2019年北京市房山区中考数学一模试卷(解析版)

1、2019年北京市房山区中考数学一模试卷选择题（共 9小题，满分27分，每小题3分） 1.如果把分式 ,邛 中的x和y的值都扩大为原来的 3倍，那么分式的值（鱼一3yB.扩大6倍A.扩大为原来的C.缩小为原来的12倍D.不变2,下列等式正确的是A .(/)2=3B . 4) 2 =- 3 C. 4屋=3D .(-的)2= - 33.如图，线段 AB两个端点的坐标分别为 A （2, 2）、B （3, 1）,以原点O为位似中心，在第3)2倍后得到线段 CD,则端点C的坐标分别为（C. (4, 4)D. (4, 1)成绩（米）4.504.604.654.704.754.80人数2323414.在一次中

2、学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（A. 4.65、4.70B. 4.65、4.75C. 4.70、4.75D. 4.70、4.70A、B两个顶点，过5.如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接顶点C作CDXAB,垂足为D. “十字”形被分割为了 、三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为（C. 3: 1A . 2: 16.如图，是从不同的方向看一个物体得到的平面图形，该物体的形状是（B. V1C:D. 2正：1从TF面看从左面看从上面看A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.三棱

3、柱7.在 ABC 中,AB= AC, AB的垂直平分线交 AB于点D,交直线AC 于点 E, / AEB=80° ,那么/EBC等于（）B. 25。C. 15° 或 75°D. 25° 或 85。章里，一次方程组是8.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”由算筹布置而成的.九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是y的系数与相应的常数项.把图13什少19图2所示x+4y=23的算筹图我们可以表述为HI I

4、I WI 1!11 =111IIIIII!Ill图2)A.C.|2x+y=ll| 4肝3尸27 j3K+2尸19 x+4y=23B.D.2x+y=U4x+3y=224x+3y=279.计算（-a）2 B2?的结果为（a二.填空题（共B. - bC.ab6小题，满分18分，每小题3分)10.如图，BD是。的直径，/ CBD = 30° ,则/A的度数为11.光明中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40名，某次数学考试的成绩统计如下：（如图，每组分数含最小值，不含最大值）根据图、表提供的信息，则 8090分这一组人丙班数学成绩频数统计表5606070780809090-100

5、人数4159数最多的班是三好骏由诘石爵丁布皂方国乙班数学或奈名分数段人雌计图7。分40分12 .矩形纸片ABCD, AB = 9, BC=6,在矩形边上有一点 P,且DP=3.将矩形纸片折叠，使点 B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E, F,则EF长为13 .半径为5的大。O的弦与小。相切于点C,且AB=8,则小OO的半径为2名学生担任数学小组长， 则抽取到甲和乙概率为15 .如图，/ ACB=90。，D为AB中点，连接 DC并延长到点E,使CE = CD,过点B作BF/DE交AE的延长线于点 F.若BF= 10,则AB的长为16.先化简，再求值：(5工十的2 ix -y2a+-22)y

6、 -k1-22,其中 x= V3+V2k yxyy=V3 -比17. (1)解方程(x- 2) (x+3)(2)若关于x的7L二次方程x2+3x-k = 0有两个不相等的实数根，求 k的取值范围.18 .如图，以等腰直角三角形 ABC的斜边AB为边作等边 ABD,连接DC ,以DC当边作等边DCE, B、E在C、D的同侧，若 AB = &,求BE的长.19 .某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2,请根据相关信息，解答下列问题:(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图1中m的值是

7、.(2)补全图2的统计图.(3)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(4)根据样本数据,10元的学生人数.学生捐款额条形统计图20 .如图，二次函数与反比例函数的图象有公共点A ( - 2, 5) , ?ABCD的顶点B ( - 5, p)在双曲线上，C、D两点在抛物线上(点 C在y轴负半轴，点D在x轴正半轴)(1)求直线AB的表达式及C、D两点的坐标；(2)第四象限的抛物线上是否存在点E,使得四边形 ACED的面积最大，若存在，求出点 E的坐标和面积的最大值，不存在，说明理由.21 . 4ABC中/B=90。，以B为圆心，AB为半径的0B交斜边AC于D, E为BC上一点使得 DE

