北大版金融数学引论第二章答案,DOC

1、版权所有，翻版必究第二章习题答案1 .某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算Xo解：S=1000so?p7%+XSio?p7%V_50000-1000s20?p7%_X=65172S10?P7%2 .价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X,则有解得10000=X+250a48?p1.5%X=1489.363 .设有n年期期末年金，其中年金金额为n,实利率i=-1。试计算该年金的现值。n解：PV=na?nPin

2、1-v=nJn二(n+1)nn2-nn+2一(n+1)n4.已知：a?nP试用X和Y表示d=X, a2?nP= Y 。解：a2?nP= a?nP+ a?nP (1 - d)则5.已知：a?7P=5.58238, a?= 7.88687, Sh?P= 10.82760。计算 i。解:sii8?p = a? 7p + a11? pv解得i = 6.0%6证明：11-V 10S10?p +acx?p o S10?P证明：Sio?p+a0°?p(1+i)10-l+J1So?p(1+i)10-1=1-v10i一7 .已知：半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元

3、，然后减为每次100元。解：PV=100a?8P3%+100a20?p3%=2189.7168 .某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000t£,共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%,后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日100025?p8%=X=5?p7%解得X = 8101.659 .已知贴现率为10%,计算2P解：d = 10%,则 i 1-d _ 110 .求证：(1) ?np = a?nP + 1 -vn;(2) ?np = s? -nP 1 + (1 + i)

4、n 并给出两等式的实际解释。证明：(1) ?np =vn=un=n 1+i所以Tnp = a?np + 1 - v n(2) ?：p =(1+i)二 1(1+i)n1 = (1+i)n-1n- 1=id1+ii + (1 + i)所以？np = S? -np 1 + (1 + i)n1 二9?8P = (1+ i)i+ 1 /n=5.695312从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%,计算：1)该年金在1979年9月7日的现值；2)该年金在1992年6月7日的终解：PV=100a9?p1.5%-100a?2P1.5%=3256.88AV=100

5、s49?p1.5%-100s?2P1.5%=6959.3713现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y,在第1120年中没有。已知：v10=，计算Y。2解：因两种年金价值相等，则有a0?pi+a10?piv10=Ya30?-piYa10?piv10所以Y=3-y10L2v30=1-1+V10-2V30.814 .已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，23?4+3a?npi=362a?

6、npivn=6解得i=8.33%a?7P_a?3p+s?p15 .已a1?)=aY?p+Sz?p。求X，Y和z。解：由题意得v=(1+i)Xv31-v11(1+i)z-vy解得X=4,Y=7,Z=416化简a/p(1+v15+v30)。解：a5?p(1+v15+v30)=a45?p17 .计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P4.5%2000=46444.44,贝U=.5%PPV=(1+)2+=41300.65718 .某递延永久年金的买价为P,实利率i;写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t,有1P=iv

7、t解得t=-ln(1+519 .从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X,直至永远。计算X。_解：设年实利率为i,由两年金的现值相等，有一X100Q-2Q?pi=.vi解得X=1000(1+i)30-(1+i)10)20 .某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n0解：设遗产为1,则永久年金每年的年金方i,那么A,B,C得到的遗产的现值为1,而d得到遗产的现值为vno由题意得3a?nPi1-vn=v3所以(1+i)n=421.永

8、久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49,求B与D的份额之比。北京大学数学科学学院金融数学系第3页版权所有，翻版必究解：由题意知那么P Vc 二 a?nPP Va=0.49P Vbv2na?nP=0.61a?nPP Vdvn13n-vi22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解:解得n = 17100a?np4.5%v4<1000100an+1?p4.5%V4>1000列价值方程解得

9、100a16?P4.5%+Xv21=1000X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n0解：两年金现值相等，则4总6?r5X18,可知v18=0.25由题意，(1+i)n=2解得n=924 .某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算k。解：由题意可得方程100aO?p1%=6000(1+i)-k解得k=2925 .已知a?2Pi=1.75,求i。解：由题意得1-v2=1.75i解得i=9.38%26 .某人得到

10、一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解:版权所有，翻版必究北京大学数学科学学院金融数学系第7页27 .某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元,且第十年底的余额为一万元，计算Ko解：由题意可得价值方程10000=105Ka?2P4%v3+Ka?2P4%+10000V10贝UK=-10000-10000V10105a?2P4%v3+a?2P4%v5=979.9428 .贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额

11、为后面还款的一半，前四年半的年利率为i,后面的利率为jo计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P(1+i)2=X+2Xa?4pi+2Xa?5pj(1+i)-4所以P(1+i)12X=1+2a?4pi+2a?5Pj(1+i)-429 .已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30 .计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。(缺命令)解：PV=4400+4600v5=11466.1431 .已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表

12、达式。解：32 .给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：P V =a24?PiV3=S?4P(1+)-1=a?-pa?4P(1+i)27(1+i)4-1s?3P+s?1P33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%,求R的表达式。解：设年实利率为i,则(1+2%)2=1+io有题意得750+ 750= Ra30 pi解得解：由题意知解得1 = 125版pi 9i = 20%R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。35 .已知：1元永久期

