高中数学选修全套知识点及练习答案解析

1、选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若(c为常数)，则； 2 若,则;3 若,则 4 若,则;5 若,则 6 若,则7 若,则 8 若,则导数的运算法则1. 2. 3. 复合函数求导

2、 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;4.函数的最大(小)值与导数 求函数在上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数在内的极值；（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一

3、 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似

4、性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。考点三 证明1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:数系的扩充和复数的概念复数的概念(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚

5、数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设则（1） （2） （3） 2,几个重要的结论(1) (2) (3)若为虚数,则3.运算律(1) ;(2) ;(3)4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1） （2） （3） （2）练习一组一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量x

6、在x0处的增量x()A大于零B小于零C等于零 D不等于零答案D解析x可正，可负，但不为0，故应选D.2设函数yf(x)，当自变量x由x0变化到x0x时，函数的改变量y为()Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)·x Df(x0x)f(x0)答案D解析由定义，函数值的改变量yf(x0x)f(x0)，故应选D.3已知函数f(x)x2x，则f(x)从1到0.9的平均变化率为()A3 B0.29C2.09 D2.9答案D解析f(1)(1)2(1)2.f(0.9)(0.9)2(0.9)1.71.平均变化率为2.9，故应选D.4已知函数f(x)x24上两点A，B，xA1，xB1.3，则直线A

7、B的斜率为()A2 B2.3C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kAB2.3，故应选B.5已知函数f(x)x22x，函数f(x)从2到2x的平均变化率为()A2x B2xC2x D(x)22·x答案B解析f(2)222×20，f(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，2x，故应选B.6已知函数yx21的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则等于()A2 B2xC2x D2(x)2答案C解析2x.故应选C.7质点运动规律S(t)t23，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A6.3 B36.3C3.3 D9.3答案A解析S(3)12

8、，S(3.3)13.89，平均速度6.3，故应选A.8在x1附近，取x0.3，在四个函数yx、yx2、yx3、y中，平均变化率最大的是()ABCD答案B解析x0.3时，yx在x1附近的平均变化率k11；yx2在x1附近的平均变化率k22x2.3；yx3在x1附近的平均变化率k333x(x)23.99；y在x1附近的平均变化率k4.k3k2k1k4，故应选B.9物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数ss(t)，则物体在时间间隔t0，t0t内的平均速度是()Av0 B.C. D.答案C解析由平均变化率的概念知C正确，故应选C.10已知曲线yx2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的

9、一点，则点Q的坐标为()A. B.C. D.答案C解析点Q的横坐标应为1x，所以其纵坐标为f(1x)(x1)2，故应选C.二、填空题11已知函数yx32，当x2时，_.答案(x)26x12解析(x)26x12.12在x2附近，x时，函数y的平均变化率为_答案解析.13函数y在x1附近，当x时的平均变化率为_答案2解析2.14已知曲线yx21上两点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是_；当x0.1时，割线AB的斜率是_答案54.1解析当x1时，割线AB的斜率k15.当x0.1时，割线AB的斜率k24.1.三、解答题15已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间3，

10、1，0,5上函数f(x)及g(x)的平均变化率解析函数f(x)在3，1上的平均变化率为2.函数f(x)在0,5上的平均变化率为2.函数g(x)在3，1上的平均变化率为2.函数g(x)在0,5上的平均变化率为2.16过曲线f(x)的图象上两点A(1,2)，B(1x,2y)作曲线的割线AB，求出当x时割线的斜率解析割线AB的斜率k.17求函数yx2在x1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解析在x2附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.对任意x有，k1k2k3，在x3附近的平均变化率最大18路灯距地面8m，一个身高为1.

11、6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率解析(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CDBE，则，即，所以yf(x)x.(2)84m/min1.4m/s，在0,10内自变量的增量为x2x11.4×101.4×014，f(x2)f(x1)×14×0.所以.即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.练习二组一、选择题1函数在某一点的导数是()A在该点的函数值的增量与自

12、变量的增量的比B一个函数C一个常数，不是变数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案C解析由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.2如果质点A按照规律s3t2运动，则在t03时的瞬时速度为()A6B18C54D81答案B解析s(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)23·3218t3(t)2183t.当t0时，18，故应选B.3yx2在x1处的导数为()A2xB2C2x D1答案B解析f(x)x2，x1，yf(1x)2f(1)(1x)212·x(x)22x当x0时，2f(1)2，故应选B.4一质点做直线运动，若它所经过的路程与

