弹塑性力学1应力分析

1、弹塑性力学李凯李凯使用教材及参考书目v使用教材：工程弹塑性力学 杨伯源等编，机械工业出版社应用弹塑性力学 徐秉业等编，清华大学出版社v参考书目：弹性力学徐芝纶编，高等教育出版社塑性力学引论王仁等编，北京大学出版社课程内容简介v基础理论篇第1章 应力分析第2章 应变分析第3章 弹性与塑性应力应变关系第4章 弹性与塑性力学的解题方法v工程应用篇第5章 厚壁圆筒的分析第6章 旋转圆盘的分析第7章 轴的扭转第8章 薄板的分析第9章 热应力第10章 结构的塑性极限分析绪 论v 研究对象和任务v 基本假设v 基本方程与基本解法1 研究对象和任务v学科分类及研究对象v轴向拉伸实验v本课程的任务学科分类及研究

2、对象v弹塑性力学是固体力学的一个重要分支。理论力学，分析力学等：研究力及其与运动的关系。材料力学，结构力学，弹塑性力学，断裂力学等：研究固体材料变形，流动和断裂时的力学响应。v 轴向拉伸实验（低碳钢）OBOB段：段：弹性阶段弹性阶段BCBC段：段：屈服阶段屈服阶段CDCD段：段：强化阶段强化阶段DEDE段：段：局部变形阶段局部变形阶段比例极限比例极限屈服极限屈服极限强度极限强度极限psbpe总应变总应变卸载特征卸载特征OAB CE2 基本假设1. 连续性假定连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 该假定在研究物体的

3、宏观力学特性时，与工程实际吻该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。作用：作用： 使得使得、u 等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。),(zyx),(zyxuu ),(zyxxx保证保证ssQslim0中极限的存在。中极限的存在。2. 均匀性假定均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结

4、果可应用于整个物体。3. 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；金属金属 上述假定符合较好；上述假定符合较好；木材、岩石木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；上述假定不符合，称为各向异性材料；4. 小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。位移远远小物体的原来的尺寸。作用：作用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量

5、；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。使求解的方程线性化。在外力作用以前，物体内各点应力均为零。在外力作用以前，物体内各点应力均为零。5. 无初始应力无初始应力以上基本假定为本课程讨论问题的基础，针对具体问题以上基本假定为本课程讨论问题的基础，针对具体问题提出的假定在相关问题描述中给出。提出的假定在相关问题描述中给出。3 基本方程与基本解法 基本方程简介 基本解法简介几何学方面几何学方面 建立位移和应变之间的关系。建立位移和应变之间的关系。几何方程，位移边界条件几何方程，位移边界条件运动学方面运动学方面 建立物体的平衡条件。建立物体的平衡条件

6、。运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。物理学方面物理学方面 建立应力与应变之间的关系。建立应力与应变之间的关系。本构方程本构方程对于动力学问题，还要给出初始条件。对于动力学问题，还要给出初始条件。弹塑性力学的基本方程 弹塑性力学的基本解法：弹塑性力学的基本解法：根据基本方程求解根据基本方程求解精确解法精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。即能满足弹塑性力学中全部方程的解。近似解法近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假即根据问题的性质，采用合理的简化

7、假设，从而获得近似结果。设，从而获得近似结果。有限元数值分析方法有限元数值分析方法它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复杂的物理关系都能算出正确的结果。杂的物理关系都能算出正确的结果。第1章 应力分析v 应力状态v 三维应力状态分析v 三维应力状态的主应力v 最大剪应力v 等倾面上的正应力和剪应力v 应力张量的分解v 平衡微分方程1-1 应力状态v单向应力状态分析v平面应力状态分析v 单向应力状态分析P1P2P3P4SyzxoP应力应力 单位面积上的内力单位面积上的内力正应力正应力：与截面垂直与截面垂直剪应力剪应力：与截面相切与截面相切SPpS0l

8、imdSdP轴向拉伸的等截面直杆轴向拉伸的等截面直杆 横截面横截面0,SP平面假设平面假设均匀分布均匀分布 斜截面斜截面coscosSPSPp总应力总应力2coscos p正应力正应力cossinsin p剪应力剪应力PPp0, 02,2,40, 0,2v 平面应力状态分析xyxyxyxyScosSsinS静力平衡静力平衡方程方程斜截面法向斜截面法向斜截面切向斜截面切向cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(SSSSSxyxyyxcos)cos(sin)sin(cos)sin(sin)cos(SSSSSxyxyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx 斜截面上的

9、应力：斜截面上的应力：消去消去2222)(41)(21xyyxyx),(xyx),(yxyo02主平面方位：主平面方位：2cos2sin)(21xyyx21主应力大小：主应力大小：yxxy22tan02221)2(2xyyxyx应力圆应力圆v1-2 三维应力状态分析yxyzoxz正应力正应力 图示单元体面的法线为图示单元体面的法线为y,y,称为称为y y面，应力分量垂直面，应力分量垂直于单元体面的应力称为于单元体面的应力称为正应力正应力。 正应力记为正应力记为y y , ,沿沿y y轴的正向为正轴的正向为正, ,其下标其下标y y表示所表示所沿坐标轴方向。沿坐标轴方向。剪（切）应力剪（切）应力