13、初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算Ro解：由题意得解得120 = da?2pi iR = 1.9536 .已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。1解：设贴现率为d,则1=1+i2(1-d)12设递延时间为t,由题意得10000=2500vt/p1解得t=ln20+ln(1-(1-d)ln(1-d)37 .计算：3a?np=2a2?np=ia?m = 45 >T s?1pi ii2i245s?ip,计算i。解：i一3-X?npi2X解得：vn=1i=1/2'3038 .已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值

14、：现在开始每4个月付款1元，共12年。(问题)解：39 .已知：6t=工。求？p的表达式。解：/?p=e-r0t§dsdt=ln(1+n)-no40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。vtdt =o解：第一种年金的现值为第二种年金的现值为e-s贝U所以t=1+1-M41.已知：6=0.08计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。(结果和李凌飞的不同)解：设季度实利率为io因a(t)=e”则e14s=(1+i)所以=4030.531-v80PV=10080?pi=100(1+i)i42.现有金

15、额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i,则i=es-1设基金可维持t年，由两现值相等得解得40000=2400a?tPit=2843 .已知某永久期末年金的金额为：1,3,5,.。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。一，13解：由题息：11(1+i)6=(i+i)7?i=112PV=v+3v2+.+(2n-1)vn+.=v1+PV+2(v+v2+一)=v(1+PV+1?2v解得:PV=6644 .给出现值表达式Aa?nP+B(Da)n所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25

16、年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n-1)B,.,A+2B,A+B所求为25a5?p+3(Da)25|45 .某期末年金(半年一次)为：800,750,70Q.,350。已知半年结算名利率为16%。若记：A=a1°?p8%,试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2X(10-A)300a10?p8%+500(Da)10|8%=300A+i(2)=6250-325A46 .年利率8%的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5%0计算第十年底的余额。解：由题意：AV=1000s?5

17、P8%(1+8%)6+(10001.05K085+=100 (1 + 8%)5 - 08%1000XI.052X1.084+10001.055X1.08)1$51.086+1000X.05K0851.(8)°51皤=16606.7247.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为：100金融数学系i - vd第9页版权所有，翻版必究解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金.。从而PV=v4200H=100v411=100_vli - vdia?2pii48.十年期年金：

18、每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元证明其现值为：1600；0?P(I(4)T4)1|元证：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=1,R=100m2=1600从而每年初当年的年金现值：1600(1(4)(4)元1|再贴现到开始时：1600,10?p(I(4),)(4)1|元49 .从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利率8%,计算现值。解：半年的实利率：j=(1+8%)12-1=3.923%/U3,1.032一+1+j(1+j)21.03=(1-1+j)-1=112.5950 .某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9

19、个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：6000?4P_'(12)9/121证：首先把9个月的支付贴现到年初：m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值：6000(12-9/12|贴现到当前：6000?4P_(12)9/121北京大学数学科学学院金融数学第10页系版权所有，翻版必究51 .现有如下的永久年金：第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R;第三个k年每年底还3R;依此类推。给出现值表达式。解：把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n=0,1,2,）:每个年金的值为Ra-?p在分散在每个k年的区段里：Ran殳I再按标准永久年金求

20、现值：R缸）2aki52 .X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1,2,3,的现值。计算贴现率。ii X =i 1+i120X = (1 + 一一i+i2)(1+i)2解：由题意:解得：i=0.05即：d=i1+=0.0476253 .四年一次的永久年金：首次 案有出入1元，每次增加5元，v4= 0.75,计算现值。与原答解：（期初年金）P V = 1 + 6v4+ 11v9+ 一 =（期末年金）23°(5n - 4)v (4n-4)= i=15-4 = 64 (1 - v 4)21 - V4P V59.5587=v + 6v

21、5+ 11v10 + = v P V54 .永久连续年金的年金函数为 金现值。与原答案有出入:（1 + k）t,年利率i,如果：0 < k < i ,计算该年解：由于0 < k < i ,故下列广义积分收敛二J 0°P V = 0 (1 + k) te- 8 dt=00 1 + k0 ( 1 + i )tdt=ln(1 + i) - ln(1 + k)北京大学数学科学学院金融数学系第11页55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t2-1,利息力为(1+t)-i,计算该年金现值。与原答案有出入解:J 1P V = exp(-0 E dt)(t2-1) exp(

22、-11Tds)dt = 47.4356.给出下列符号的表达式：解:由(Ia)ti表达式有:一(la"t=1E(Da)tit=i(Ia)tit=intvtntP?-tvit=i1 Ei Ei t=i1 Ei t=i(1 + i) - v t-i-1i (喇展开求和即得由(Da)ti表达式有:t=ii21 t=1i n(1 + i) - 2 ?p + nvnEt - a? tP(Da)tit=i1 Et=i t=i ii n(n + i)-(n - a? nP)i2(n+1)-n+a?nPi2递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利率。北京大学数学科学学院金融

