椭圆的标准方程

1、椭圆的标准方程天心区第一中学 江泽湘一教学目标：1知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；2过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；3情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、

2、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。三教学方法： 启发式、自主探索四教学手段： 运用多媒体辅助教学五教学过程：创设情景、引入课题播放课件：哈雷慧星是人类最早发现的一颗周期慧星，它的回归是人们十分关注的一种天文现象。1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次。问题讨论：天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？ 原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运

3、行轨道的方程，从而算出它运行的周期，预测它接近地球的时间。来源：全,品中&高*考+网由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？这就是我们今天要学习并探究的问题椭圆的标准方程。设计目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题。新课讲授1复习回顾：上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦

4、点的距离叫做椭圆的焦距学生体验请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作根据上节课讲的方法在纸上画出椭圆的图形。目的：通过复习已有知识，为后面分析椭圆的标准方程作好铺垫；以旧知识来营造一个学生熟悉的学习环境，调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣；给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解；培养学生的自信心、成就感。来源：全,品中&高*考+网2标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（必修2中建系、设点、列式、化简）来源：全,品中&高*考+网问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？（坐

5、标法的合理运用）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点P到F1、F2的距离的和为2a ( 2a2c )。方案1：如图，焦点落在x轴上建系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy；设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为；列式：依据椭圆的定义式|PF1| + | PF2| = 2a 列方程，并将其坐标化为目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢

6、？化简：通过移项、两次平方后得到：，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可的椭圆的标准方程为：此处b的引入是一个桥梁，也是有其特殊意义的，后面的学习中，我们会进一步研究其几何意义。先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则，总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方。方案2：如图，焦点落在y轴上 试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？提示：因为这时x轴与y轴交换，所以只要把方程上的x 与y交换，焦点在轴上时，椭圆的标准方

7、程是：（）其焦点，焦距为2c；来源：全,品中&高*考+网请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程；令渗透数学对称美，简洁美教学提出问题：怎样根据标准方程，确定焦点在哪条坐标轴上？求椭圆的标准方程，需要知道哪些量？根据学生讨论研究，让同学们完成下表 位置焦点在x轴上焦点在y轴上不同来源：全,品中&高*考+网点来源：全,品中&高*考+网标准方程来源：全,品中&高*考+网来源：全,品中&高*考+网来源：全,品中&高*考+网来源：全,品中&高*考+网图 形焦点坐标相同点定 义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于

8、常数（大于F1F2）的点的轨迹a、b、c的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上强调：是；是；方程“型”与曲线“形”的对应。3问题研究：（一）学生口答训练： ，则 , ； ，则 , ； ，则 , 。再设问：以上的椭圆对应的焦距是多少？（利用研究2c）目的：使学生迅速进入到紧张的练习氛围中去。（二）课堂探究题:下列方程是否表示椭圆,为什么?(1);(2) ;(3) ;(4) .课后思考题：方程Ax2+By2=C中，A、B、C满足什么条件，方程可以表示椭圆？目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象，加强对知识的理解。（三）典型例题研究：例1：已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭

9、圆的标准方程。解：（学生分析）焦点在x轴时椭圆的标准方程为：焦点在y轴时椭圆的标准方程为： 自主探究：根据已知条件，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程 ； ； ； 目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。例2：已知椭圆的焦点坐标是，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程。由学生讨论分析，解决本题（待定系数法的科学运用，字母的特点）。自主探究：已知椭圆的焦点坐标是，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程。由学生自主思考，独立完成。例3：已知

10、一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程解： 以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为： 根据题意知，即，所以 ， 因此，这个椭圆的标准方程为： 目的：进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系； 掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； 培养学生运用知识解决问题的能力。（四）课堂练习反馈：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： ，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上；求下列椭圆的焦点坐标： ； 通过多

11、媒体反馈学生完成的情况，及时评价，提高学生对知识的理解和初步运用能力，让学生在数学知识的探索中体验成功的喜悦。能力拓展题：求适合下列条件的椭圆标准方程：（定义和待定系数法的运用） 两个焦点分别是F1，F2，且过点P； 经过点和分析： 所以, ,因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为.这个椭圆的标准方程可设为 (其中m,n为不等的正数)经过点和,所以m=4,n=9,所求方程为目的：熟悉巩固知识、运用知识。课堂小结（启发引导学生进行归纳整理；利用幻灯片展示归纳结果；对学生主动学习的态度及方式给予肯定；强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度.）椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的对应；用坐标法研究曲线；用运动变化的观点分析问题课后作业课本课后习题1、2（1）（2）必做；2（3）（4）选做补充探究题：已知定圆Q：，动圆M和已知定圆内切,且经过于点P（3，0），分析圆心M的轨迹及其方程。研究性作业：查找资料、搜集数