10、 平行于单元体面的应力平行于单元体面的应力称为称为切应力切应力，用，用yxyx 、yzyz表示，其第一下标表示，其第一下标y y表表示所在的平面，第二下标示所在的平面，第二下标x x、z z分别表示沿坐标轴的方向。分别表示沿坐标轴的方向。如图示的如图示的yxyx、yzyz。xyzoyzyzyxyxyxyzo符号规定：符号规定：正面和负面正面和负面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，则该面为负面。则该面为负面。正面正面正面NNN应力的符号应力的符号：正面上的应力

11、沿：正面上的应力沿坐标轴正向为正，沿坐标轴的坐标轴正向为正，沿坐标轴的负向为负；负面上的应力沿坐负向为负；负面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐标轴的正标轴负向为正，沿坐标轴的正向为负。即：向为负。即： “ “”“”； “ “”“” “ “”“”； “ “”“”xyzoxy yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab 可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材料力学的符号一致。料力学的符号一致。yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz

12、xz ab正、负面上，正、负面上，正正的应力分量的应力分量正、负面上，正、负面上，负负的应力分量的应力分量弹性力学材料力学 注意弹性力学切应力符号和材料注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。邻两面的的符号是不同的。 在画在画应力圆应力圆时，应按材料力学的时，应按材料力学的符号规定。符号规定。xy yx yx xy 切应力互等定律切应力互等定律即即xyxy yxyx , ,yzyz zy zy , , zxzx xzxz证明：连接六面体前后两面证明：连接六

13、面体前后两面中心的直线中心的直线abab为矩轴，列出为矩轴，列出力矩平衡方程：力矩平衡方程：02222 zxyyxzzyyz 同理可得：同理可得：得：得：zyyz xzzxyxxy ,yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。10040804050608060120 xyxzxxyyzyxzyzzzoxy10080406050401206080应力的概念举例yzxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzp斜截面斜截面的法线的法线v与坐标轴与坐标轴正向夹角余弦：正向夹角

14、余弦：nzvmyvlxv),cos(,),cos(,),cos(四面体平行于坐标轴的棱四面体平行于坐标轴的棱边长度为边长度为dx，dy，dz斜截面的面积为斜截面的面积为dS静力平衡方程静力平衡方程0212121, 0dSpdxdydzdxdydzFvxzxyxxxndSdxdymdSdzdxldSdydz21,21,21斜截面斜截面上的应力分量上的应力分量zxyxxvxnmlpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp如果作用在物体表面上的外面载荷用如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表表示，而斜面为边界面，此时上式中示，而斜面为边界面，此时上式中的的Pvx, ,Pvy, ,Pv

15、z都都换成换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为，则上式亦可作为应力边界条件应力边界条件。斜截面上的应力斜截面上的应力分量计算公式分量计算公式yzxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzp222vzvyvxvppppvzvyvxvnPmPlPzxyzxyzyxnlmnlmnml22222222vvvp总应力总应力正应力正应力剪应力剪应力yzxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzpv1-3 三维应力状态的主应力主应力和主方向的概念v只有正应力而无剪应力的 斜平面为主平面v主平面上的正应力 = 主应力v 主平面的法线方向n = 主方向可以证明，主应力是斜截面上正应力的极值可以证明，

16、主应力是斜截面上正应力的极值yxzov设以设以v表示主应力平面的表示主应力平面的方向，而方向，而v表示主应力。表示主应力。vvzvvyvvxnpmplp,0)(zxyxvxnml0)(zyvyxynml0)(vzyzxznml1222nmlzxyxxvxnmlpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp斜截面上的应力斜截面上的应力分量计算公式分量计算公式yxzov设以设以v表示主应力平面的表示主应力平面的方向，而方向，而v表示主应力。表示主应力。1222nml0vzzyzxyzvyyxxzxyvx032213IIIvvv321,iiinml,应力不变量应力不变量zyxI12222zxyzxy

17、xzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI当坐标变换时，应力不变量的值是不变的当坐标变换时，应力不变量的值是不变的。一旦应力状态确定后，其主应力便已确定，当坐标变换时，一旦应力状态确定后，其主应力便已确定，当坐标变换时，虽然每个应力分量都将随之变化，但主应力的值是不变的。虽然每个应力分量都将随之变化，但主应力的值是不变的。所以所以Ii的值是不变的。的值是不变的。（尝试证明）（尝试证明）322212nmlvzvyvxvnPmPlP2222vzvyvxvpppp22332222212vvnml1222nml)()(312132212vvvl)()(123213222vvvm)(