13、时间的关系为s(t)4t23(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t5时的瞬时速度为()A37B38C39D40答案D解析404t，s(5)li li (404t)40.故应选D.5已知函数yf(x)，那么下列说法错误的是()Ayf(x0x)f(x0)叫做函数值的增量B.叫做函数在x0到x0x之间的平均变化率Cf(x)在x0处的导数记为yDf(x)在x0处的导数记为f(x0)答案C解析由导数的定义可知C错误故应选C.6函数f(x)在xx0处的导数可表示为y|xx0，即()Af(x0)f(x0x)f(x0)Bf(x0)lif(x0x)f(x0)Cf(x0)Df(x0)li 答案D解析由导数的定

14、义知D正确故应选D.7函数yax2bxc(a0，a，b，c为常数)在x2时的瞬时变化率等于()A4a B2abCb D4ab答案D解析4abax，y|x2li li (4aba·x)4ab.故应选D.8如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A圆 B抛物线C椭圆 D直线答案D解析当f(x)b时，f(x)0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度为()A0 B3C2 D32t答案B解析3t，s(0)li 3.故应选B.10设f(x)，则li 等于()A B.C D.答案C解析li li li li

15、.二、填空题11已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则li_；li _.答案11，解析li li f(x0)11；li li f(x0).12函数yx在x1处的导数是_答案0解析yx1，.y|x1li 0.13已知函数f(x)ax4，若f(2)2，则a等于_答案2解析a，f(1)li a.a2.14已知f(x0)li ，f(3)2，f(3)2，则li 的值是_答案8解析li li li .由于f(3)2，上式可化为li 3li 23×(2)8.三、解答题15设f(x)x2，求f(x0)，f(1)，f(2)解析由导数定义有f(x0)li li li 2x0，16枪弹在枪筒中运动可

16、以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度解析位移公式为sat2sa(t0t)2atat0ta(t)2at0at，li li at0，已知a5.0×105m/s2，t01.6×103s，at0800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17 在曲线yf(x)x23的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求(1)(2)f(1)解析(1)2x.(2)f(1) (2x)2.18函数f(x)|x|(1x)在点x00处是否有导数？若有，求出来，若没有，说

17、明理由解析f(x)yf(0x)f(0)f(x) (1x)1， (1x)1， ，x0时，无极限函数f(x)|x|(1x)在点x00处没有导数，即不可导(x0表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)练习三组1如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B解析切线x2y30的斜率k，即f(x0)0.故应选B.2曲线yx22在点处切线的倾斜角为()A1 B.C. D答案B解析yli li (xx)x切线的斜率ky|x11.切线的倾斜角为，故应选B.3在曲线yx2上切线的倾斜角为的点是()A(0

18、,0) B(2,4)C. D.答案D解析易求y2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x01，x0，P.4曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5答案B解析y3x26x，y|x13.由点斜式有y13(x1)即y3x2.5设f(x)为可导函数，且满足 1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2B1 C1D2答案B解析 1，即y|x11，则yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1，故选B.6设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交答案

19、B解析由导数的几何意义知B正确，故应选B.7已知曲线yf(x)在x5处的切线方程是yx8，则f(5)及f(5)分别为()A3,3 B3，1C1,3 D1，1答案B解析由题意易得：f(5)583，f(5)1，故应选B.8曲线f(x)x3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则P点的坐标为()A(1,0)或(1，4) B(0,1)C(1,0) D(1,4)答案A解析f(x)x3x2，设xPx0，y3x·x3x0·(x)2(x)3x，3x13x0(x)(x)2，f(x0)3x1，又k4，3x14，x1.x0±1，故P(1,0)或(1，4)，故应选A.9设点P是曲线yx3

20、x上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()A. B.C. D.答案A解析设P(x0，y0)，f(x)li 3x2，切线的斜率k3x，tan3x.故应选A.10设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为()A1， B1,0C0,1 D，1答案A解析考查导数的几何意义y2x2，且切线倾斜角0，切线的斜率k满足0k1，即02x21，1x.11已知函数f(x)x23，则f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_答案4xy10解析f(x)x23，x02f(2)7，yf(2x)f(2)4·x(x)24x.li 4.即f(2)4