8、= CE.(1)证明：DE为。B的切线；(2)若BC=8、DE = 3,求线段AC的长.22 .如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx-4k+4与抛物线y = 5x2-x交于A、B两点.(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；(2)点P在抛物线上，当k=-工时，解决下列问题：2在直线AB下方的抛物线上求点 P,使得 PAB的面积等于20；P的坐标.连接OA, OB, OP,作PC，x轴于点C,若 POC和ABO相似，请直接写出点(备用图)2019年北京市房山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共 9小题，满分27分，每小题3分）1 .【分析】根据分式的性质，可得答案.【解答】

9、解：把分式 3口 中的x和y的值都扩大为原来的 3倍，得4x-3y3*3x*3y _ = 4p3x-3*3y 4x-3y故选：A.【点评】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键.2 .【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可.【解答】解：（&）2=3, A正确；1（-3）2=3, B 错误；什=西=3瓜C错误；（-限2=3, D错误；故选：A.【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：。=间是解题的关键.3 .【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标.【解答】解：.以原点。为位似中心，在第一象限内将线段 AB扩大为原来的2倍

10、后得到线段 CD,，A点与C点是对应点，C点的对应点A的坐标为（2, 2）,位似比为：1： 2,.点C的坐标为：（4, 4）故选：C.【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键.4 .【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题.【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70, 4.75.故选：C.【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.5 .【分析】根据得出四边形 ACBE是正方形，进而利用正方形的性质求出即可.【解答】解：如图所示：四边形 ACBE是正方形，AB与CE是正方形的对角线, 则CD = DE

11、= AD=BD,则组成的这个矩形的长与宽的比为：2： 1.故选：A.【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确利用正方形的性质得出是解题关键.6 .【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆 锥.【解答】解：.主视图和左视图都是三角形，此几何体为锥体，俯视图是一个圆及圆心，此几何体为圆锥，故选：A.【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何 体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状.AE =7.【分析】分两种情况：/ BAC为锐角，/ BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出 BE,然后根据三角形

12、内角和定理即可解答.【解答】解：如图1, 口£垂直平分AB, . AE=BE,BAC =/ ABE, . / AEB=80° , ./ BAC=Z ABE = 50° , AB=AC,abc=12_19=65。,2 ./ EBC=Z ABC - Z ABE= 15°如图2,DE垂直平分AB, . AE=BE,BAE =/ ABE, . / AEB=80° , ./ BAE=Z EBA= 50° , ./ BAC=130°AB=AC,./ abc = 180_1130_=25。2 ./ EBC=/ EBA + Z ABC= 7

13、5°【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质.线段的垂直平分线上的点 到线段的两个端点的距离相等.8.【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1, 一个横的算筹数算 10,每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是 y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图 2的表达式.【解答】解：第一个方程x的系数为2, y的系数为1,相加的结果为11;第二个方程x的系数为f2x+y=ll4, y的系数为3,相加的结果为27,所以可列万程为1中+益一叶.故选：A.【点评】本题主要考查的是列二元一次方程组，读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结

14、果是解题的关键.9.【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得.【解答】解；原式=a2?4= b, a故选：A.【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则.二.填空题（共 6小题，满分18分，每小题3分）10 .【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得/BCD = 90。，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得/ A=/D=60。.【解答】 解：: BD是。的直径，BCD = 90° （直径所对的圆周角是直角），. / CBD = 30° ,./D=60。（直角三角形的两个锐角互余），/A=/D=60° （同弧所对的圆周角相等）；

15、 故答案是：60° .【点评】本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.11 .【分析】 根据图象信息，判断出甲、乙、丙三个班级在8090分这一组人数，即可解决问题.【解答】解：由甲班的数学成绩频数分布直方图可知，则8090分这一组人数是大于 12人，由乙班数学成绩的扇形统计图可知，8090分这一组人数是 40X （ 1-10%-5%-35%-20%）=12 人,由丙班的成绩频数统计表可知，8090分这一组人数是11人，所以甲班在8090分这一组人数最多，故答案为甲班.【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，灵活 运用所

