圆锥曲线练习试题及详细答案

1、圆锥曲线归纳总结for Yuri第局部：知识储藏1. 直线方程的形式1直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。2与直线相关的重要内容倾斜角与斜率点到直线的距离 夹角公式：3弦长公式直线上两点间的距离： 或4两条直线的位置关系=-1 2、圆锥曲线方程及性质(1) 椭圆的方程的形式有几种？三种形式 标准方程： 距离式方程： 参数方程：(2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程：(3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：；双曲线：；抛物线：(4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！(5) 焦点三角形面积公式：在椭圆上时，在双曲线上时，其中(6) 记住焦半

2、径公式：椭圆焦点在时为，焦点在轴上时为 双曲线焦点在轴上时为抛物线焦点在轴上时为，焦点在轴上时33333333333333333333333333333333333华美的分割线3333333333333333333333333333333333333333第局部：三道核心例题例1椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，。1求椭圆的标准方程；2记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？假设存在，求出直线的方程;假设不存在，请说明理由。分析：第一问比拟容易，第二问关键是垂心小黄同学，你还记得三角形的“四心吗？的处理。由待定系数法建立方程求解。解1建立坐标系，设椭

3、圆方程为,由得又即 ， 易得，故椭圆方程为 2假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心， 设，故，于是设直线为 ，由得， 又得 即 由韦达定理得解得或舍 经检验符合条件。例2椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于、两个不同点。 1求椭圆的方程； 2求的取值范围； 3求证直线、与轴始终围成一个等腰三角形。分析：小黄同学，直线、与轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成。解：1设椭圆方程为那么 椭圆方程为2直线平行于，且在轴上的截距为又 由直线l与椭圆交于A、B两个不同点， 3设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只

4、需证明k1+k2=0即可设 那么由 而故直线、与轴始终围成一个等腰三角形。例3三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点点A在y轴正半轴上.1假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;2假设角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心小黄同学，你还记得三角形的“四心吗？，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出ABAC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程。解：1设B(,)，C(,)，BC中点为()，焦点为F(2,0)，那么有两式作差有 ，整理得 其中为点弦BC的斜率

5、 (1)又F(2,0)为三角形重心，所以由，得由 得，代入1得 ，从而得到直线BC的方程为2由ABAC得 2设直线BC方程为，得又由韦达定理有 ， 与直线方程结合，易得 代入2式得 ，解得或直线过定点0，设Dx,y，那么，即所以所求点D的轨迹方程是。77777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777第局部：七种常见题型1、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法：设曲线上两点为、，代入方程，然后两方程相减，再应用中

6、点关系及斜率公式当然在这里也要注意斜率不存在的情况，消去参数。例如：设、，为椭圆的弦中点那么有，；两式相减得归纳：1椭圆与直线相交于A、B，设弦AB中点为，那么有。 2双曲线与直线相交于A、B，设弦AB中点为，那么有。3抛物线与直线相交于A、B，设弦AB中点为，那么有，即。典型例题 给定双曲线，过的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点的轨迹方程。2、焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设为椭圆上任一点，为焦点，。 1求证离心率； 2求的最值。3、直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化

7、为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线的右边。 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求关于的函数的表达式。4、圆锥曲线的相关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题，常用代数法和几何法解决。 1假设命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式，那么可建立目标函数通常利用二次函数，三角函数，均值不等式求最值。处理思路1、建立

8、目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题 抛物线)，过且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点，。（1） 求的取值范围；（2） 假设线段AB的垂直平分线交轴于点N，求NAB面积的最大值。5、求曲线的方程问题1曲线的形状这类问题一般可用待定系数法解决典型例题直线直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上。假设点和点关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程。MNQO2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题直角坐标平面上点Q2，0和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长|MN|与|MQ|的比等于常数(>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。6、存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题 椭圆的方程，试确定的取值范围，使得对于直线