC=90° , AD, BC于点D ,点O是.AC边上一 点，,如接BO交AD于F , OE1BO 交BC边于点E .(1)求证：AB

19、Fs/XCOE；(3)当。为AC边中点，2C=n时，请直接写出OF的值.ABOE16 .如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,zdme = za=zb= "且DM交AC于F, ME交BC于G .(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对;求FG的长.(2)连结 FG,如果 “=45° ,AB=4亚，AF = 3,19.正方形ABCD边长为4, M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直,(1)证明：RtAABM s RtAMCN ;(2)设BM =x，梯形ABCN的面积为y ,求y与x之间的函数关系式；20.如图， ABC中，D

20、、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于G .求证:GE GD 1CE - AD - 315 .已知 /ABC=90AB=2 , BC=3 , AD /BC下为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQ _ ADPC AB(3)当M点运动到什么位置时 RtAABM c/d RtAAMN ,求x的值.(如图8所示)(1)当AD=2 ,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段 PC的长；3(2)在图8中，联结AP .当AD =一，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x,2S一APQ=y,其中SzXAPQ表布"PQ的面积，SAPBC表木4PBC的面积，求y关于x的函数解析

21、式，并 S*A PBC写出自变量的取值范围;17 .如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6) , C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 汽度得到四边形 OA'BC',此时直线OA、直线BC'分别与直线BC相交于点P、Q.(1)四边形 OABC的形状是BP 当0(=90°时，的值是BQBP .(2)如图2,当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求 的值;BQ如图3,当四边形OABC'的顶点B'落在直戈BC上时，求 OPB'的面积.A C B*18 .如图，在矩形

22、ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设 AP= x ,现将纸片折叠，使点 D与点P重合，得折痕EF (点再将纸片还原。(1)当x=0时，折痕边的交点)，当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .;(2)请写出使四边形 EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当 x=2时菱形的边长;相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析、相似三角形（1）三角形相似的条件:斜边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条

23、件最简单;2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；a）已知一对等找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似L 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比 y找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角f斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似C）己知一个直找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2d）有等腰关1找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例一判定定理3e）相似形的传递性若&s念

24、&s也则Ais公四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线,复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知：如图，AABC 中,CE !AB,BF 1AC.求证: AE ACAF - BA（判断“

25、横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是RtAABC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F, AC AE=AF AB吗？说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定” ？例3、已知：如图，9BC中，ZACB=90 0, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：CD2=DE DF。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定” ？五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.3、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式

26、中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1 :如图3, AABC中，AD平分/BAC , AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2 =BE CE.分析:4、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥，

27、也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2:如图4,在 那BC中，/BAC=90 °, AD JBC , E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证:ABDFAC AFAC3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3:如图5,在9BC中，/ACB=90 °, CD是斜

28、边 AB上的高，G是DC延长线上一点，过 B作BE 1AG ,垂足为E,交CD于点F.求证：CD2=DFDG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急、：等线等比来代替。同类练习：1 . 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ADE= 4(2)AD AB=AE AC.求证：（1） AADEs/ACB；（1题图）（2题图）2.如图，4ABC中，点DE在边BC上，1.AADE是等边三角形，/ BAC=120求证： （1） AADBs£ea；（2） DE2=BD CE;（3）AB AC=AD BC.3. 如图， 平行四边形 ABCD中，E为BA延长线

29、上一点，ZD= ZECA.求证：AD EC=AC EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4 . 如图，AD为祥BC中/BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD2=FC FB。（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）5 .如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）6 .如图，E是正方形 ABCD边BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM /BE交DE于M.求证：FM=CF.也可

30、应用于线段相等的证明。 此题用等比替代（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式， 可以解决。）7 .如图，4ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE AB,BE分别交 AD、AC于点F、G,连接FC.求证：（1） BF=CF.(2)BF 2=FG FE.（练习题图）8 .如图，8ABC=90 ,AD=DB,DE 1AB,求证：DC2=DE DF.39 .如图，ABCD 为直角梯形， AB CD,AB JBC,AC !BD。AD= BD ,过 E 作 EF AB 交 AD 于 F.是说明：(1) AF=BE;(2)AF 2=AE EC.10 . ZABC 中，ZBAC=90 ,AD

31、JBC,E 为 AC 中点。求证：AB:AC=DF:AF 。11 .已知，CE是RT MBC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BG 1AP,垂足为 G,交CE于点D.试证：CE2=ED EP.（注：此题要用到等积替代，将CE2用射影定理替代，再化成比例式。）六、证比例式和等积式的方法:对线段比例式或等积式的证明：常用 土点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比

32、例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园哥.例1 如图5在外BC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF1AB于F,文AC的延长线于 H, 交BE于G,求证：（1）FG / FA = FB / FH（2）FD是FG与FH的比例中项.1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中,或横着找三点，或竖着找三点 ），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找 等比代换例2 如图6, CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE： EC=3: 1,Safbe= 18 ,求：(1)BF: FD(2)S afda2

33、说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由 平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.例3 如图7在4ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN: AB的值；3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4 如图8在矩形 ABCD中，E是CD的中点，BE 1AC交AC于F,过F作FG AB交AE于G.求证：AG 2=AF >C

34、4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用土点定形法”确定要证明的两个三角形相似.、例5 如图在4ABC中，D是BC边的中点，且AD = AC,DE!BC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1)求证：AABCs/FCD； (2)若 Safcd=5, BC=10,求 DE 的长.5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6 如图10过小BC的顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别殳十点F和E.过点D作DM /FC 交 AB 于点 M.若 S/xaef： S

35、四边形 mdef=2： 3,求 AE: ED;(2)求证：AEXFB = 2AF>ED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，AADP与劣CP相似?7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABCD中，AD/BC, ZA = 900, AB = 7, AD = 2, BC = 3.试在边 AB

36、上确定点P的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.P所在的位置.本题有多个8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点位置，应注意计算，严防漏解.例11 .如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF BA , BF交AD于P点，交 AC于E点。求证：BP 2=PE PF。11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC , 口是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结 PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC ,只需证明 PEC

37、s/PCF ,问题就能解决了。例12.如图，已知：在 ABC中，/BAC=900 , AD JBC , E是AC的中点,ED交AB的延长线于F。求证：内已行。12分析：比例式左边 AB, AC在那BC中，右边DF、AF在9DF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。七、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已 知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。八、相似

38、三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：（一）、作平行线例1.如图，MBC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD=AE , DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BFBDCFCE例2.如图,AB DF=ACB8 ABC中，AB<AC，在 AB、AC上分别截取 BD=CE , DE , BC的延长线相交于点 F,证明:EF。B例3、如图4 5, B为AC的中点，E为BD的中点，则 AF : AE=例4、如图4-7,已知平行四边形

39、ABCD中，对角线 AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC 于 F,若 AB=a , BC=b , BE=c ,求 BF 的长.例5、那BC中，在 AC上截取 AD,在CB延长线上截取 BE,使 AD=BE ,求证：DF,AC=BCFE例6:如图4ABC中，AD为中线，CF为任一直线， CF交AD于E,交AB于F,求证：AE : ED=2AF :FB。（二）、作延长线 例7.如图，Rt A ABC中，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于F, FG _L AB于 G ,求证：FG 2 =CF *BF1AF = AD例8.如图4-1 ,已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G .求AG :AC的值.（三）、作中线例 10: 已知：如图， ABC 中，AB=AC, BD1AC 于 D.求证：BC2 = 2CDAC.中考综合题型1 .已知：如图，在 MBC中，AB = AC,/A =36©BD是角平分线，试利用三角