16、学知识解决问题，属于中考常考题型.12 .【分析】如图1,当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF过点C,根据勾股定理即可彳#到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQLAB于Q,根据勾股定理得到PB = VaP2+AB£=32+9= 3V1C,推出 ABPsEFQ,列比例式即可得到结果.【解答】解：如图1,当点P在CD上时， . PD=3, CD = AB=9, .CP=6, 日垂直平分 PB, 四边形PFBE是正方形，EF过点C,EF = 6 衣，如图2,当点P在AD上时，过E作EQLAB于Q, . PD=3, AD = 6, . AP=3,PB= /aP2

17、+ABS = V 32 + 9=3V1C， EF垂直平分PB ,./ 1 = Z 2, . / A=Z EQF, .ABPsEFQ, , 、PB ABEF 6-3V10 TEF = 2ViL综上所述：EF长为6爪或2屈.故答案为：6五或2伤.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理.13 .【分析】 连结OC, OA,如图，根据切线的性质得 OCLAB,接着根据垂径定理得 AC = 2AB=4,然后在RtAOC中利用勾股定理计算出 OC即可.【解答】解：连结OC, OA,如图,AB与

18、小。相切于点 C,.-.OCXAB,AC= BC=1_AB = 4, 2在 RtAOC 中，OA=5, AC=4,OC= >/oa2-ac£= 3,即小。的半径为3.故答案为3.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了勾股定理和垂径定理.14 .【分析】 根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.【解答】解：画树形图得：颦一小甲乙丙丁/1/1/1 /第二个人乙丙丁甲丙丁 甲乙丁甲乙丙一共有12种情况，抽取

19、到甲和乙的有 2种， ,一 21 .P （抽到甲和乙）= 金=故答案为："7.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.15 .【分析】 先根据点D是AB的中点，BF / DE可知DE是 ABF的中位线，故可得出 DE的长, 根据CE = CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论.【解答】解：二点D是AB的中点，BF/DE,DE是 ABF的中位线. .BF=10,DE = iBF = 5.2,.ce=Lcd,4 ,肯CD = 5,解得 CD

20、 = 4.4.ABC是直角三角形， . AB=2CD = 8.故答案为：8.【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键.三.解答题(共7小题)16 .【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.【解答】解：当x=V+五,y=时,xy= 1,3G+y)c ,、原式=?2"?xy (x-y)=3xy=3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.17 .【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程，即可求出结论；(2)根据方程的系数结合根的判别式=9+4k> 0,解之即可得出结论

21、.【解答】解：(1) .( x- 2) (x+3) =0,.x- 2=0 或 x+3 = 0,x1 = 2, x2 = - 3.(2) 关于x的一元二次方程 x2+3x-k = 0有两个不相等的实数根，.= 32- 4X1 X ( - k) = 9+4k>0,-9斛得：k> -,1' k的取值范围是k> .4【点评】 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤及方法；(2)牢记“当> 0时，方程有两个不相等的实数根”.18 .【分析】根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答.【解答】解：.

22、ABC等腰直角三角形 .AC=BC, .ABD是等边三角形BD= ADADCA BDC，/BCD= ( 360° -90° ) +2=135°又. / CBD= 60° 45° = 15° ./CDB=180° - 135° - 15° = 30° , Z BDE=60° -30° =30° .CD=ED, /CDB = /BDE, BD = BD . BCDA BEDBE=CB = x sin45° = 1 .BE=1.【点评】解答本题的关键是充分利用等

23、边三角形性质和等腰直角三角形的性质，求出角的度数，便可求解.19 .【分析】(1)由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得 m的值;(2)总人数乘以15元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；(3)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(4)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.【解答】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为4+8%= 50人，/X 100%= 32%50'm=32,故答案为：50、32;(2) 15元的人数为50X24%= 12,补全图形如下:学生揖款颤条形统计图(3)本次调查获取的

