第2章 阶段复习课　平面向量

1、.第二课平面向量核心速填1向量的运算设ax1，y1，bx2，y2向量运算法那么或几何意义坐标运算向量的线性运算加法abx1x2，y1y2向量的线性运算减法abx1x2，y1y2数乘1|a|a|；2当>0时，a的方向与a的方向一样；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0ax1，y1向量的数量积运算a·b|a|b|cos 为a与b的夹角规定0·a0数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积a·bx1x2y1y22.两个定理1平面向量根本定理定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2

2、，使a1e12e2.基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2向量共线定理向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设ax1，y1，bx2，y2，ab有唯一实数使得baa0x1y2x2y10aba·b0x1x2y1y20体系构建题型探究平面向量的线性运算1向量a2,1，b3,4，那么2ab的结果是A7，2B1，2C1，3 D7,22设D为ABC所在平面内一点，那么3，那么A. B.C. D.1A2D1a2,1，b3,4，2ab22,13,44,23,443,247，2，应选A.23，3，23，AB.规律方法向量线

3、性运算的根本原那么和求解策略1根本原那么：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法那么、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.2求解策略：向量是一个有“形的几何量，因此在进展向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.字符表示下线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法那么，如=；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如=.平行向量共线向量、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进展恰当地应用.注意常见结论的应用.如ABC中，点D是BC的中点，那么=2.跟踪训练1A2,4，B3，1，

4、C3，4，设a，b，c.1求3ab3c；2求满足ambnc的实数m，n. 【导学号：64012146】解1由得a5，5，b6，3，c1,813ab3c35，56，331,81563，153246，422因为mbnc6mn，3m8n，ambnc，所以，解得平面向量数量积的运算1如图2­1所示，在平面四边形ABCD中，假设AC3，BD2，那么·_；2在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，那么·的取值范围是_图2­1解析1由于，所以.··|2|2945.2以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建

5、立平面直角坐标系如下图，那么C0,0，A2,0，B0,2，所以直线AB的方程为xy20.设Mt,2t，因为MN，所以Nt1,1t0t1，所以·tt12t1t2t22t222.因为0t1.所以·的取值范围为.答案152规律方法向量数量积的两种运算方法,1当向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b|a|b|cosa，b.2当向量的坐标时，可利用坐标法求解，即假设ax1，y1，bx2，y2，那么a·bx1x2y1y2.,运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵敏选择相应公式求解.跟踪训练2两个单位向量e1，e2的夹角为，假设向量b1e12e

6、2，b23e14e2，那么b1·b2_.解析 b1·b2e12e2·3e14e23e2e1·e28e32×1×1×86.答案6向量的夹角及垂直问题探究问题1怎样求两个不共线向量的夹角？提示：对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点一样，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角2两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？提示：两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为0°，180°，而后者的取值范围为0°，90°这一点经常容易混淆，一定要注意3用数量积

7、判断两向量夹角时应注意什么？提示：当0°时，有a·b>0，此时a与b共线且同向，即a·b>0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当180°时，有a·b<0，但a·b<0，不能说向量的夹角一定为钝角三个点A2,1，B3,2，D1,41求证：ABAD；2假设四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 【导学号：64012147】思路探究1利用·0即可；2利用夹角公式cos 求解解1证明：A2,1，B3,2，D1,4，1,1，3,3·1×31×3

8、0，即ABAD.2，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为x，y，那么x1，y4，解得点C坐标为0,5从而2,4，4,2，且|2，|2，·8816，设与的夹角为，那么|cos |.矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.母题探究将例3中的条件变为3，4，6，3，5m，3m，试求：1假设A、B、C能构成三角形，求m应满足的条件2假设ABC为直角三角形，且A为直角，务实数m的值解1假设点A，B，C能构成三角形，那么这三点不共线，3，4，6，3，5m，3m，3,1，m1，m，而与不平行，即3mm1，得m，实数m时满足条件2假设ABC为直角三角形，且A为直角，那么，而3,1，2m,1m，3

9、2m1m0，解得m.规律方法1求夹角问题：求向量a，b夹角的步骤：1求|a|，|b|，a·b；2求cos 夹角公式；3结合的范围0，确定的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小假设ax1，y1，bx2，y2，那么cos .2垂直问题：这类问题主要考察向量垂直的条件：假设向量ax1，y1，bx2，y2，那么aba·b0x1x2y1y20.3向量的模：1|a|2a2，|a|.2假设ax，y，那么a2x2y2，|a|.向量的长度与间隔 问题设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值. 【导学号：64012148】解法一：|3a2b|3，9a212a·b4b29.又|a|b|1，a·b.|3ab|23ab29a26a·bb296×112.|3ab|2.法二：设ax1，y1，bx2，y2|a|b|1，xyxy1.3a2b3x12x2,3y12y2，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab| 2.规律方法向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地，求向量的