18、)(231321222vvvn设设321000000000三向应力状态应力圆三向应力状态应力圆坐标轴为主方向2312231)2()2(vv2221212()()22vv2222323()()22vv三向应力状态应力圆三向应力状态应力圆以斜截面上的正应力以斜截面上的正应力 N为横坐标，剪应力为横坐标，剪应力 N为纵坐标，应力点为纵坐标，应力点在阴影部分内在阴影部分内应力点在应力点在C1圆以外圆以外应力点在应力点在C3圆以外圆以外应力点在应力点在C2圆以内圆以内三向应力状态应力圆三向应力状态应力圆o213231max最大剪应力最大剪应力max? 例题已知受力物体中某点的应力分量为：已知受力物体中某

19、点的应力分量为：aaaazxyzxyzyx2, 0,2, 0试求作用在过此点的平面试求作用在过此点的平面 x+3y+z=1 上的沿坐标轴方上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。解：解： 平面平面 Ax+By+Cz=D 的法线的方向余弦为的法线的方向余弦为111113111222222222CBACnCBABmCBAAlanmlpzxyxxvx508. 1anmlpzyyxyvy111. 2anmlpzyzxzvz905. 0anPmPlPvzvyvxv637. 0apppvvzvyvxv771. 0)(2222? 例题已知受力物体

20、中某点的应力分量为：已知受力物体中某点的应力分量为：0,60,20,70,80,50zxyzxyzyxaaaaa试求主应力分量及主方向余弦。试求主应力分量及主方向余弦。解：解： 应力不变量为应力不变量为33221432000,9100,60aIaIaI04320009100603223aaaxa1000432. 091. 06 . 023xxx432. 0,91. 0, 6 . 0, 1dcba2 . 03yabyx0234. 003. 13yy利用求根公式（参考数学手册）利用求根公式（参考数学手册）241. 0,114. 1,837. 0321yyyaaa4 .911 .443 .10732

21、10)(zxyxvxnml0)(zyvyxynml0)(vzyzxznmla3 .1071代入代入中任意两式中任意两式1222nml305. 0,900. 0,314. 0111nml146. 0,282. 0,948. 0222nml940. 0,337. 0,048. 0333nml1-4 最大剪应力222vvvp2322212332222212nmlnml2221mln233223123323222232122)()()()(mlmlv求求v的极值的极值0, 022dmddldvv剪应力的极值剪应力的极值主坐标主坐标下斜截面上的剪应力下斜截面上的剪应力321000000zxyxxvxnm

22、lpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp斜截面上的应力斜截面上的应力分量计算公式分量计算公式vzvyvxvnPmPlP233223123323222232122)()()()(mlmlv求求v的极值的极值0, 022dmddldvv0)()()( 2)(31332231223212lmll0)()()( 2)(32332231223222mmlm0)()( 2)(32231231lml0)()( 2)(32231232mml0)()( 2)(32231231lml0)()( 2)(32231232mml满足表达式的解有四种情况：满足表达式的解有四种情况：1, 0, 0) 1 (nml0

23、v0, 0)2(ml2222131323210)21)(231l021,21nl21, 0) 3(nml21, 0)4(mln21, 0nml21, 0mln21, 0nlm极值剪应力所处的平面位置：极值剪应力所处的平面位置：yxzyxzyxz451-5 等倾面上的正应力和剪应力正八面体理学院力学与工程科学系正八面体构成正八面体的定义v每个卦限一个面 = 八面v每个面的法线与坐标轴等角任意一个面上的法线方向余弦321nnn1232221nnn1321n31321nnn1222nmlnml31)(313213210vvvnPmPlP213232221220)()()(31vvp等倾面上的正应力等

24、倾面上的正应力等倾面上的剪应力等倾面上的剪应力3,3,3333222111npmplpvvv应力强度（等效应力）应力强度（等效应力）2132322210)()()(2123i表征物体受力程度的参量表征物体受力程度的参量1-6 应力张量的分解v张量：张量：在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。v应力张量：应力张量：一点应力状态是由三个互相垂直的坐标一点应力状态是由三个互相垂直的坐标面上的六个独立的应力分量（或三个主应力）来表面上的六个独立的应力分量（或三个主应力）来表示。这组量的集合称为应力张量。示。这组量的集合称为应力张量。zzyzxyzyyxxzxyxi

25、j剪应力互等剪应力互等xzzxzyyzyxxy,ij是二阶对称张量是二阶对称张量000000000000zzyzxyzyyxxzxyx)(313210平均应力：平均应力：球形应力张量：球形应力张量：各向均匀受力状态，也称为各向均匀受力状态，也称为静水压力静水压力状态，引起物体状态，引起物体体积体积的改变。的改变。应力偏量：应力偏量：将原应力状态减去静水压力状态，引起物将原应力状态减去静水压力状态，引起物体体形状形状的改变。的改变。ijsijijijs0)(0)(1jijierKronecij符号k1-7 平衡微分方程yxzxzxyzyyxzxyzdzzzzdzzzxzxdzzzyzydyyyydyyyxyxdyyyzyzdxxxxdxxxzxzdxxxyxyxzydydxdz静力平衡方程静力