关于人造地球卫星轨道的几点讨论

1、关于人造地球卫星轨道的几点讨论本文2000年9月发表于益阳师专学报自然科学版，次年被中国物理文摘第91期引录，本文最末导出的结论对于中学物理人造地球卫星一节的教学有较大帮助，作者注。熊志权（湖南省益阳县第一中学 湖南 益阳 413058）摘 要：利用行星运动轨道方程，由初始条件，求出方程中的积分常数，并拓展导出人造地球卫星的运动轨道关键词：轨道方程；积分常数；运动轨道；发射速度中图分类号：O316 文献标识码：A 文章编号：1001-876X（2000）05-0039-03A Few Discussions on the Orbit of the SatelliteXIONG Zhi-quan

2、(No.1 Middle School of Yiyang County,Hunan Yiyang ,413058)Abstract：This article tries to deduce the equation of the motion orbit of man-made satellites by figuring out .with the help of the equation of planet motion orbit,the integral constant in terms of its initial conditions.Key Word：orbit equati

3、on; initial conditions; motion orbit;launch speed.我们根据轨道微分方程比耐公式可推导行星的运动轨道方程1 （1）其中，为积分常数，（G为万有引力常量，M为太阳质量）=常量本文的主要任务是假设在初始状态下，求出积分常数A和0得到应用更广泛的轨道方程首先，我们研究的是人造地球卫星，而不是绕太阳运动的行星，故指地球质量，为不失一般性，我们假设卫星距地面的高度为，以初速度v0并与竖直方向成角发射，建立极坐标（见图），把地心作为极点，有如下初始条件（t时刻物理量的值）其中，为地球半径，r为极径，将初始条件代入轨道微分议程（）并移项有：（2）其中，为求出A

4、和0，还需要一个方程，我们对（1）式两过微分得：，将初始条件代入并整理有： （3）联立（2）、（3）两式可求出A和0，为研究问题的方便，我们令恒为近地面的重力加速度有：我们再将轨道方程（1）与曲线极坐标标准方程对照（取曲线的右焦点为极点）其中，e为偏心率，p为焦点到准线的距离，由（1）式可得：上式把变换成是为与几何学中圆锥曲线方程作比较而作的代换，实质上，这样不会影响曲线的形状及我们所要讨论的一些几何性质，仅仅是把坐标轴或图像旋转了一定的角度而已，从些式中我们可以看出轨道方程所表示的偏心率为：下面我们分四种情况讨论轨道方程：1) 当e=0时，运动轨道为一圆，即：解此方程有：v0即发射速度为实数

5、故cot=0 即=90°,此时,即就是说，当卫星的发射速度方向与地心到该卫星的连线（极径）方向垂直时，并且满足发射速度是高度的单值函数，即,此时卫星便绕地球作圆周运动，运动半径为（）.2) 当时,运动轨道为一椭圆,即:3) 当时，运动轨道为抛物线，即：4）当，运动轨道为双曲线，即：根据2，3，4似乎发觉卫星作椭圆、抛物线、双曲线运动与发射无关，果真是这样的的吗？实际上，这只是一种理想化模型，是假设地球与卫星为质点的情况下才成立的，在实际问题中，我们需要考虑它们的大小、轨道是不能穿过地球的，即还有一个条件：（这里卫星仍被视为质点）由于在轨道方程中，我们以地球的中心作为曲线的右焦点处理的

6、，根据解析几何知识，在曲线上顶点到焦点的距离最短，故当时有最小的距离将代入此不等式，并解之有： （4）故发射速度v0与发射角必须满足（4）式才能使卫星轨道不穿过地球，事实上由（4）式亦可知，欲使不等式右边为实数，要求如果太小，此不等式便不会成立，那么轨道便会过地球，这是不符合实际的下面我们再讨论一下近地面发射问题，近地面发射有，由（4）式可知故只能取等号，于是有=90°时，（4）式右边根号下成立了0/0型极限问题，根椐数学知识可求出，由（4）式得： 综上所述，近地面发射问题只可能是发射速度与极径垂直，发射的最小速度是（又称第一宇宙速度），此时卫星以最小速度绕地球表面作圆周运动，当发射速度达时（又称第二宇宙速度）卫星以地球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线，当发射速度介于和之间时，卫星作椭圆运动，并随速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时（物体逃离太阳系的速度，又称逃