数学物理方程-第一章数学模型和基本原理介绍

1、第一章 数学建模及基本原理介绍用数学理论和方法研究实际问题时，一般说来先要建立合理的数学模型. 在很多情况下，所建立起的模型为偏微分方程的某种定解问题. 本章将对几个典型的实际问题进行分析，建立起相应的数学模型. 并结合这些模型，介绍本门课程的一些主要数学概念及研究此类问题的一些基本思想和方法. §1.1 数学模型的建立微分方程本质上是函数的某种局部平衡关系，其中含有该函数导数. 在初等数学中我们知道，含有未知数的等式叫方程. 而建立方程的过程主要有三步：先设所求解的量为未知数，然后找出所研究问题满足的等量关系式，最后利用一些基本的关系式将等量关系式两边用已知量和未知数表示即成. 本

2、节我们用类似过程，导出几个来自物理学领域的实际问题所满足的微分方程和定解条件.除用到几个基本的物理公式外，主要是利用高等数学中同学们已学过的“微元法”思想. 1.1.1 弦振动方程和定解条件物理模型一长为的柔软、均匀细弦，拉紧之后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移. 在这里弦线是充分柔软的假设，是指当它发生变形时只抗伸长而不抗弯曲，即只考虑弦线上不同部分之间张力的相互作用，而对弦线反抗弯曲所产生的力矩忽略不计.而均匀的含义是弦线的线密度为常数. 所谓横振动，是指弦的运动发生在同一平面内，且弦线上各点位移与平衡位置垂直. 导出方程以弦线所处的平

3、衡位置为轴，垂直于弦线位置且通过弦线的一个端点的直线为轴建立坐标系（图1.1）.以表示在时刻弦线横坐标为的点离开平衡位置的位移. 设为弦的线密度（千克米），为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度（牛顿米）. 任取一小段弦线，不包括两个端点，（图1.1） f0xu图 1.1其中和分别是弦线在两端所受到的张力，即其余部分弦线对该小段弦线的作用力,为与水平方向的夹角，为与水平方向的夹角. 将所取小段弦线近似视为质点,由牛顿第二定律得 （1.1）式（1.1）是弦线运动所服从的物理定律，数学上即是等量关系式. 为该段弦线所受垂直于平衡位置，即轴方向的合外力. 对（1.1）中各项分别计算并作简化处理如

4、下：首先易见包含三部分： 在轴方向的分量 在轴方向的分量 强迫外力 （1.2） . 设为轴正向的单位向量，利用向量的点乘运算可得 ， （1.3） . （1.4）由于弦线的弧微分为 ，故有 （1.5）弦线作微小横振动，所以，充分小，因此有，. 由于假设弦线是均匀、柔软，可认为弦线每点处张力的方向为弦线的切线方向，弦线各点处张力的大小相等. 故有（常数）. 利用，和等价无穷小代换得. (1.6)其次，将弦线近似为质点可得 (1.7)其中. 将(1.6)和(1.7)代入到(1.1)中便得 (1.8)假设具有二阶连续偏导数，对（1.8）式右端前二项利用微分中值定理得 (1.9)其中. (1.9)式两边

5、同除，再令便得到所满足的方程 (1.10)其中， . 方程（1.10）刻划了柔软均匀细弦微小横振动时所服从的一般规律，即局部等量关系，人们称它为弦振动方程（vibrating string equation）. 一根弦线的特定振动情况除满足弦振动方程外，还依赖于初始时刻弦线的状态和在弦线两端所受到外界的约束. 因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外，还必须给出它适合的初始条件(initial value condition)和边界条件(boundary value condition).初始条件：即给出弦线在时刻时的位移和速度，分别称为初始位移和初始速度, ， ， （1.11

