史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结材料

1、实用标准文档二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1 .定义：一般地，如果 y =ax2+bx+c(a,b,c是常数，a#0),那么y叫做x的二次函数.22 . 一次函数y = ax的性质(1)抛物线y = ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y =ax2的图像与a的符号关系.当a a 0时已 抛物线开口向上 u 顶点为其最低点；当a<0时u抛物线开口向下 u 顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为 y = ax2 (a # 0).3 .二次函数 y =ax2 +bx +c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4 .二次函数y

2、 =ax2 +bx+c用配方法可化成：y = a(x h f + k的形式，其中h =±- k = 4ac-b2a4a5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y = ax2 ；y = ax2+k ;y = a(x -h f ；y = a(x- h )2 + k ； y = ax2 bx c .6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a的符号决定抛物线的开口方向：当 a>0时，开口向上；当 a<0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同 .平行于y轴(或重合)的直线记作 x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的

3、二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法八.、42 ± 丁 , b '2 14ac b2 一口/ b 4ac b2、- 口+小b(1)公式法： y=ax +bx + c=a x + +,，顶点是(，)，对称轴是直线 x =.< 2a J 4a2a 4a2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x -h f + k的形式，得到顶点为(h , k),对称轴是直线(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称

4、轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y =ax2 +bx +c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线bbbx =，故：b=0时，对称轴为y轴；bA0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；±<0(即a、 2aaab异号)时，对称轴在 y轴右侧.(3) c的大小决定抛物线 y = ax2 +bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,，抛物线 y = ax2+bx+

5、c与y轴有且只有一个交点(0, c)：c = 0 ,抛物线经过原点；c > 0,与y轴交于正半轴； c < 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 -< 0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y = ax当a > 0时开口向上当a < 0时开口向卜x = 0 ( y 轴)(0,0)y = ax2 + kx = 0 ( y 轴)(0, k)y = a(x -h :!x = h(h,0)y = a(x h ：k +kx = h(h, k)21y = ax +bx +cbx

6、 2a,2/ b 4ac - b(C，)2a 4a11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y =ax2 +bx+c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y =a(x -h 2 +k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式：y =a(xx1'(x x2 ).12 .直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y =ax2+bx+c得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2+bx+c有且只有一个交点(h , ah 2 +bh+c).(3)抛物线与x轴的交

7、点二次函数y = ax2 +bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2,是对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 u AaOu抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)u A = 0u 抛物线与x轴相切；没有交点 y A <0u 抛物线与x轴相离.(4)平彳T于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横 坐标是ax2 + bx + c = k的两个实数根.(5) 一次函数y =kx+n

8、(k/0)的图像l与二次函数y = ax2+bx + ca = 0)的图像G的交点，由方程组y = kx n2那解的数目来确定：方程组有两组不同的解时u l与G有两个交点；方程组只有一组解时y 二 ax bx cw l与G只有一个交点；方程组无解时u l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax2+bx+c与x轴两交点为 A(x1,01 B(x2,0),由于x1、x2是方程ax2 + bx+c =0的两个根，故bcx1 x2 = 一 一，x1 x2 =一 aa.2 T 2( b 2 4c Mb2-4ac 孤AB = xi -x2 = vUi x2=V(xi -x2

9、) 4x1x2 = J - =n =TT 卜 a) a|a|a|第二部分典型习题1 .抛物线y=x2+2x2的顶点坐标是(D )A. (2, 2)B. (1, 2) C. (1, 3)D. (1, 3)2 .已知二次函数y =ax2 +bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( C )A. ab>0, c>0 B. ab>0, cv 0 C. ab<0, c>0D. ab<0, c<0第4题图3 .二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )A a>0, bv 0, c>0B. a<0, b< 0,

10、 c>0C. a<0, b> 0, c<0D, a<0, b>0, c>04 .如图，已知中，BC=& BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E,交AC于点F (EF不过AB),设E到BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为(D )-EF = 4-x = EF =8 _2x,. y =-x2 4x 8425 .抛物线y=x 2x3与x轴分别交于 A B两点，则AB的长为4.6 .已知二次函数y= kx2+(2k1)x 1与x轴交点的横坐标为x1、x2 ( x1< x2)，则对于下列结论：当x=2时，y=1;当x>x2时，

