中考数学专题训练：方案设计型(含答案)

1、中考数学专题训练：方案设计型附参考答案考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、1.某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价 35元,售价45元.(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件?(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品 y件，(利润=售价一进价)?根据题意，得x+ y= 100, 115x+35y= 2 7

2、00,x=40,解得：ly=60.答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品 60件.(2)设商店购进甲种商品 根据题意列，得a件，则购进乙种商品(100a)件,7解得 20< a< 22.15a+35(100-a 尸 3 100, |5a+ 10(100-a / 890,.总利润 w= 5a+ 10(100-a)=- 5a+ 1 000, W是关于x的一次函数， W随x的增大而减小,当x=20时，W有最大值，此时 W= 900,且100 20= 80,答：应购进甲种商品 20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元.2.今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高

3、学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了 一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(单位：吨)单价(单位：元/吨)不大于10吨部分1.5大于10吨，且不大于 m吨部分(20WmW50)2大于m吨部分3若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70WyW90,试求m的取值范围.解：(1)应缴纳水费：10X1.5+(18 10)X2=31(元).(2)当 0WxW 10 时，y= 1.5x;当 1

4、0<xwm 时，y= 10X 1.5+2(x10)= 2x5;当 x>m 时，y= 15+ 2(m 10) + 3(x m)= 3x m 5.1.5x (0<x< 10 )y=42x5 (10<x< m >3x m 5 x>m .当 40WmW 50 时，y= 2X40 5= 75(元)，满足.当 20Wm<40 时，y=3X40m 5=115m,则 70W115 mW 90, 1- 25< m<45,即 25<m<40.综上得，25<m<50.3 .潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A,

5、 B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：（1）求A, B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；（2）某种植户准备租 20亩地用来种植 A, B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有的租地方案.解：（1）设A, B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元.3 500 元.B类蔬菜的面积为（20a）亩.10<a< 14.由题意，得y=12 500,2x+ 3y= 16 500.x= 3 000,解得y= 3 500.答：A, B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元,（2）设用来

6、种植A类蔬菜的面积为 a亩，则用来种植由题意，得3 000 a+ 3 500 (20 a 产 63 000,、,解得种植户种植A类蔬菜面积（单位：亩）种植B类蔬菜面积（单位：亩）总收入（单位：元）甲3112 500乙2316 500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位.la > 20 a.a 取整数,为：11,12,13,14.，租地方案为：类别种植面积（亩）A11121314B98764 .某学校计划将校园内形状为锐角ABC的空地（如图）进行改造，将它分割成AHG、 BHE> CGF和矩形EFGH四部分，且矩形 EFGH作为停车场，经测量 BC=12

7、0m ,高AD=80m ,（1）若学校计划在 AHG上种草，在 BHE、4CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的 面积与种花的面积相等？（2）若种草的投资是每平方米 6元，种花的投资是每平方米 10元，停车场铺地砖投资是每平方米 4元, 又如何设计矩形的长、宽，使得 ABC空地改造投资最小？最小为多少 ？解、（1）设 FG=x 米，则 AK=（80 x）米由AHGsabcbc=120 , AD=80 可得：G = 80-xHG =120- x120802331313BE+FC=120 （120 x） = x，一（120-x）（80x）=一父xx 解得 x=40222222当FG的长为

8、40米时，种草的面积和种花的面积相等。(2)设改造后的总投资为 W元1 3、八133、-2 2W= (120 x)(80 -x) 6 +-x -x x10 +x(120 x) 4 = 6x 240x + 28800 =6(x 20) +264002 2222当 x=20 时,W 最小=36400答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。21辆汽车装运5 .我州鼓苦养茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织 这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车 可同时装运2种土

9、特产，且每辆车必须装满 .根据下表信息，解答问题车一二'一占养余青花椒野生蘑菇每辆汽车运载量(吨)A型22B型4216车型ABC每辆车运费(元)150018002000(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与X之间的函数关系式(2)如果三种型号的汽车都不少于 4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案(3)为节约运费，应采用(2)中哪种方案？并求出最少运费 .解：(1)法根据题意得4"6"71(21一1尸120化简彳导:丫 = 一3/27 x >4x >4y 之43x+27 至 42由l21-x-y"得121一一(0+27户4,解得 x

10、为正整数，x = 5,6,7 .故车辆安排有三种方案，即： 方案一:A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆(3)设总运费为 W元，贝 W=1500x + 1800(3x+27)+2000(21 - x + 3x - 27)二100x 36600W随x的增大而增大，且x=5,6,7.当 x = 5 时，Wt小=37100元答：为节约运费，应采用中方案一，最少运费为 37100元。6 .为创建国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，本!据市

11、政建设的需要，须在60天内完成工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元.(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用.解：(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.3030/+ = 1根据题意得：x x + 25.方程两边同乘以 x (x+25),得 30 (x+25) +30x=x (x+25),即 x2 - 35x - 750=0.解之，

12、得 x1=50, x2= - 15.经检验，x1=50 , x2= - 15都是原方程的解.但x2= - 15不符合题意，应舍去.，当x=50时，x+25=75 .答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.方案一:由甲工程队单独完成.所需费用为：2500X50=125000 (元).方案二：由甲乙两队合作完成.所需费用为：(2500+2000)00=135000 (元).160000元购进一批家电，这批家电的进价7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用 和售价如下表:类别彩电冰箱洗衣机进价200016

13、001000售价220018001100(1)、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台？(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共 100台，其中彩电台数和冰箱台数相同,且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。(利润=售价-进价)解：(1)设商店购买彩电x台，则购买洗衣机(100-x)台.由题意，得 2000x+1000 (100-x) =160000,解得 x=60,则 100-x=40 (台)，所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40