23、数学系第12页版权所有，翻版必究解：年金现值分别为:P Va =P Vb =P pa«?pi"-i q q q(Ia匕 i = j + 而(1)当 P Va= P Vb时有:ip = iq + q解得:i=q P-q p > qi不存在，p & q(2)令 f(i) = pi-i - iq2f0(i) = -p-q-qi2+i2 + 2 i3= 0北京大学数学科学学院金融数学系第13页解得：ip-qp>q2=_q58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以

24、年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率？下面的计算年利率i=5%)(与原答案有出入)解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为:104104104PVi=2*1+(j0)9+(j0)18+(10)27555用15年一周期的产品，则有支付的现值为二一1.041.04PV2=(2+X)伙+(1.0)15+(1.0)30由PV1=pV2有：X=0.69925559 .计算m+n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%,后n年年利率11%,Sm?p7%=34,s?m11%=128。解：由S2p的表达式有：(1+0.11)n=0.11S?np11%+1AV=Sm?p7%(1+0

25、.11)n+S?np11%=Sm?p7%X(0.11S?np11%+1)+S?np11%=640.7260 .甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.43E,共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利U大入、从第11年底开始每年每股分得红利0.83E,如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。解：设X为买价，有价值方程：0.4s0?

26、p6%+2=0.8Sn-10|6%+X(1+0.06)-(n-10)从而有：X=(0.4S10?p6%+2-0.8s二10|6%)(1+0.06)(n-10)5.22n=15解得：X=2.48n=2061 .某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解：由题意：AV=100000(1+4%)20+5000s20?p4%-12000(1+4%)s20?P4

27、%=109926.021s?2p4%S?2P4%62 .已知贷款L经过N(偶数)次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为Ki,试比较Ki与2K的大小。解：由题意：1Ka?pi=Ka2m?pi?K产K1+(1+i)m<2K63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。解：由题意：N_1+N2KaM?KaN?pi?v=v>v22即：M<N/2版权所有，翻版必究64 .从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%,问:什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。解：半年实利

28、率：i=(1+6%)1/2-1=2.9563%余额首次超过X的时刻：5002n>X8X=10000从而解得：n弋35X=10000065 .帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐户Ao解:由题意，设所求时间为n:100010p5%<500?nP5%解得：n-1)30在2015年的元旦B超过A。66 .已知A=Sn|i,B=Sn+1|i0用A和B给出n和i的表达式。解：由=(1+i)三1得：(1+i)A=B-1i2ln(A+1)B2-A-1心)Ai的表达式：从而i=

29、b-a-iA带入s/a解得：n=67 .分别对以下三种情况给出1)A=a?nPi,B=S?nPi2)A=a?npi,B=a2?npi3)A=a?npi,B=S2?npi解：1)Bvn=A?i=nB2)ia?nP +Wi= 2 ? i =a23)v、b= A + vnA ? i ="AB?V 2BA+A2+4AB - 1在-1< i <1上有唯一解68 .对于固定的n和L,且L>n,证明：L=a?np版权所有，翻版必究证：(斯图姆判别？)考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率i满足L=a?nPi由于现金流只改变一次方向，从而

30、由笛卡儿符号法则有，在-1<i<1,有唯一的内部收益率。69 .证明：(Ia)npi+(Da.=(n+1)3-3+地后加4+1)。并给出实际背景解释。n,n-1,.；1证：1) ?1)实际意义：现金流拆分(n+1),(n+1),一,(n+1,2,n(Ia)nPi+ (Da)i=？npnvn+-a?nPii=a?nP(拉)+n(1-vn)i=(n+1)a?nP2)实际意义：终值是本金(n+1)和利息利滚利i(Is)npi的结果:s+1j-(n+1)i(Is)pi+(n+1)=ii+(n+1)=S+1|70 .当i>0,n>0时，有：(Ia)nPi<(n+1)/2a?

31、nPi<(DaM证：由69题有:(Ia)nPi+(Da)nPi/2=(n+1)a?nP，2从而，只要证：(Ia)nPi<(Da)_nPi(?)注意到:(DaQ-(Ia)nPi?(n-1),(n-3),-(n-3),-(n-1)这年金前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(？)成立。71 .某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划，当时年收入为18,000元，然后每年以4%的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%;年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。2如果企业和个

32、人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。解：1)平均工资：$=18000(1+1.04+-+1.0436)/37=39747.04退休前一年的工资：18000X(1+0.04)36=73870.79法一：年退休金：0.7$=27822.93，比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$>37=36766.01，比例为：49.77%2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：P =1800026>6%X(1+4%)t(1+6%)36-t=235871.7t=0设年退休金为R,则有:R?nP6%<P解得：n=12第

33、一种方式8第二种方式72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此类推；第n年初1+2+>+n元。证明该年金的现值为5(I匕。解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，-，从第n年出发的n份标准永久年金>-。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流：_p,2叩,.一，n_3P,.其现值即为原年金的现值：三(I匕。73.已知连续年金函数为f(t),0时刻的年金为F。，利息力弓如果用Ft表示时刻t的年金终值，证明：dFr=6t+f(t)dt证：由定义广广1) i)Ft=f(s)e(t-s)ds=et8f(s)e-s)ds00k/dFtdt=匠。f(s)e-8ds+f(t)=t+f(t)74 .A从B处借得10,000元，年利率4%,计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B希望立即收回所