食饵捕食者模型

1、食饵捕食者模型摘要自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲为食饵，种群乙为捕食者，二者共处组成食饵捕食者系统（简称系统）。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。关键词食饵捕食者，模型，生态学，规律。问题重述讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正

2、确性。模型建立种群甲（食饵）靠丰富的自然资源生长，而种群乙（捕食者）靠捕食种群甲为生，食饵（甲）和捕食者（乙）在时刻的数量分别记为，是甲的固有增长率，种群甲和乙的最大容量分别为、。数量的演变均遵从规律。于是对种群甲有其中因子反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，可解释为相对于而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物总量为1）。当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理的在因子中再减去一项，该项与种群乙的数量（相对于而言）成正比，于是得到种群甲增长的方程为 （1）这里的意义是：单位数量乙（相对于而言）消耗的供养甲的食物量为

3、单位数量甲（相对）消耗的供养甲的食物量的倍。类似的，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙没有甲的存在会死亡，设其死亡率为，甲为乙提供食物，甲对乙的增长起到了促进作用，乙的增长又会受到自身的阻滞作用，于是得到种群乙增长的方程为 （2）其中：反映食饵对捕食者的供养能力。稳定性分析为了研究种群甲、乙的结局，即时，、的趋向，需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程（1）、（2）解代数方程组 （3）得到4个平衡点：，。按照判断平衡点稳定性的方法计算 将4个平衡点，的结果及稳定条件列入下表1.平衡点稳定条件不稳定不稳定表1 种群甲、乙的平衡点及稳定性上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析：“若，则平衡点

4、稳定；若或，则平衡点不稳定”可以得到，且平衡点要在第一象限。在代数方程（3）中记对于，的不同取值范围，直线和在相平面上的相对位置不同。O.O.模型计算与验证数值解：记食饵和捕食者的初始数量分别为， （4）为求微分方程（1）、（2）及初始条件（4）的数值解，（并作图）及相轨线，把用代替，设，则有，。MATLAB代码为：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=

5、0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0)>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,相轨线的图形，时，数值解，的图形。设，则有，。MATLAB代码为：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*

6、x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid, ，时，数值解，的图形。相轨线的图形设，则有，。MATLAB代码为：function xdot=shier(t,x)r=

7、1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，时

8、，数值解，的图形。相轨线的图形设，则有，。MATLAB代码为：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，时，数值解，的图形。相轨线的图形模型解释根据模型中与1的大小关系（与1的大小关系定了，与与1的大小关系无关，即点，的稳定性由与1的大小关系决定），说明，两稳定点在生态学上的意义。当时，点稳定，因食饵不能为捕食者提供足够食物，即捕食者灭绝，而食饵趋向最大容量；当时，点稳定，这时食饵与捕食者的数量随时间的增加趋于各自的极限值，而趋于生态平衡，时间足够长之后，食饵与捕食者将保持自己的数量不会有大的变化。参考文