11、y>0;方程kx2+(2k1)x1=0有两个不相等的实数根 x1、x2;x1<1, x2> 1;1 4k2x2-x1=4k ,其中所有正确的结论是 (只需填写序号)k7.已知直线y=2x+b(b00户f x轴交于点A,与y轴交于点B; 一抛物线的解析式为 y=x2(b+10x+c.(1)若该抛物线过点 B,且它白顶点P在直线y = -2x + b上，试确定这条抛物线的解析式；(2)过点B作直线BC±AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线 y = -2x + b的解析式.解：(1) y =x2 -10或 y =x2 -4x -6.2,_ ,2,_将

12、(0, b)代入，得 c=b.顶点坐标为(H0,b16b 100),由题意得2Mb_0 + b = b16b 100 ,2424解得匕=-10,b2 = -6.文案大全(2) y = _2x _28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y,且y是x的二次函数，已知输入值为_2。1时，相应的输出值分别为 5, -3, _4.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：(1)设所求二次函数的解析式为y=ax2 +bx+c,a(2)2 +b( +c=5% 7a =1则a 02+b 0十c =4,即J2a -b

13、=4 ,解得b = -2a b c - -4a b = -1故所求的解析式为：y = x2 -2x -3.(2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y为正数时,输入值x的取值范围是x < -1或x >3 .9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼图.请根据图象回答:第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间第三天12时这头骆驼的体温是多少兴趣小组又在研究中发现，图中10时到夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的？它的体温22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析

14、式.解:第一天中，从 4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时10.第三天12时这头骆驼的体温是1 O y 二 一一 x2 2x 24 10 < x 1639 C,224已知抛物线y =ax +(+3a)x+4与x轴交于3两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得A、 ABC为直角三角形.若存在，请求出 a的值；若不 存在，请说明理由.解：依题意，得点 C的坐标为（0, 4）.设点A B的坐标分别为（x1 , 0）, （ x2, 0）,2 44由 ax +（一+3a）x+4 =0 ,解得 x1=4, X2 = -一 .33a4点A、B的坐标分别为（-3, 0

15、）, （ ，0）.3aAB M -+3|, AC =，AO2 +OC2 =5, 3aBC =JBO2 +OC2 =V |2 +42 .AB2 =|43a+3|2 =鸟一2M3M £ +9 =£ 8 +9 ,9a3a 9a aAC2 =25, BC2 =6+16. 9a2i当 AB2 =AC2 +BC2时，/ ACB= 90°由 AB2 = AC2 +BC2,/曰 16816得-2- +9 =25 +（2+16）.9aa9a-1斛得 a = 一一.41 16-=a=一一时，点B的坐标为（一，。）,432 65_ 2AB2 = , AC2 =25, 9BC2 _4C0

16、BC 一于是 AB2 =AC2 +BC2.-1 . 当a = 时， ABC为直角三角形. 4ii当 AC2 =AB2 +BC2时，/ ABC= 90° ._222r16816由 AC2 =AB2 +BC2 ,得 25 =（-2 十9）十（-2 +16） .9a a 9a一 4斛得 a =. 9 ,.444当a =时， =一3,点B （-3, 0）与点A重合，不合题意.93a 。43 .9iii当 BC2 = AC2 +AB2时，/ BAC= 90°7222 /口 1616 8由 BC =AC +AB ，得-2+16 = 25+(2 +9) .9a9a a4解得 a=.不合题

17、意.9，、一. 1综口1、11、111，当 a=时， abc为直角二角形.411.已知抛物线 y=x2+ma m+ 2.(1)若抛物线与x轴的两个交点 A B分别在原点的两侧，并且 AB= J5,试求m的值；(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且 MNC勺面积等于27,试求m的彳1 .x mx+ m- 2=0 的两根.解：(1) A(X1, 0) ,B(x 2, 0). 则 X1 , X2是方程X1 + x2 = m , x i x2 =m 2 < 0 即 m< 2 ;又 AB= I x1 x2 I = J(Xi+用)2 -4XiX2 =75