6、）这里和是已知函数. 边界条件：一般说来有三种.1.已知端点的位移变化，即 ， ， （1.12）当时，称弦线具有固定端.2.已知端点所受的垂直于弦线的外力,即 ， ， （1.13）这里要注意在推导弦振动方程时，由于在小弦线左端，张力在轴方向的分量为，而在右端，张力在轴方向分量为.因此，在端，已知的外力相当于该端点的张力，即；同理，在端，边界条件为.当时，称弦线具有自由端.3.在端点与弹性物体连接. 设弦线两端分别连接在弹性系数为、,)的两个弹簧上，弹簧的长度分别为和.这两个弹簧的另一端还分别连接在由函数和所表示的位置上（如图1.2），这时相当于两个弹簧的下端也随时间在运动.若此时相当于两个弹簧

7、的下端固定. 图1.2在任意时刻端弹簧的实际伸缩量为.由Hooke（虎克）定律可知该端的弹性恢复力（相当于张力）为.取区间上相应的弦线，利用和建立弦振动方程完全相同的方法可得,令得 ， ,即 ， ,这里，. 类似可得在端边界条件为，.因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件如下端 , （1.14）端 , （1.15）初始条件和边界条件通常称为定解条件. 一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题. 当考虑的弦线比较长时，一般认为弦长是无穷大.这时定解条件中就没有边界条件而只有初始条件，这也是一个定解问题.以下两个问题 都是弦振动方程的定解问题. 在定解问题（1.16）（1.18）中，即

8、含有初始条件又含有边界条件，通常称为弦振动方程的混合问题. 而在定解问题（1.19）（1.20）中只含有初始条件，称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy问题）. 注1 如果考虑膜的振动或者是声波在空气中的传播，利用和弦振动方程类似的过程可以导出膜振动方程为.而声波在空气中传播所满足的方程为 .这些方程统称为波动方程(wave equation).1.1.2 热传导方程和定解条件物理模型在三维空间中考虑一个均匀、各向同性的导热体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，求物体内部温度的分布.这里均匀是指导热体的密度为常数，而各向同性是指导热体内任一点处在各个方向上的传热特性相同.如导热体是由

9、同一种金属构成的，就认为是具有各向同性性.导出方程设导热体在空间占据的区域为(如图1.3)，边界记为.导热体的密度为（千克/米），比热为（焦耳/度千克），热源强度为（焦耳/千克秒）. 以（度）表示导热体在时刻点处的温度.任取一点，并取该点的一个充分小邻域，的边界为.在充分小的时段上，区域的热量变化满足下面的等量关系式(1.21):热量热量热源生成热量通过边界流入量+ = _ 此式即为热力学第二定律的积分形式.完全类似于弦振动方程的推导过程，下面分别计算并简化(1.21)中各项.从大学物理中我们知道，.由于区域充分小，时段也充分小，故可视为常数，因而有O图 1.3 （1.22） （1.23） （

10、1.24）其中，为区域的体积，.为计算边界流入热量，要利用Fourier热定律：在一定条件下，导热体内热流量（焦耳/米秒）与温度的梯度成正比，即，其中为导热体内的导热系数，与介质的性态有关;负号表示热量从温度高处向温度低处流动. 由于我们考虑的是均匀、各向同性的导热体，故均为正常数.利用高等数学中的通量计算公式可得 , （1.25）这里为的单位外法向量，表示计算通过边界的流入热量.假设对空间变量具有二阶连续偏导数，对时间变量具有一阶连续偏导数，利用高斯公式可得 , （1.26）这里.将（1.22）（1.26）代入到（1.21）中并对等式左端利用微分中值定理可得.上式两边同除以,并令得由于的任意

11、性可得 （1.27）或简写为 （1.28）其中0，.方程（1.28）刻划了导热体内温度分布和变化所服从的一般规律，人们称其为三维热传导方程(heat equation).注2 如果同学们对高等数学中的微积分运算掌握比较熟练，（1.21）中各项也可以写成如下积分式 ， ， ， .将上面各项代入到（1.21）中，并用前面类似方法可导出（1.28）.注3 方程（1.28）虽然通常称为热传导方程，但绝不只是仅用来表示热传导现象.自然界中还有很多现象可用方程（1.28）来刻划，如分子在介质（如空气，水，）中的扩散即为此例，因此也称（1.28）为扩散方程.注4 如果考虑侧面绝热的均匀细杆或均匀薄板的温度分

