傅里叶分析及其应用

1、题目：傅里叶分析及其应用 答辩人：黄昶昊 班级：08110801 学号：0811080116 指导教师：刘芳 目 次第一章 绪论第二章 傅里叶分析的产生与发展第三章 傅里叶变换第四章 在偏微分方程中的应用 结论第一章 绪论 傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学发展史上，虽然早在18世纪初期，就有关三角级数的论述已在D.Bernoulli，DAlembert，L.Euler等人的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家Fourier迈出的，他在著作热的解析理论中，系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。 此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以

2、及Jordan等都曾从事于这一领域的研究，不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶分析的应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种振动，行星运动，波动与通讯等）不可缺少的工具。第一章 绪论结构安排傅里叶分析的产生傅里叶分析的发展傅里叶变换的定义傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的主要类型傅里叶变换应用于波动方程傅里叶变换应用于非线性偏微分方程结论第二章 傅里叶分析的产生法国科学家傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事着热传导的研究。1807年向巴黎科学院呈交的题为热的解析理论在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从

3、而提出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法第二章 傅里叶分析的产生01(cossin)2kkkaakx bkxikxkkc e 实型三角级数，其中 ， ， 是实数列0aka(0,1,2,)kb k 复型三角级数，其中 是复数列(0, 1, 2, )kc k 1,cos ,sin ,cos,sin,xxkxkx三角函数系(0, 1, 2,)ikxek 三角函数系（复数形式）第二章 傅里叶分析的产生01( )=(cossin)2kkkaf xakx bkx实型Fourier级数1( )cos, 0,1,2,kaf xkxdx k1( )sin, 1,2,kbf xkxdxk实型Fourier级

4、数的系数由公式决定( )=ikxkkf xc e复型Fourier级数1( )( )2ikxkkccff x edx复型Fourier级数的系数由公式决定第二章 傅里叶分析的发展早期发展概况狄利克雷是历史上第一个给出函数 的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家未得到严格的数学论证傅里叶提出任意函数可以用级数表示( )fxDirichlet-Jordan判别法黎曼在用三角级数来表示函数的论文中，为了使更广的一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地提出了现在称之为黎曼积分的概念及其性质。对傅里叶系数的积分求解有重要意义第二章 傅里叶分析的发展近代以来的发展概况Lebesgue（勒贝格）积分

5、理论发散级数的求和理论推进了黎曼的工作Fejer（费耶尔）求法Luzin(卢津)猜想Lebesgue积分Lebesgue测度新的求和方法重要的进展复变函数论方法经典的 空间概念pH傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系第二章 傅里叶分析的发展近代以来的发展概况极大函数50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广考尔德伦赞格蒙奇异积分理论满足偏微分方程等许多数学分支发展的需要标志了傅里叶分析进入了一个新的历史时期研究一类相当广泛的奇异积分算子0()( ) lim( )x yx yTf xf y dyx y 第三章 傅里叶变换傅里叶变换的基本定义 考虑定义在 的函数，设 称：为 的F

6、ourier变换。同时、称为 的Fourier积分。(, ) ( )fLR2( )( )ixtf tf x edxff2( )ixtf t edt第三章 傅里叶变换傅里叶变换的基本性质（1）线性：傅里叶变换是一种线性运算。1122( )() ( )()f tF jf tF j1212( )( )()()af tbf taF jbF j即其中a,b均为常数，其证明只需要根据傅里叶变换的定义既可以得出。第三章 傅里叶变换傅里叶变换的基本性质（2）奇偶虚实性：( )( )f tF则( )()ftF （3）对称性：( )( ) f tF则( )2()F tf （4）尺度变换性：( )( )f tF则1

7、( )( )f atFaa第三章 傅里叶变换傅里叶变换的主要类型第三章 傅里叶变换连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是连续傅立叶变换。连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。不严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。离散傅里叶变换 离散时间傅里叶变换是傅里叶变换的一种。它将以离散时间 （其中 ，为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号） 变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱 ，值得注意的是这一频谱是周期的。nTnZ ZT()f nT()iwF e第三章 傅里叶变换快速傅里叶变换 由于加法运算

8、通常比乘法运算快，所以快速算法的思想就是要尽量减少乘法运算。例如ab+ac=a(b+c)，用左式计算要做两次乘法，而用右式计算则只要做一次乘法。101, 0,1,1NknnkNkaA WnNN由上式计算 时，对每个确定的n，要做N次乘法，总共要做 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同的项合并），当 时，就可以把乘法总数由 减少到 。当数很大时，计算速度明显提高。这种“快速傅里叶变换”的算法是1965年由Cooley-Tukey提出的na2N2mN2N2ln2NN第三章 傅里叶变换傅里叶变换数字信号处理图像处理密码学偏微分方程经济学光学仪器第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用波动方程