18、, m2 4m+ 3=0 .解得：m=1或m=3(舍去)，m的值为1 .(2) M(a, b),则 N(-a, b).M N是抛物线上的两点，.1-a2+ma-m+2 =b,|产2 -ma-m+2 =-b.HI+得：-2a2-2m+ 4=0 . ，a2=m+ 2 .当m< 2时，才存在满足条件中的两点M N.a =2 -m .这时M N到y轴的距离均为72 - m ,又点C坐标为(0, 2成，而Sam n c = 27 ,2 X X ( 2 m) X，2 m =27 2，解得m=- 7 .A( T, 0) .12.已知：抛物线y= ax2 + 4ax+1与x轴的一个交点为(1)求抛物线与

19、x轴的另一个交点 B的坐标；且以AB为D底的梯形ABCD勺面积为9,求(2) D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，此抛物线的解析式；E在(2)中的抛物线上，且它的点，如果点(3) E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为 5 : 2与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点巳 使 APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法一：(1)依题意，抛物线的对称轴为x= 2.抛物线与x轴的一个交点为 A ( 1 , 0),由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(一3, 0).(2) 抛物线y= ax2+4ax+t与x轴的一个交点为

20、A(1, 0),a( 1)2+4a(1)+ t = 0.t =3a.y=ax2+ 4ax + 3a .D (0, 3a). . 梯形 ABCM, AB/ CD,且点 C在抛物线 y=ax2 + 4ax+3a 上,C ( 4, 3a). AB =2, CD= 4.，一 ，一，1，梯形 ABCD勺面积为 9, (AB+CD) OD = 9.211(2+4)3a=9 .所求抛物线的解析式为 y=x2 + 4x+3或y= -x2 -4ax-3.(3)设点E坐标为(x°, y°).依题意，x0<0, y0<0,且忙=5 .x02设点E在抛物线y = x2+ 4x + 3上

21、, . y0= x2+4x0+ 3 .5 -解方程组y°2x0,2)0= x0 + 4x0+ 3 x x0=,x0= -6, J2»0=15; | , 5y0 = 15点E与点A在对称轴x= 2的同侧， 点E坐标为(一，-).24设在抛物线的对称轴x=- 2上存在一点 P,使 APE的周长最小.AE长为定值，要使 APE的周长最小，只须 PA+ PE最小.点A关于对称轴x=2的对称点是B(3, 0),由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=-2的交点.设过点E、B的直线的解析式为 y= mx+n,3m+ n=0.解得123.213. 1直线BE的解析式为y=_x+ . 把x

22、=-2代入上式，得 y= 2221 点P坐标为(一2,).2设点 E 在抛物线 y= -x2 4x3 上，y0= - x2 4x0 3.y一 5x.0 3解方程组<2消去y0,得x0 +-x0+ 3= 0 .1y0= - x0 -4x0 3.< 0 .此方程无实数根.1综上，在抛物线的对称轴上存在点P ( 2,),使 APE的周长最小.2解法二：(1) 抛物线y=ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 A(1, 0),a(1)2 + 4a( 1)+t = 0.，t =3a.， y= ax2+ 4ax+3a .令 y =0,即 ax2+ 4ax+3a = 0 ,解得x1= 1 , x

23、2= - 3 .抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(一3, 0).(2)由 y= ax2+ 4ax +3a，得 D (0, 3a). 梯形ABCM, AB/ CD且点C在抛物线y= ax2+4ax +3a 上，C ( 4, 3a).AB =2, CD= 4.1梯形 ABCD勺面积为 9,AB+CD) OD=9 .解得 OD= 3.23a =3. a ±1.所求抛物线的解析式为y=x2 + 4x+3或y=x2 4x3.(3)同解法一得，P是直线BE与对称轴x=2的交点.如图，过点E作EQ! x轴于点Q.设对称轴与x轴的交点为F.由PF/ EQ可得BF PF1 PF点P坐标为以下同解法