21、.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2)处的切线方程为y74(x2)即4xy10.12若函数f(x)x，则它与x轴交点处的切线的方程为_答案y2(x1)或y2(x1)解析由f(x)x0得x±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(1,0)f(x)li li 1.切线的斜率k12.切线的方程为y2(x1)或y2(x1)13曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有_个答案至少一解析由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个14曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程

22、为_答案3xy110解析设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k3x6x063(x01)23.当x01时k有最小值3，此时P的坐标为(1，14)，其切线方程为3xy110.三、解答题15求曲线y上一点P处的切线方程解析y .y|x4，曲线在点P处的切线方程为：y(x4)即5x16y80.16已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于点P的直线方程yg(x)解析(1)yli 3x2

23、3.则过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率k1f(1)0，所求直线方程为y2.(2)设切点坐标为(x0，x3x0)，则直线l的斜率k2f(x0)3x3，直线l的方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)又直线l过点P(1，2)，2(x3x0)(3x3)(1x0)，x3x02(3x3)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直线斜率k3x3，于是：y(2)(x1)，即yx.17求证：函数yx图象上的各点处的切线斜率小于1.解析yli li li li 11，yx图象上的各点处的切线斜率小于1.18已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1

24、)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积解析(1)y|x1li 3，所以l1的方程为：y3(x1)，即y3x3.设l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，y|xbli 2b1，所以l2的方程为：y(b2b2)(2b1)·(xb)，即y(2b1)xb22.因为l1l2，所以3×(2b1)1，所以b，所以l2的方程为：yx.(2)由得即l1与l2的交点坐标为.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，.所以所求三角形面积S××.练习三组1下列结论不正确的是()A若y0，则y0B若y5x，则y5C若yx1，则yx2 答案D

25、2.曲线yx32在点处切线的倾斜角为()A30°B45°C135° D60°答案B解析y|x11，倾斜角为45°.3.函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2 C3 D4答案D解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)·(x1)(x1)23x22x1，y|x14.4.设f(x)ax3bx2cxd(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()Ab24ac>0Bb>0，c>0Cb0，c>0 Db23ac<0答案D解析a>0，f(x)为增函数，f(x)3ax22bxc&

26、gt;0恒成立，(2b)24×3a×c4b212ac<0，b23ac<0.5已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在点x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极小值C如果在点x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值D如果在点x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极大值答案C解析导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正

27、确，故应选C.6.函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)()A等于0B大于0C小于0 D以上都有可能答案A解析Mm，yf(x)是常数函数f(x)0，故应选A.7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2R C.RD.R答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(Rh)2r2，r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2.令V0得hR.当0<h<R时，V>0；当<h<2R时，V<0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.8.和式(yi1)可表示为()A(y11)(y51)By1y2y3y4y51Cy1

28、y2y3y4y55D(y11)(y21)(y51)答案C解析(yi1)(y11)(y21)(y31)(y41)(y51)y1y2y3y4y55，故选C.9设f(x)是a，b上的连续函数，则f(x)dxf(t)dt的值()A小于零 B等于零C大于零 D不能确定答案B解析f(x)dx和f(t)dt都表示曲线yf(x)与xa，xb及y0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置所以其值为0.10.设f(x)，则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dx取F1(x)x3，F2(x)2xx2，则F1(x)x2，F2(x)2xf(x)dxF

29、1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02×2×22.故应选C.11.如图所示，阴影部分的面积为()A.f(x)dxB.g(x)dxC.f(x)g(x)dx D.g(x)f(x)dx答案C解析由题图易知，当xa，b时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为f(x)g(x)dx.12已知f(x)x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有()A1个B2个C多于两个 D不能确定答案B解析f(x)x3，f(x)3x2，令3x21，得x±，即切点坐标为或.由点斜式可得切线方程为yx或yx，即yx或yx.故应选B.13.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy1

30、0，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，将(0，b)代入切线方程得b1.14.关于归纳推理，下列说法正确的是()A归纳推理是一般到一般的推理B归纳推理是一般到个别的推理C归纳推理的结论一定是正确的D归纳推理的结论是或然性的答案D解析归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定故应选D.15.下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论无法判定正误答案B解析由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.16.“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形故应选B.17.证明命题“f(x)ex在(0，)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：f(x)ex，f(x)ex.x>0，ex>1,0<<1ex&g