9、 波动方程或称波方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简可表达为：关于位置 和时间 的标量函数满足222( , )ucuf x tt 求解波动方程柯西问题的通解首先限制所涉及的函数都来自一个特定的空间()dS R()():sup()( ),dddx RS RfCRxf xx 考虑d-维波动方程的Cauchy(柯西)问题：22( ,0)( ) ,()( ,0)( )dtuutu xf xf gS Ru xg x其中

10、第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用求解波动方程柯西问题的通解 假设 为该波动方程Cauchy问题的解。我们使用的技巧是对空间变量 作Fourier变换，降低求解的难度。u1,dxx 利用Fourier变换的求导性质，对原偏微分方程两端做定义为2( )( ),dixdRff x edxR 的Fourier变换，得到关于 的一个常微分方程，易得通解为：t( , )( )cos(2)( )sin(2)utAtBt 其中 ， 是由初始条件决定的关于 的函数。( )A( )B第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用求解波动方程柯西问题的通解再对初始条件进行Fourier变换，得到：

11、在对上式关于 作Fourier逆变换，得到：(2)( , )( )cos(2)( )2tutftg 2(2)( , )( )cos(2)( )2dixRtu x tftged 之后验证，通过Fourier变换、Fourier逆变换所得的解确实为原方程的解，即解满足波动方程，亦满足初始条件第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用实例，1-维波动方程柯西问题1-维的波动方程Cauchy问题可以表示为：2222( ,0)( ) ( ,0)( )tuuxtu xf xuxg x利用上面解出的通式，可以获得解得表达式：2sin(2)( , )( )cos(2)( )2ixtu xtftged 第

12、四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用实例，1-维波动方程柯西问题利用化简，得：221cos(2)()2itittee 22sin(2)1()24i ti tteei 11( , )( ()()( )22x tx tuxtf x tf x tg ydy 即为DAlembert公式。第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用非线性偏微分方程简述 所谓的非线性偏微分方程，是指在偏微分方程中含有未知函数和（或）未知函数导数的高次项，而不能写成如下线性形式（以两个自变量的二阶线性微分方程为例）的微分方程。( , )2 ( , )( , ) ( , )( , )( , )( , )xxxy

13、yyxyAx yuBx yuCx yuDx yuEx yuF x yu f x y主要类型完全非线性半线性方程拟线性方程第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用求解原理 以非线性薛定谔方程为例，非线性薛定谔方程在 （1+1）维可写为：2222uiui uuzx假设其解的形式为:( , )( )i zu x zNU x e则方程可化为:2222102UUN U Ux傅里叶变换傅里叶逆变换( )( )itxF tf x edx( )( )itxf xF t e dt第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用求解原理对方程两边同时对 x 做傅里叶变换，可得：22221()02itxit

14、xUUN U U e dxe dxx应用傅里叶变换的微分性质,可得：222()( )2itxNUU edxF tt222( )2( )itxitxtNU U edxF t e dtb xU第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用数值模拟 利用快速傅里叶变化的方法，设试探解为高斯函数: 首先模拟N=1的解，这种情况的解析解为：22xUNe1( )sec ( ),2U xh x第四章 在偏微分方程中的应用在偏微分方程中的应用从左上小图中可以明显看出解析解和数值解两条曲线基本重合；右上小图显示横向上各点的传播常数 ；下方小图显示迭代次数与误差的变化，可以看出当迭代次数大于20次后随迭代次数增

15、加，误差在不断缩小，并趋近于0。当N=1.5时，左上小图显示孤子解与解析解相吻合，右上小图表示传播常数也与解析解的传播常数基本相一致；下方小图显示迭代次数与误差的变化，可以看出随迭代次数增加，误差在不断缩小，并趋近于0。当N=2时，左上小图显示孤子解与解析解相吻合，右上小图传播常数也与解析解的传播常数 ；下方小图显示迭代次数与误差的变化，可以看出随迭代次数增加，误差在不断缩小，并趋近于0。第四章 傅里叶分析在偏微分方程中的应用傅里叶分析在偏微分方程中的应用 由于技术问题N2时,无法用matlab显示出，目前还不清楚原因。综上所述，应用傅里叶变换得到了一种比较简单的迭代方法，而其数值模拟结果也显示解析解和数值解基本吻合，结果也能比较快速的收敛并且随着维数的增加迭代次数也在减少。结论 对于Fourier分析的意义和作用，应当给予相当高度的评价。Fourier分析随着在自身领域的不断发展，同时，也影响着其他广阔的学科领域，从另一个角度看，也是对