24、一.BQ EQ-2)13.已知二次函数的图象如图所示.求二次函数的解析式及抛物线顶点(2)M的坐标.若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动日(点 N不与点B,点M重合)，(3)存在，请说明理由;(4)将OA8卜成矩形，使 OAC勺两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过解：(1)设抛物线的解析式 y =a(x+1)(x 2),m -2LQ点，第三个顶点落在矩-2=aM1M(2) . a=1. y=x2一 x 一2设NQ的长为l ,四边形NQAC勺面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量 t的取值范围;在

25、对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使APAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不其顶点M的坐标是1-,- l：24(2)设线段BM所在的直线的解析式为点N的坐标为(t, h),0 = 2k+b,9 1 一一=-k +b. 工42.一 3.斛得k =2线段BM所在的直线的解析式为y =3x-323. . 1h =-t -3,其中一<t <2.2231 2 (2 t -3)t =-t2341 t+1 .2s与t间的函数关系式是 S =-t241,. 、一 . 一 11+1,自变量t的取值范围是一 <t<2.(3)存在符合条件的点巳且坐标是P1'5

26、 7口35、'I, P2 ,12 4 .J124 J设点P的坐标为P(m, n),则n = m2 -m -2222_ 222_ 2PA =(m+1) +n , PC =m +(n+2) , AC =5.分以下几种情况讨论:i）若/ PAO 90。，则 PC2 =PA2 +AC2 .In =m2 -m -2, 22, 八 22m （n 2） = （m 1） n 5.-55 71斛仔：mi = , m2 = 1 （舍去）. 点 P ,一 2心外ii ）若/ PCA= 90° ,则 PA2 =PC2 +AC2. 2cn =m -m -2,' '' J ,、2

27、22, 一 2_Jm +1） +n =m +（n+2） +5.解得：m3 =3, m4 =0 （舍去）.，点 P2 I"3, 5 1. 224iii ）由图象观察得，当点 P在对称轴右侧时，PAaAC,所以边AC的对角/ APC不可能是直角.（4）以点。，点A （或点。，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC的对边上，如图a,此时未知顶点坐标是点 D （ 1, -2）,1 2以点A,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b,此时未知顶点坐标是 E -1,- I,'、5 5；图a图b14 .已知二次函数y=ax2 2的图象经过点

28、（1, 1）.求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数.解：根据题意，得 a-2=- 1.这个二次函数解析式是y=x2-2 .实用标准文档因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是(0, 2),所以该函数图象与 x轴有两个交点.15 .卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1 ： 11000的比例图上，跨度 AB= 5 cm,拱高OC= 0.9 cm,线段DE表示大桥拱内桥长， DE/ AB,如图(1).在比例图上，以直线 AB为x轴，抛物线的对称轴为 y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的

29、函数解析式，写出函数定义域;(2)如果DE与AB的距离。阵0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据：J2之1.4 ,计算结果精确到 1米).解：(1)由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为2 . 9 y = ax + .10一 ,，555 29118因为点A (0)(或B ( ? , 0)在抛物线上，所以0= a ,( )2+ ，得a=.2221012518 2 955因此所求函数解析式为 y=- -18-x2+ (-5 <x <-).12510 22(2)因为点 D E的纵坐标为 9 ,所以 =-8-x2+ ,得 x=±5V2 ,2020

30、125104所以点D的坐标为(-3 J2 ,2)，点E的坐标为(勺中'2 ,).420420所以 DE= 543(5亚)=返.442jl一 .5 . 2_ _因此卢浦大桥拱内实际桥长为52x11000 m 0.01 = 275£2 *385 (米).216.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图.二次函数y=ax2+ bx+ c (a0)的图象经过点 A B,与y轴相交于点 C.(1) a、c的符号之间有何关系？(2)如果线段OC的长度是线段 OA OB长度的比例中项，试证"a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果 b=-4, AB = 4j3,求a、c的值.解:(1) a、c 同号. 或当 a>0 时，c>0;当 a<0 时，c<0.文案大全(2)证明：设点A的坐标为(xi, 0),点B的坐标为(X2, 0),则0V Xi< X2 .OA =x1, OB =x2, OC = c .据题意，x1、x2是方程ax2+ bx+c = 0(a