定义域与值域

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考会求简单函数的定义域和值域.1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题如2012年江西T2，江苏T5等2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.归纳知识整合1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ylogax(a0且a1)的定义域为(

2、0，)(6)ytan x的定义域为.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.(6)ysin x，ycos x的值域是1,1(7)ytan x的值域是R.探究1.若函数yf(x)的定义域和值域相同，则称函数yf(x)是圆满函数，则函数y；y2x；y ；yx2中是圆满函数的有哪几个？提示：y的定义域和值域都是(，0)(0，)，故函数y是圆满函数；y2x的定义域和值域

3、都是R，故函数y2x是圆满函数；y 的定义域和值域都是0，)，故y 是圆满函数；yx2的定义域为R，值域为0，)，故函数yx2不是圆满函数2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集自测牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)的定义域为()A，4B4，)C(，4) D(，1)(1,4解析：选D要使函数f(x)有意义，只需即所以函数的定义域为(，1)(1,42下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55x1010x1515x20y2345A2,5BNC(0,20D2,3,4,5解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，

4、故值域为2,3,4,53若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D(0，)解析：选A根据题意得log (2x1)0，即02x11，解得x0，即x.4(教材改编题)函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的定义域为_，值域为_解析：由图象可知，函数yf(x)的定义域为6,03,7)，值域为0，)答案：6,03,7)0，)5(教材改编题)若有意义，则函数yx26x7的值域是_解析：有意义，x40，即x4.又yx26x7(x3)22，ymin(43)22121.其值域为1，)答案：1，)求函数的定义域例1(1)(2012山东高考)函数f(x) 的定义域为()A2,0)(0,2B(1

5、,0)(0,2C2,2 D(1,2(2)已知函数f(x21)的定义域为0,3，则函数yf(x)的定义域为_自主解答(1)x满足即解得1x0或00时，x2 4，当且仅当x2时“”成立；当x0时，x(x)4，当且仅当x2时“”成立即函数的值域为(，44，)法二：(导数法)f(x)1.x(，2)或x(2，)时，f(x)单调递增，当x(2,0)或x(0,2)时，f(x)单调递减故x2时，f(x)极大值f(2)4；x2时，f(x)极小值f(2)4.即函数的值域为(，44，)若将本例(3)改为“yx”，如何求解？解：易知函数yx在(，0)和(0，)上都是增函数，故函数yx的值域为R. 求函数值域的基本方法

6、(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxb(a，b，c，d均为常数，且a0)的函数常用换元法求值域，形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如y(a0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2求下列函数的值域(1)yx22x，x0,3；(2)y；(3)ylog3xlogx31.解：(1)(配方法)yx22x(x1)21，0x3，1x14

7、.1(x1)216.0y15，即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1，x2x12，0，y1时，t0，y2 11，当且仅当t即log3x1，x3时，等号成立；当0x1时，t0，则对于正数b，f(x)的定义域为Dx|ax2bx00，)，但f(x)的值域A0，)，故DA，即a0不符合条件；若a0，又xa，b，a1.则f(x)在a，b上为减函数，则f(a)1且f(b)，a2，b4，ab6.答案：61种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识4个注意求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函

8、数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0；对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法

9、；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解. 易误警示与定义域有关的易错问题典例(2013福州模拟)函数f(x)的定义域为_解析要使函数f(x)有意义，则函数f(x)的定义域为x|x1，且x1答案(，1)(1,11本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)(x1)后求定义域，会误认为其定义域为(，1事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围2在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义

10、域对值域的制约作用1若函数f(x)的值域是，则函数F(x)f(x)的值域是()A.B.C. D.解析：选C令tf(x)，则t3.易知函数g(t)t在区间上是减函数，在1,3上是增函数又因为g，g(1)2，g(3).可知函数F(x)f(x)的值域为.2已知函数f(2)x2，则函数f(x)的值域为_解析：令2t，则x(t2)2(t2)f(t)(t2)22(t2)t22t(t2)f(x)x22x(x2)f(x)(x1)21(21)210，即f(x)的值域为0，)答案：0，)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()Af(x)x2a

11、Bf(x)ax21Cf(x)ax2x1 Df(x)x2ax1解析：选C当a0时，f(x)ax2x1x1为一次函数，其定义域和值域都是R.2已知等腰ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为()AR Bx|x0Cx|0x5 D.解析：选D由题意知即x0 Bx|x1Cx|x1，或x0 Dx|0x1解析：选B由得x1.5函数y2的值域是()A2,2 B1,2C0,2 D， 解析：选Cx24x(x2)244，02，20，022，0y2.6设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是()A.(1，) B.C. D.(2，)解析：选D令x0，解得x2；令xg

12、(x)，即x2x20，解得1x2，故函数f(x)当x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数ff(x)f(1)，即f(x)0，故函数f(x)的值域是(2，)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7函数y的定义域是_解析：由函数解析式可知6xx20，即x2x60，故3x2.答案：(3,2)8设x2，则函数y的最小值是_解析：y，设x1t，则t3，那么yt5，在区间2，)上此函数为增函数，所以t3时，函数取得最小值即ymin.答案：9(2013厦门模拟)定义新运算“”：当ab时，aba；当a1)，求a，b的值解：f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即1，b为f(x)的单调递增区

13、间f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab.由解得11设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在x轴的正半轴上移动，l(x)表示的长，求函数y的值域解：依题意有x0，l(x)，所以y.由于1252，所以 ，故0y.即函数y的值域是.12已知函数f(x)x24ax2a6.(1)若函数f(x)的值域为0，)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)2a|a3|的值域解：(1)函数的值域为0，)，16a24(2a6)02a2a30a1或a.(2)对一切xR函数值均为非负，8(2a2a3)01a.a30.g(a)2a|a3|a23a22.二次函

14、数g(a)在上单调递减，gg(a)g(1)，即g(a)4.g(a)的值域为.1下列函数中，与函数y有相同定义域的是()Af(x)ln x Bf(x)Cf(x)|x| Df(x)ex解析：选A当x0时，有意义，因此函数y的定义域为x|x0对于A，函数f(x)ln x的定义域为x|x0；对于B，函数f(x)的定义域为x|x0，xR；对于C，函数f(x)|x|的定义域为R；对于D，函数f(x)ex的定义域为R.所以与函数y有相同定义域的是f(x)ln x.2函数y的定义域为()A4，1)B(4,1)C(1,1) D(1,1解析：选C由得1x1，因此该函数的定义域是(1,1)3若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析：选B要使g(x)有意义，则解得0xn3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理