《4.2.1 等差数列的概念》教案、导学案与同步练习

《4.2.1等差数列的概念》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解等差数列的概念B.掌握等差数列的通项公式及应用C.掌握等差数列的判定方法1.数学抽象：等差数列的概念2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导3.数学运算：通项公式的应用4.数学建模：等差数列的应用【教学重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【教学过程】教学过程教学设计意图一、导语我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r

，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=aar,ar-br,ar-2br,ar-3br…

,④在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()×;×;√问题探究思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得a所以a2-a1=d,a3-a2=于是a2=a1

a3=a2+d=(a1+d)+

a4=a3+d=(a1+2d)+归纳可得an=a1+(n-1)当n=1时，上式为a1=a1+(因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)√(3)√3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝()A．22B．24C．26D．28D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]4．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1B．1C．3D．4D[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n（2）求等差数列8,5,2…的第20项。分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1-an=d解：（1）当n≥2时，由an可得an-1=5-2于是d=an-an-1=(5-2n)-(把代入通项公式an=5-2n（2）由已知条件，得d=5-8=-3把a1=8,d=-3代入an=aan=8-3(n-1)=11-把n=20代入上式，得a20=11-所以，这个数列的第20项是-49求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.例2(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差数列．[思路探究](1)eq\x(列方程组)―→eq\x(求解m，n)―→eq\x(求m，n的等差中项)(2)(1)6[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[证明]∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq\f(x＋y,2).2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用等差数列的中项性质，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．24C[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]3．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．eq\r(3)[eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).]4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。《4.2.1等差数列的概念》导学案（第一课时）【学习目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法【重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【知识梳理】1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝()A．22B．24C．26D．284．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1B．1C．3D．4【学习过程】一、学习导引我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r

，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=aar,ar-br,ar-2br,ar-3br…

,④在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n（2）求等差数列8,5,2…的第20项。求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例2(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq\f(x＋y,2).2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．【达标检测】1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．243．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.×;×;√2．解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)√(3)√3．D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]4．D[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]学习过程一、新知探究思考1：设一个等差数列an的首项为a1,公差为an+1-a所以a2-a1=d,a3-a2=于是a2=a1

a3=a2+d=(a1+d)+

a4=a3+d=(a1+2d)+归纳可得an=a1+(n-1)当n=1时，上式为a1=a1+(因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=思考2：[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．二、典例解析例1.分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1-an=d解：（1）当n≥2时，由an可得an-1=5-2于是d=an-an-1=(5-2n)-(把代入通项公式an=5-2n（2）由已知条件，得d=5-8=-3把a1=8,d=-3代入an=aan=8-3(n-1)=11-把n=20代入上式，得a20=11-所以，这个数列的第20项是-49跟踪训练1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.例2[思路探究](1)eq\x(列方程组)―→eq\x(求解m，n)―→eq\x(求m，n的等差中项)(2)(1)6[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[证明]∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．跟踪训练2[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.达标检测1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．24C[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]3．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．eq\r(3)[eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).]4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》基础同步练习一、选择题1．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A．B．1C．D．2．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（）A．90B．96C．98D．1003．等差数列的第项是（）A．B．C．D．4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，26．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数）B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．是与的等差中项二、填空题7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的数是__________.9．在数列中，，，则的值为__________.10．在等差数列中，，（、），则的值为__________.三、解答题11．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？12．数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A．B．1C．D．【答案】C【详解】等差数列{an}中，，则即3=9+6d,解得d=-12．等差数列中，已知，，当时，则序号等于（）A．90B．96C．98D．100【答案】D【详解】由题意，解得．故选：D．3．等差数列的第项是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题,等差数列,,,，，故选A4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺【答案】D【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：，即，解之得：，所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D.5．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，2【答案】ABC【详解】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.6．（多选题）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数）B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．是与的等差中项【答案】ABD【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD二、填空题7．已知数列是等差数列，若，，则公差_____.【答案】【详解】∵数列是等差数列设公差为，若，，解得．8．在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的数是__________.【答案】【详解】由题意可得，第行的第一个数是，第行的数构成以为首项，为公差的等差数列，其中第项为.所以题表中的第行第列的数是.9．在数列中，，，则的值为__________.【答案】52【详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以．10．在等差数列中，，（、），则的值为________.【答案】0【详解】由题,,三、解答题11．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，由，，即，解得，所以，数列的通项公式为.（2）由（1）可得.（3）令，解得，所以，是数列中的第项.12．数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？【详解】（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》提高同步练习一、选择题1．在等差数列中，，则（）A．0B．1C．D．32．已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．23．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（）A．11.5B．12.5C．13.5D．14.55．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.6.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．二、填空题7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.三、解答题11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．《4.2.1等差数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．在等差数列中，，则（）A．0B．1C．D．3【答案】A【详解】设等差数列公差为,由得：，即,故选：2．已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．2【答案】A【详解】因为，，，故所以，故.故选：A.3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列【答案】D【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（）A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5【答案】C【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，则，，两式相减得，解得，所以，解得，故选：C5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.【答案】BCD【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.6.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.二、填空题7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.【答案】【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.【答案】30【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.【答案】【详解】∵，∴数列是等差数列，又，∴，∴．10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.【答案】【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，所以有.三、解答题11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.【详解】，，由，即，∵满足的的最小值是15，，，又.12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．《4.2.1等差数列的概念》教案（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.B.能用等差数列的性质解决一些相关问题.C.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.1.数学抽象：等差数列的性质2.逻辑推理：等差数列性质的推导3.数学运算：等差数列性质的运用4.数学建模：运用等差数列解决实际问题【教学重点和难点】重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2;前一项;同一个常数;常数;d2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通项公式的应用；二、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：220－10d≥11220－所以，d的求值范围为19<d≤20.9等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026B.2027C.2028D.2029C解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an由题意可知an是等差数列，首项a1=400，公差d=所以an=400+(n-1令50n+350>820，解得n>由于n∈所以该市在2028年建住房面积开始大于820万平方米.例4.已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.解：（1）设等差数列bn的公差为∵b1=a1,b5=a2,∴b5-

