方向导数与梯度（课堂PPT）

1、.1方向导数与梯度方向导数与梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行.2

2、一、方向导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一沿某一方向的变化率问题方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlP xyP.3 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考虑考虑当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的的方方向向导导数数沿沿方

3、方向向则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( .4记为记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿着沿着x轴负向、轴负向、y轴负向的方向导数是轴负向的方向导数是 yxff ,.方向导数的几何意义方向导数的几何意义 ),(),(lim),

4、(0000000yxfyyxxflyxfx .5 yyyxxx 00过直线过直线 作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为所交的曲线记为 C C上上考考察察在在 对对应应的的方方向向与与lPP0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示C 的割线向量的割线向量 的的交交角角的的正正切切值值与与lPP0即即的的斜斜率率关关于于lPP0时时当当0 ),(),(0000yxyyxx 即即割线转化为切线割线转化为切线.6上式极限存在就意味着当点上式极限存在就意味着当点),(00yyxx ),(00yx趋于点趋于点 曲线曲线C在点在点 P

5、0 有唯一的切线有唯一的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率l就是方向导数就是方向导数),(00yxlf LCM0TP0PMl.7证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到.8 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点 )0 , 1(P到到点点)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数.9解解这

6、这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向导导数数 lz)4sin(2)4cos( .22 .10解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于

7、0.11推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数 ，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其其中中222)()()(zyx ）设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z 同同理理：当当函函数数在在此此点点可可微微时时，那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向导导数数都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf .12解解令令, 632),(2

8、22 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos .13PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 故故PPzuyuxunu)coscoscos( .711 .14二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于

9、每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由由方方向向导导数数公公式式知知.15sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时时，lf 有最大值有最大值. 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点

10、的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf P.16当当xf 不不为为零零时时，x轴轴到到梯梯度度的的转转角角的的正正切切为为xfyf tan),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为

11、等高线上的法向量等高线等高线.17等高线的画法等高线的画法.18例如例如,图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin .19等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图.20梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度

12、的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(.21此时此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的导数，这个法线方向就是

13、方向导数取得最大值的方向。方向。.22梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 三三元元函函数数),(zyxfu 在在空空间间区区域域 G 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点GzyxP ),(，都都可可定定义义一一个个向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.23类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的

14、等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.24例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)2

15、4()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.25例例5 求函数求函数)(12222byaxz 沿曲线沿曲线12222 byax在点在点)2,2(ba处处的内法线方向的方向导数的内法线方向的方向导数解一解一用方向导数计算公式用方向导数计算公式 即要求出从即要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在12222 byax两边对两边对x 求导求导02222 dxdybyax.26解得解得yaxbdxdy22 abdxdyM 0（切线斜率）（切线斜率）故法线斜率为故法线斜率

16、为ba tan内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzMM2,200 .27 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值值, 即梯度是函数在这点增长最快的方向即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，从等高线的角度来看，f ( x , y

17、) 在点在点 P 的梯度的梯度 .28方向与过点方向与过点P 的等高线的等高线 f ( x , y ) = C 在这点在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxfz 等高线为等高线为f ( x , y ) = C 即即Cbyax 12222212111CCCC 若若椭圆椭圆122221Cbyax 222221Cbyax 大于椭圆大于椭圆因此因此12222 byax在点在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方向处的内法线恰好是梯度方向.29故故22)()(|yzxzgradzl

18、z Pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 方向导数存在偏导数存在 可微.30三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系.),(最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数yxf思考题思考题讨论函数讨论函数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？.31思考题解答思考题解答xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.32练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 ,