实用数值计算方法-3-插值法_

1、计计 算算 方方 法法授课老师：聂德明 仰仪北楼606计量测试工程学院计量测试工程学院Numerical Method3 插值方法插值方法问题的提出问题的提出拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式分段线性插值分段线性插值约瑟夫约瑟夫路易斯路易斯拉格朗日，拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange，1736年年1月月25日日1813年年4月月10日日)，是是法国法国籍籍意大利意大利裔裔数学家数学家和和天文学家天文学家。拉格朗日一生才华横溢，在拉格朗日一生才华横溢，在数学数学、物理物理和和天文天文等领域做出了很多重大的等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的贡献。他的成就包括著名的

2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，创立了创立了拉格朗日力学拉格朗日力学等等。等等。xyxixi+1xmyi = f(xi)p(x) f(x)yi+1yiy = p(x)y = f(x)3.1 代数插值问题代数插值问题 012012nnxxxxxyyyyyy = f (x) y=P(x)y=P(x)已知某个函数关系已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值： y yk k=P(x=P(xk k),),k=0,1,nk=0,1,n 插值函数插值函数插值条件插值条件常用的方法：常用的方法：P(x)为多项式为多项式Pn(x) 2012( )nnnP xaa xa

3、xa xPn(x) n次插值多项式次插值多项式（1）n=1 : P1 (x) = a0 + a1x （2）n=2 : P2 (x) = a0 + a1x + a2x2 线性插值线性插值抛物插值抛物插值定理定理3.1(3.1(插值多项式存在的唯一性插值多项式存在的唯一性) )满足条件满足条件Pn(xj ) = yj (j=0,1n)的的n次多项式次多项式是存在而且唯一的。是存在而且唯一的。2012( )nnnP xaa xa xa x插值条件插值条件()0,1,njjP xyjn0010001 11101111nnnnnnnnnax ax ayax ax ayax ax ay 方程组的系数行列式

4、为方程组的系数行列式为 200021110211()01nnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx Pn(x)由由a0 , a1 , an 唯一确定唯一确定 一、线性插值一、线性插值 (x0, y0)(x1 , y1)x0 x1y=f(x)P1(x) =a0 + a1x P1(x)a0 + a1x0 = y0 a0 + a1x1 = y1 100110011010 x yx yyyaaxxxx011010110( )xxxxP xyyxxxx3.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 011010110( )xxxxP xyyxxxx一、线性插值一、线性插值 01010110( )(

5、 )xxxxl xl xxxxx10011( )( )( )P xl x yl x y0001()1()0lxlx1011()0( )1l xl x基本插值多项式基本插值多项式例：求例：求115 （ 10.723805）011010110( )xxxxP xyyxxxx一、线性插值一、线性插值 22012( )P xaa xa xx0 x2x1y=f(x)P2(x)2( ),0,1, 2iiP xyi10011( )( )( )P xl x yl x y2001122( )( )( )( )P xl x yl x yl x y000102101112202122()1()0()0()0()1(

6、)0()0()0()1lxlxlxl xl xl xlxlxlx1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx二、抛物插值二、抛物插值 2001122( )( )( )( )P xl x yl x yl x y1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx二、抛物线插值二、抛物线插值 例：求例：求115 （x* = 10.723805）2(1

7、15 121)(115 144)115(115)10(100 121)(100 144)(115 100)(115 144)11(121 100)(121 144)(115 100)(115 121)12(144 100)(144 121)10.7228P二、抛物线插值二、抛物线插值 三、三、 n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 012012nnxxxxxyyyyy2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0,1, 2.niiP xyin1( )0kikilxki0( )( )nnk kkP xy lx011101110()()()()()( )()()()()()kknk

8、kkkkkkknnjjkjj kxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx000( )( )nnnjnkkkkkjkjj kxxP xlx yyxx 000( )( )nnnjkkkkkjjj knkxxlx yyxxL x 012( ), ( ), ( ),.,( )nlx l x lxlx插值基函数01010110( )( )xxxxl xl xxxxx1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx例子（二次、三次）例子（二次、三次） 0101xxxyyy012012xxxxyyyy四、拉格朗日插值多项式插值余项四、拉格朗日插值多项式插值余项( )( )( )nnR xf xL x定理定理3.2设设f(n)(x)在区间在区间a, b上连续，上连续，f(n+1)(x)在在a, b上存在，上存在，x0, x1, xn是是a, b上互异的数，上互异的数，Ln(x)是满足插值条件是满足插值条件Ln(xj )=yj (j=0,1,n)的的n次插值多项式，则对任意次插值多项式，则对任意x a,b，插值余项，插值余