12、布，就分别得到一维热传导方程和二维热传导方程， .为了具体确定某特定物体内部的温度分布，还需要知道该物体内部的初始温度分布以及在物体的边界所受到的约束或受到周围介质的影响.初始条件：导热体内在初始时刻的温度分布,即 , （1.29）边界条件：一般说来有三. 记，1.已知边界上的温度分布，即 （1.30）2.已知通过边界的热流量，即 （1.31）表示流入，表示流出，表示在边界绝热. 3.已知通过边界与周围介质有热交换. 设为处介质的温度，为两种介质之间的热交换系数（）.根据Newton定律（热传导的另一实验定律），从物体内部流到外部的热流量与两介质间的温差成正比，即有,其中为的单位外法向量.为了

13、推导边界条件，完全类似于热传导方程的推导，任取一充分小区域（如图1.4），边界为，为上的单位法向量.图 1.4在上等量关系式（1.21）成立，其中和如附注2中的各式，而分为两部分，一部分是通过的边界由导热体流入的热量，另一部分是经由周围介质流入的热量，故有+ +.将，和代入到（1.21）中得 ,利用上式成为,由于，任意性可得 （1.32）令趋于，此时趋于=，且区域的体积趋于零，（1.32）中三重积分趋于零，故有,由的任意性可得 （1.33）其中0，.（1.33）式称为热传导方程的第三类边界条件，有时也记为，其物理意义为导热体在边界上与周围介质按Newton定律进行自然的热交换. 注5 我们比较

14、详细地给出了(1.14)和(1.33)的推导过程，主要目的是告诉同学们边界条件的导出和方程的导出过程是基本相同的. 惟一的区别在于在导出方程时，在或内取小区间或小区域；而在推导边界条件时，要取包含区间端点的小区间或包含的边界的小区域.注6 (1.33)式也可以利用热流量公式直接给出. 在导热体边界内部和外部的热流量分别为和，在边界上二者应相等，即有,此即 , （1.34） (1.34)即为(1.33)式. 请同学们给出(1.14) 类似的导出过程. 注7 如果导热体体积充分大，可认为导热体体积为无穷大，这时定解条件就只有初始条件而无边界条件，此类问题通常称为Cauchy 问题. 1.1.3波以

15、松方程和定解条件在上面研究导热体的温度分布问题中，如果f 和边界条件中的g 与t 无关，则经过相当长时间后，区域G 内各点温度趋于定值，因而有. 由(1.28) 得 . （1.35）(1.35)称为波以松(Poisson)方程, 当时称为Laplace方程. 由于u , f 与t 无关，所以Poisson方程的定解条件只有边界条件而无初始条件. 下面给出Poisson方程的三个定解问题. （1.36）其中 , 为已知函数. （1.36）通常称为狄利克莱(Dirichlet)问题. （1.37）(1.37）称为诺依曼（Neumann）问题. （1.38）（1.38）称为Poisson方程的第三边

16、值问题. 在上面的三个定解问题中，如果，则称为区域内的调和函数. 调和函数在偏微分方程的理论和应用研究中起着重要的作用，在后面的章节中要多次遇到这类函数. 注8 考虑带有稳定电流的导体，如果内部无电流源，可以证明导体内的电位势满足Laplace 方程. 类似地对带有稳定电荷的介质，稳定电荷产生的静电势也满足Poisson方程. 因而Laplace方程和Poisson方程有时也称为位势方程. §1.2 定解问题的适定性1.2.1 一些基本概念在第一节中我们已经介绍了偏微分方程的一些术语，下面再介绍一些相关的概念. 凡含有未知函数以及未知函数偏导数的等式称为偏微分方程. 方程中最高阶导数