14、台.(2)设购买彩电和冰箱各 a台，则购买洗衣机为(100-2a)台.2000a 1600a 1000(100-2a) < 160000133 a , 37.5根据题意，得I100-2a-解得3.因为a是整数，所以a=34、35、36、37.因此，共有四种进货方案.设商店销售完毕后获得的利润为 w元，则 w= (2200- 2000) a+ (1800- 1600) a+ ( 1100- 1000) (100- 2a) =200a+10000,.200>0,，w随a的增大而增大,当 a=37 时，W1 大值=200 >37+10000=17400 ,所以，商店获得的最大利润为

15、17400元.8.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时,销售量是200件，而销售单价每降低 1元，就可多售出20件.(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？解：(1)根据题意得，y=200+ (80-x) X20=- 20x+1800 ,所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为 y=- 20x+1800;(2) W= (x

16、-60) y= (x- 60) (- 20x+1800) = - 20x2+3000x - 108000,所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式 y=- 20x2+3000x - 108000;(3)根据题意得，-20x+1800>240, x>76，76WxW78w= - 20x2+3000x -108000,3000对称轴为x=- 2X(-20) =75, a=- 20<0,当76WxW7时，W随x的增大而减小，x=76 时，W 有最大值，最大值 =(76- 60) (- 20X76+1800) =4480 (元).所以商场销售该品牌童装获得的最大

17、利润是4480元.9 .在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场 D、E两地进行处理.已知运往 D地的数量比运往 E地的数量的2倍少10立方米.(1)求运往两地的数量各是多少立方米?(2)若A地运往D地a立方米(a为整数)，B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于 A地运往D、E两地哪几种方D地的2倍.其余全部运往 E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往解：(1)设运往E地x立方米，由题意得，x+2x-10=140,解得：x=50, 2x-10=90,答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；(2

18、)由题意可得，90-(A+30) <2a,50 -90.(a+30)k12,解得：20<aw22.a是整数，a=21或22, 有如下两种方案:第一种：A地运往D地21立方米，运往 E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往 E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往 E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往 E地12立方米；(3)第一种方案共需费用：22X21+20X29+39X20+11X21=2053 (元)，第二种方案共需费用：22X22+28X20+38X20+12X21=2056 (元)，所以，第一种方案的总费用最少.10 .我市化工园区一化工厂，组织20

19、辆汽车装运A、B、C三种化学物资共 200吨到某地.按计划 20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满.请结合表中提供的信息，解答下列问题：(1)设装运A种物资的车辆数为 x,装运B种物资的车辆数为 y.求y与x的函数关系式；(2)如果装运A种物资的车辆数不少于 5辆，装运B种物资的车辆数不少于 4辆，那么车辆的安排有几种 方案？并写出每种安排方案；(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费.物资种类ABC每辆汽车运载量(吨)12108每吨所需运费(元/吨)240320200解：(1)根据题意，得：12x+10y+8 (20-x- y) =20

20、0, 12x+10y+160 - 8x - 8y=2002x+y=20 , . y=20 - 2x,jx > 5(2)根据题意，得：120一2x一解之得：5<x<8.x 取正整数，x=5 , 6, 7, 8,，共有4种方案，即ABC力某一5105力某一686力杀二767方案四848(3)设总运费为M元，则 M=12< 240X+10X 320 (20- 2x) +8 X200 (20-x+2x-20)即：M= - 1920X+64000M是x的一次函数，且 M随x增大而减小，当 x=8时，M最小，最少为48640元.11 .某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，

21、若购电脑机箱10台和液液晶显示器 8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱 2台和液示器5台，共需要资金 4120元.(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？(2)该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元.试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？解：(1)设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x, y元，10x 8y=7000lx =60根据题意得：l2x+5y=4120,解得：ly=800,答：每

22、台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；(2)设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器(50-m)台，60m 800(50 - m)三 22240根据题意得：l10m+160(5。-m)"10。解得：24wmc 26因为m要为整数，所以 m可以取24、25、26,从而得出有三种进货方式：电脑箱：24台，液晶显示器：26台，电脑箱：25台，液晶显示器：25台；电脑箱：26台，液晶显示器：24台.方案一的利润：24 X10+26X 160=4400,方案二的利润：25X10+25X 160=4250,方案三的利润：26X10+24X 160=4100,.方案一的利润最大为44

23、00元.12 .一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？(2)已知两车合运共需租金 65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元.试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由.解：(1)设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要y天，由题意可得:1、10十=11Xyj-x =15，解得'x = 15y = 3011即甲车单独完成需要 15天，乙车单独完成需要 30天;65000元，甲车每天

24、的租金比乙车每天的租15X4000=60000 元;(2)设甲车租金为 a,乙车租金为b,则根据两车合运共需租金金多1500元可得:10a +10b =65000'a =4000:a-b=15。，解得：1b =250°.租甲乙两车需要费用为：65000元；单独租甲车的费用为:单独租乙车需要的费用为：30 X 2500=75000元；综上可得，单独租甲车租金最少.13 .为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.(1)每个文具盒、每支钢笔个多少元？(2)时逢“五一”，商

25、店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元；求y1、y2关于x的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱 .解：(1)设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得声x+2y=100；x=14«x+7y=161,解之得 J=15答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.(2)由题意知，y1关于x的函数关系式为 y1=14X90%x ,即y1=12.6x.由题意知，买钢笔10以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15X 10+15X80% (x10)（3）当 y1< y2 即 12.6x<12x+30 时，解得 x<50;当 y1= y2 即 12.6x=12x+30 时，解得 x=50;当 y1> y2 即 12.6x>12x+30 时，解得 x>50.综上所述，当购买奖品超过 10件但少于50件时，买文具盒省钱;当购买奖品超过50件时，买文具盒和买