b1=a2∵b5-

b1=4d',∴4d'=8,d∴bn=2+(所以数列bn的通项公式是bn（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4令4n-

3=29,解得:n=8所以，b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N仍然可以构成一个新的等差数列.例5.已知数列an是等差数列，p,q,s,t∈N求证:a分析：利用等差数列的中的两个基本量a1,写出ap证明：设数列an的公差为dap=a1aq=a1as=a1at=a1所以:as因为p+q=s+t所以a例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：a∵p+q=s+t,∴p-s=t-q∴通过回顾等差数列的定义及其中项性质，提出问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过实际问题的分析解决，体会等差数列的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．23.2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.【答案】18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝eq\f(17,3).又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝eq\f(a9－a7,9－7)＝eq\f(7－\f(17,3),2)＝eq\f(2,3).∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，∴k＝18.]4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.【答案】－1[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,a＋b＋c＝18,a2＋b2＋c2＝116))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.))法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1)应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2)等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*3)等差数列an，p,q,s,t∈N*通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。《4.2.1等差数列的概念》导学案（第二课时）【学习目标】1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.【重点和难点】重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导【知识梳理】1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通项公式的应用；【学习过程】一、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026B.2027C.2028D.2029例4.已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N仍然可以构成一个新的等差数列.例5.已知数列an是等差数列，p,q,s,t∈N求证:a例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？【达标检测】1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．502．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【课堂小结】1)应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2)等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*3)等差数列an，p,q,s,t∈N*【参考答案】知识梳理学习过程一、典例解析例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：220－10d≥11220－所以，d的求值范围为19<d≤20.9跟踪训练1.C解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an由题意可知an是等差数列，首项a1=400，公差d=所以an=400+(n-1令50n+350>820，解得n>由于n∈所以该市在2028年建住房面积开始大于820万平方米.例4.分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.解：（1）设等差数列bn的公差为∵b1=a1,b5=a2,∴b5-

b1=a2∵b5-

b1=4d',∴4d'=8,d∴bn=2+(所以数列bn的通项公式是bn（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4令4n-

3=29,解得:n=8所以，b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？例5.分析：利用等差数列的中的两个基本量a1,写出ap证明：设数列an的公差为dap=a1aq=a1as=a1at=a1所以:as因为p+q=s+t所以a例5通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：a∵p+q=s+t,∴p-s=t-q∴达标检测1．【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．23.2[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．【答案】18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝eq\f(17,3).又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝eq\f(a9－a7,9－7)＝eq\f(7－\f(17,3),2)＝eq\f(2,3).∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，∴k＝18.]4．【答案】－1[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]5．【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,a＋b＋c＝18,a2＋b2＋c2＝116))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.))法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》基础同步练习一、选择题1．已知等差数列中，，则（）A．7B．11C．9D．182．等差数列中，，，则公差d=（）A．B．C．D．23．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505B．404C．303D．2024．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A．B．C．D．35．（多选题）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1B．3C．5D．76．（多选题）已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．二、填空题7．若数列是等差数列，且，则______.8．在等差数列中，，那么等于______.9．等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是______．10．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为______斤.三、解答题11．已知数列{an}为等差数列，且公差为d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.12．在等差数列中，若，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．已知等差数列中，，则（）A．7B．11C．9D．18【答案】C【详解】设等差数列的性质可知：，所以.故选：C.2．等差数列中，，，则公差d=（）A．B．C．D．2【答案】B【详解】等差数列中，，则，，所以，则，故选：B3．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505B．404C．303D．202【答案】A【详解】依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.4．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A．B．C．D．3【答案】B【详解】因为在等差数列中，，所以，，即.故选：B．5．（多选题）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1B．3C．5D．7【答案】ABD【详解】由题意得：插入个数，则，，，所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以，因为是数列的项，所以令，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故k的值可能为1,3,7，故选：ABD6．（多选题）已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】设等差数列的公差为，易知，∵等差数列满足，且，，，故B，D正确，A错误.又，，,，故C错误.故选：BD.二、填空题7．若数列是等差数列，且，则______.【答案】【详解】是等差数列，，，.8．在等差数列中，，那么等于______.【答案】14【详解】因为数列为等差数列，且，根据等差数列的性质，可得，解答，又由.9．等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是____．【答案】【详解】∵等差数列从第项开始为负数，即，∴，解得．10．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为______斤.【答案】9【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，