17、的阶数称为偏微分方程的阶数. 如果方程关于未知函数及它的偏导数是线性的(一次的)，称方程为线性偏微分方程，否则称为非线性偏微分方程. 方程中不含有未知函数或它的偏导数的项称为自由项. 自由项为零的方程称为齐次偏微分方程，否则称为非齐次偏微分方程. 例如下面各方程均为偏微分方程. （2.1） （2.2） （2.3） （2.4） （2.5）其中(2.1)(2.3)是二阶线性偏微分方程，(2.1)，(2.2)是非齐次的，而(2.3)是齐次的.(2.4)是一阶非线性齐次方程，这是由于这一项是二次项.(2.5)是四阶非线性非齐次方程，非线性产生于和两项，自由项为.第一节导出的三类方程均为二阶线性偏微分方

18、程. 如果在一个定解问题中，方程和定解条件关于未知函数及它的偏导数全是线性的，称该问题为线性定解问题，否则称为非线性定解问题. 在第一节建立的定解问题中，它们都是线性定解问题. 下面定解问题其中方程是线性偏微分方程, 但边界条件为非线性的, 所以该问题是一个非线性定解问题. 一般来讲，研究线性问题比较容易，而非线性问题的研究却要困难许多. 本书主要讨论线性定解问题. 如果一个函数在自变量的某区域内具有某偏微分方程中所有的各阶连续偏导数，并且将它代入该方程时使方程成为恒等式，则称此函数为该方程的古典解.同理，对一个定解问题，如果一个函数是该定解问题中偏微分方程的古典解，并且满足定解条件，则称此函

19、数为定解问题的古典解. 例2.1 设F(x),G(x)在直线R上具有二阶连续导数， ，验证在平面上都是的古典解. 解 直接计算可得 代，到方程中即得结论成立. 类似可证也是方程的古典解. 例2.2 （1）记，验证在上是方程的一个古典解. （2）记 ，,验证在上是方程的一个古典解. 解（1） ，直接计算可得 ， ,.（2） 类似可验证. 例2.3 验证在平面上是一个古典解. 解 ， ， . 例2.4 设，验证在是的古典解. 本例请同学们自己验证. 1.2.2 适定性概念定解问题的适定性(well-posed property),是讨论人们从实际问题中提出的数学模型，单纯地从数学上看是否很好. 这

20、里牵涉到所谓“数学模型很好”在数学上的确切涵义问题. 由于回答这个问题需要较多的数学知识，在本课程中不可能完全讲清楚这一问题. 因此，我们只对适定性概念简单地给出解释，以使同学们对适定性概念了解其大意.从数学上讲，为使一个偏微分方程的定解问题正确地反映客观实际，就要求该定解问题的解存在，且只有一个解(绝大部分实际问题如此)以及解对定解数据是连续依赖的，简称定解问题的解具有存在惟一性和稳定性. 如果一个定解问题的解具有存在惟一性和稳定性，就称这个定解问题是适定的，在数学上就认为该定解问题是一个好的数学模型. 需要说明的是：自然界中的一些实际问题，本身就具有多个解或者解对定解数据比较敏感，其相应的

21、数学模型也具有类似的性质. 相对于适定问题而言，这类问题的解不同时具有存在惟一性和稳定性，称为不适定问题或“病态问题”. 解的存在惟一性与在什么样的函数类内寻求定解问题的解有关，而解的稳定性与在所考虑的函数类中选取的度量有关. 在近代偏微分方程的理论中，提出了与古典解不同的所谓强解、弱解、广义解等概念. 在以后的工作和学习中,同学们可能会接触到这些概念，在这里我们就不介绍它们了. 本书所涉及到定解问题的适定性，均指古典解的存在惟一性和稳定性.书中遇到的大多数定解问题，它们的适定性都已被前人解决了，我们主要是研究定解问题的解法. 下面给出一个弦振动方程定解问题的适定性结果.考虑两端固定的弦振动方