24、样本数据的平均数是：工X ( 4x 5+16x10+12 x 15+10x 20+8x30) = 1650(元)，本次调查获取的样本数据的众数是：10元，本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；(4)估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为1900X 32%= 608人.【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.k20.【分析】(1)设反比例函数的解析式为 y=7.由A的坐标可求出k的值，B的横坐标已知，所以可求出纵坐标，设直线AB的表达式为y=mx+n,分别把A, B坐标代入求出 m和n的值即可；由？ABCD中，

25、AB/CD,可设设CD的表达式为y=x+c,根据平行四边形的性质：对边相等即可求出c的值;(2)首先求出二次函数的解析式，构建二次函数求出CDE面积的最大值，即可解决问题;【解答】解：(1)设反比例函数的解析式为 y=2.它图象经过点 A ( - 2, 5)和点B ( - 5, Xk= - 10,反比例函数的解析式为10y=,P=-¥=2,点B的坐标为(5,2),设直线 AB的表达式为y=mx+n,则彳,I -5rrrfn=2(itPl(n=7 直线 AB的表达式为 y=x+7.由？ABCD中，AB/ CD,设CD的表达式为 y=x+c, .C (0, c) , D ( - c, 0

26、), .CD= AB, .CD2=AB2,c2+c2= (- 5+2) 2+ (2-5) 2,c= - 3, 点C、D的坐标分别是(0, - 3)、(3,0).(2)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx- 3,小必05.l9a+3b-3=0 一 ,lb=-2 二次函数的解析式为 y = x2-2x- 3,假设第四象限的抛物线上存在点E,使得 CDE的面积最大.设 E (k, k2-2k-3),则F (k, k-3),过点E作x轴的垂线交 CD于点F ,2 一 一一 ： 一2 一：.贝 S4CDE= SzEFC + Sz EFD =3？EF?OD=/? (k-3) - (k -2k- 3) =

27、" (k -3k) = - (k：、2J) +8，所以，当k=£时， CDE的面积最大值为乂o 31S此时点E的坐标为(7).24A (-2, 5) , C (0, - 3) , D (3, 0),. ACD的面积为定值，直线AD的解析式为y= - x+3,直线AD交y轴于K (0, 3),SA ACD= SaACK+Sa CKD = A* 6X 2+ X 6 X 3= 15,四边形ACED的面积的最大值为15+21 = 也88【点评】本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、平行线的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建

28、二次函数解决最值问题，属于中考压轴题.21.【分析】（1）连BD,通过角度代换和三角形的内角和定理求得/BDE=90。即可.（2）先得到BE,在 BDE中通过勾股定理可得到 BD,再在 ABC中通过勾股定理求得 AC. 【解答】（1）证明：连BD,得/C = /CDE,/A=/ADB,而/ A+ZC=90° .所以/ CDE+/ADB=90° 即 BDXDE .所以DE为切线.(2)解：CE= DE=3, BC= 8, BE=5.在 RtBDE 中，BD = .RtABC 中 AC=p + = 475.【点评】熟练掌握证明圆的切线方法，一般把证明圆的切线问题转化为证明线段垂

29、直的问题.熟 练利用勾股定理进行几何计算.22.【分析】(1)变形为不定方程 k (x- 4) =y-4,然后根据k为任意不为。的实数得到x-4 =0, y- 4 = 0,然后求出x、y即可得到定点的坐标；'1 ,产方算+6(2)通过解方程组，得A (6, 3)、B (- 4, 8)；如图1,作PQ/ y轴，交AB于点Q,设P (x,1x2x),则Q (x,一费x+6),则PQ =(-gx+6) - ( -x2 - x),利用三角形面积公式得到S»APAB = _ " (x- 1) 2+=20然后解2444方程求出x即可得到点P的坐标；设P (x, t x2-x),如图2,利用勾股定理的逆定理证明/AOB=90。，根据三角形相似的判定，由于/ AOB = Z PCO,则当殳=空时,CPOsoab,即 匕Jr | =萃当空=CO OB 4V5 0C空时，CPOsoba,即I这工一工1 =,