黄金分割法进退法原理及流程图

1、1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于a，b区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间a，b内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。（2） 黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的

2、极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间a,b内搜索极小点*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数6，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间7。具体步骤是：在区间a,b内取点：a1 ，a2 把a,b分为

3、三段。如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果(b-a)/b和(y1-y2)/y2都大于收敛精度重新开始。因为a,b为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区a,b逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图所示， （3） 程序流程如下：4 实验所编程序框图开始r=0.618给定a=-3,b=5,收敛精

4、度=0.001结束a*=(a+b)/2a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)b=a2a2=a1 y2=y1a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)a=a1a1=a2 y1=y2y1>=y2a1=b-r*(b-a) y1=f(a1)a2=a+r*(b-a) y2=f(a2)否是(b-a)/b<和 （y2-y1）/y2<?否是#include math.h #include stdio.h #define f(x) x*x+2*xdouble calc(double *a,double *b,double e,int *n) double x1,x2,s; if(fabs(*b

5、-*a)<=e) s=f(*b+*a)/2); else x1=*b-0.618*(*b-*a); x2=*a+0.618*(*b-*a); if(f(x1)>f(x2) *a=x1; else *b=x2; *n=*n+1; s=calc(a,b,e,n); return s; main() double s,a,b,e; int n=0; scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=calc(&a,&b,e,&n); printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%dn

6、",a,b,s,n); 5 程序运行结果如下图：2进退法 （1）算法原理进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：为单谷函数（只有一个极值点），且为其极小值点的一个搜索区间，对于任意，如果，则为极小值的搜索区间，如果，则为极小值的搜索区间。因此，在给定初始点，及初始搜索步长的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算。（1） 如果则可知搜索区间为，其中待求，为确定，后退一步计算，为缩小系数，且，直接找到合适的，使得，从而确定搜索区间。（2） 如果则可知搜索区间为，其中待求，为确定，前进一步计算，为放大系数，且，知道找到合适的，使得，从而确定搜索区间。进退法求极

7、值基本思想： 对f(x)任选一个初始点x1及初始步长h0， 通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为 “高低高” 形态。算法原理1.试探搜索： 选定初始点x1, x2= x1+ h0，计算 y1f(x1)， y2f(x2) （a）如y1>y2,转2向右前进； （b）如y1<y2, 转3向左后退；图8.12.前进搜索 加大步长 h2 h ，产生新点x3= x2+ 2h0 ；（a）如y2<y3，则函数在x1，x3内必有极小点，令a= x1，b= x3搜索区间为a，b ；(b)如y2>y3， 令x1=x2 ，y1=y2 ； x2=x3 ，

8、y2=y3 ； h=2h 重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2<y3。 图8.23.后退搜索 令 h-h0 ，令x3=x1 ，y3=y1 ；x1=x2 ，y1=y2 ；x2=x3 ，y2=y3 ；h=2h；产生新点x3= x2+ h ； （a）如y2<y3，则函数在x1，x3内必有极小点，令a= x3，b= x1，搜索区间为a，b （b）如y2>y3， 令x1=x2 ，y1=y2 ； x2=x3 ，y2=y3 ；h=2h重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2<y3。令a= x1，b= x3，搜索区间为a，b ； 图8.3（2

9、）算法步骤用进退法求一维无约束问题的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：（1） 给定初始点，初始步长，令，；（2） 令，置；（3） 若，则转步骤（4），否则转步骤（5）；（4） 令，令，转步骤（2）；（5） 若，则转步骤（6）否则转步骤（7）；（6） 令，转步骤（2）；（7） 令，停止计算，极小值点包含于区间（3）算法的MATLAB实现在MATLAB中编程实现的进退函数为：功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：其中，：目标函数； ：初始点； ：初始步长； ：精度； ：目标函数取包含极值的区间左端点； ：目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB程序代码如下：function minx,maxx=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h0;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点:minx;%目标函数取包含极值的区间又端点:maxx;format long;if nargin=3 eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1 x4=x1+h; %试探步 k=k+1; f4=subs(f,findsym(f),x4); f1=subs(f,findsym(f),x1); if f4<f1 x2=x1; x1=x4; f2=