22、程的混合问题 （2.6）定理2.1 设以及在点适合以下的相容性条件： （2.7）则定解问题（2.6）是适定的. 注1 记号或（为非负整数）表示在闭区间上的一切阶连续可导的函数所成的集合. 当时，即连续函数所成的集合. 对于多元函数也常用该记号. 设为有界区域，表示在内的一切具有阶连续偏导数的函数所成的集合，而则表示在闭区域上的一切具有阶连续偏导数的函数所成的集合. 当时，即由一切连续函数所成的集合.§1.3 叠加原理1.3.1 叠加原理线性问题和非线性问题最根本的区别是:线性问题的解满足所谓的叠加原理(superposition principle)，而非线性问题解一般来讲不满足叠加

23、原理. 从物理上解释，叠加原理即是对一个线性系统，几种不同的外因同时作用所产生的效果等于各外因单独作用产生的效果的累加. 例如，若干个点电荷产生的电位，可由这些点电荷各自单独存在时所产生的电位相加而得出；又如，几个外力作用在一个物体上所产生的加速度，等于这些外力单独作用在该物体上产生的加速度之和.可以举出许多这样的例子，因此可以说叠加原理是一切线性问题所共有的性质，对求解线性偏微分方程有着重要的作用. 下面我们以二个自变量的二阶线性偏微分方程为例，比较详细地介绍这一重要原理. 设自变量为（也可为）未知函数为. 则二阶线性偏微分方程的一般形式为 （3.1）这里均是自变量的函数. 如果记 ,这里是

24、下面的算符 , （3.2）通常称为二阶偏微分算子. 设是两个常数，是二个具有二阶连续偏导数的函数，一般地简记为. 利用求导运算的线性性质易证下式成立 , （3.3）即是一个线性算子. 引进今后常用的三个二阶偏微分算子如下： （3.4） （3.5） （3.6）它们分别称为波算子， Laplace算子和热算子. 由于它们均是（3.2）的特殊形式，故这三个算子全是二阶线性偏微分算子. 叠加原理1 设是（3.2）中的二阶线性偏微分算子，为个任意常数，为平面区域内的个已知函数， .若在区域内是如下方程的解 （3.7）则方程 （3.8）可解，且是（3.8）在区域内的一个解.注1 叠加原理1是线性偏微分方程

25、解关于自由项的叠加性. 如要解方程，只要解方程，如果它们可解且解分别为则原方程解为.注2 叠加原理1中给出的自由项是有限和. 对于无穷级数，如果该级数在区域内收敛，且相应的解在区域内也收敛并且可以逐项求一阶和二阶偏导数，相应的二阶偏导数的级数在区域内一致收敛，此时叠加原理1的结论仍成立. 下面介绍的叠加原理也具有类似性质，今后不再重复说明. 对于线性定解问题,如果边界条件为齐次的，则叠加原理也成立. 下面我们以弦振动方程的一个混合问题为例来介绍，对其它定解问题类似结论仍成立.考虑如下定解问题，其中为（3.4）中的波算子， （3.9）首先将边界条件齐次化，即将，化为零. 其方法是选一个已知的二元

26、函数满足，. 然后令，将关于的定解问题（3.9）转化为关于的具有齐次边界条件的定解问题.满足，的很多，几何上表示在平面找一条曲线过两点（这里将视为常数）. 最简单的曲线是过二点的直线，故可选如下.令，则有 这里和都是已知函数. 仍将和记为和，则（3.9）成为如下定解问题 （3.10）将上面定解问题（3.10）分解为如下三个定解问题 （3.11） （3.12） （3.13）叠加原理2 设和分别是定解问题（3.11），（3.12）与（3.13）的解，则是定解问题（3.10）的解.叠加原理 3 对定解问题（3.10），设， 如果对每个，是如下问题的解则是定解问题（3.10）的一个解.注3 和附注2中

