高考中导数问题的常见类型及解法

1、高考中导数问题的常见类型及解法莫少勇近几年导数进入中学教学教材，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题（如函数问题、不等式问题、解析几何问题等）的研究提供了新的视角、新的方法，拓宽了高考的命题空间。近几年的高考，在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。以下我将结合某些高考题或高考模拟题，谈谈高考中导数问题的常见类型及解法。类型1利用导数的几何意义处理曲线的公切线问题例1 （03年全国高考文科试题）已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。解 ：设公切线L切C于P

2、(x,y),切C于P(x,y), 则L的方程有两种表达方式：;.、变为和于是消去,得，由题意知，此时，重合。故当时，和有且仅有一条公切线，且公切线方程为.评注：本题主要考察导数的几何意义、公切线方程的两种表示法以及二次方程的相关知识。注意“”与“”表示同一条直线的充要条件是“且”，在曲线的公切线问题中常常以此来构建方程。类型2利用导数研究三次函数、简单分式函数的性质例2 （2003年安徽省春季高考题）已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。解 由题意知,是方程的两根,于是 当时, 当时, 当时, 当时,有极大值 又时, 的最大值为 对任意恒成立即

3、 或例3 (2004年合肥市高考模拟题)研究函数的单调性. 本题主要考查导数与函数单调性的关系,注意分类讨论的思想方法. 解: 当时,由得 +-+从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和. 当时, 此时的定义域为因此在内单调递增. 当时,定义域为此时单调区间是和没有单调减区间.评注:用传统数学教材中的知识与方法往往难以研究象例2、例3这种函数问题的单调性、极值与最值,导数无疑为这类问题的解决提供了方法.掌握可导函数的单调区间、极值与最值的求解方法是解题的关键.类型3已知函数的单调性,反过来确定函数式中特定字母的值或范围.例4 (2000年全国高考试题) 设函数=其

4、中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立. 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾. 由,得在上连续递增,且所有值都小于1,所以综合可知,当时,函数在区间上是单调函数. 评注:可导函数在(a,b)上是单调递增(或单调递减)函数的充要条件是:对于任意都有(或),且在(a,b)的任意子区间上都不恒为零.在高中阶段.主要出现的是有一个或多个(有限个)使的点的情况.像例4这种逆向设置问题,是今后高考命题的一种趋向,它充分体现了高考”能力立意”的思想.对此,复习中应引起高度重视.类型4利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题例5 (2003年安庆市高考模拟题) 已

5、知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.解: 令 当时,由得且当时当时, 是的最小值. 在上恒成立即 当时,由得 x(-x,-)(-,0)(0,)(,+x)f(x)1+-+ 从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0, 即-2<a<1. -2<a<0. 综合、可知，实数a的取值范围是-2<a<0. 评注：本题是求一元四次恒成立不等式中参数的取值范围，在短时间内往往难以很快寻得正确的解题思路若从导数知识入手，解题则十分顺当，令人耳目一新，体

6、现了导数较高的思维价值类型5利用导数处理实际生活中的优化问题例6 (2001 年全国高考试题)用总长14.8米的钢条做一个长方体容器的框架如果所做容器的底面的一边长比另一边多.米，那么高是多少时容器的容积最大，并求出它的最大容积本题主要考察利用导数求实际问题中的最值解设该容器底面矩形边长为x米，则另一边长为(x+0.5)米，此容器的高为h=-x-(x+0.5)=3.2-2x.于是此容器的容积为：(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x+2.2x+1.6x,其中0<x<1.6.由=-6x+4.4x+1.6=-(15x-11x-4)=0,得x=1,x=-(不合题意，舍去)因为在 在(0,1.6)内只有一个极值点，而实际问题又必有最大容积，因此，当x=1(米)时，时候V(x)有最大值V(1)=1*1.5*1.2=1.8(米)，此时h=1.2(米)答：当高为1.2米时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8米.评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或他们的复合函数，均可用导数