27、的说明类似，叠加原理 3的证明也要用到无穷级数一致收敛和逐项求导的相关知识，在这里我们不做专门讨论，而是假定所要求的运算都成立. 例3.1 求方程 （3.14）的任意一个解.解 由叠加原理1可知，只需分别求出如下三个方程的一个解 , , .易见，和分别是上述三个方程的一个解，故是原方程的一个解. 例3.2 将如下定解问题中的方程齐次化 （3.15）解 由例1知是方程的一个解，令，则（3.15）转化为 1.3.2 叠加原理的应用偏微分方程定解问题的解绝大多数以无穷级数或函数卷积形式给出，解的这种形式在本质上是叠加原理在求解过程的反映.设为矩阵，秩. 在线性代数中我们知道：齐次线性方程组的解构成的

28、一个维线性子空间. 进而,若已知为的解，且，线性无关，则，构成一个基，并称之为齐次方程的基解组. 因此的任一解可表示为 ，其中为非齐次方程的一个特解. 因此，求解非齐次方程就归结为找出齐次方程的一个基解组和非齐次方程的一个特解，并利用基解组中向量的线性组合和特解给出非齐次方程的任一解.对于偏微分方程的线性定解问题，求解过程基本类似. 即先找出相应定解问题的基解组，在偏微分方程理论中称基解组中的解为特征函数(eigenfunction)，基本解(fundamental solution)或Green函数(Greens function)，然后用特征函数，基本解或Green函数表示一般解. 不同于

29、线性代数方程组解表示的有限和形式，偏微分方程定解问题的解主要是以无穷级数（无穷和）或积分形式给出.根据定积分的定义，则积分形式可理解为离散无穷和的极限形式，即是无穷和的连续形式. 下面以一维热传导方程Cauchy问题为例，说明其求解的基本思想和解的具体表示形式，这里重在说明方法而不苛求于运算的合理性. 首先简单介绍广义函数函数，它在偏微分方程理论中具有重要的作用.设在轴上有质量分布，线密度为则是当时极限，表示该区间上质量. 因此，可理解为单位长度区间上的质量. 如在点置放一个单位质量而其余处无质量分布，利用密度的计算公式可得：轴上的质量密度函数为 该函数不能用以前学过的函数概念来理解，它是一个

30、广义函数，称为函数.由于质量线密度的积分值为总质量，即.因此，广义函数可以理解为直线上单点单位质量分布的质量密度函数.例如，在处置放三个单位质量而其余处无质量分布，则轴上的质量密度函数便为. 设轴上有初始温度分布，将质量与热量相比照，线密度与相比照，可认为表示单位长度区间上的热量，而可理解为在点置放了一个单位热量的点热源而产生的初始温度分布.考虑如下定解问题 （3.16）将此问题分为二个定解问题 （3.17） （3.18）现在考虑（3.17）和（3.18）的特殊情形 （3.19） （3.20）其中，. （3.19）的物理意义是在初始时刻时，在直线上点置放一单位点热源所产生的温度分布. 而（3.

31、20）的物理意义则是在平面上点处置放一个单位点热源产生的温度分布. 记（3.19）和（3.20）的解分别为和，即为问题（3.16）的基本解. 利用基本解可给出（3.17）和（3.18）解的具体表达式.对问题（3.17），可将其近似分解为许多个类似于问题（3.19）的子问题.方法是将轴进行划分（如图3.1），O 图 3.1分点为，在小区间上将视为常数，由于表示单位长度区间上的热量，故该子区间的热量近似为，.将此热量集中到点视为点热源，由于单位点热源产生的温度为,由叠加原理可知此点热源产生的温度应为. 在每个小区间上如法处理，并再次利用叠加原理可得（3.17）解近似为 ，令每个子区间长度趋于零并结

32、合定积分的定义（形式上）可得 （3.21）类似可得（3.18）解为 （3.22）注4 （3.17）和（3.19）的区别是在初始时刻，一个是单点分布而另一个是连续分布. 数学上对连续分布经常这样处理：先将连续分布离散化（划分）；然后在每个区间（小区域）上用常量代替变量，用直线代替曲线等等或将小区间（小区域）视为质点计算所需近似值（近似化）；最后将每个小区间（小区域）上近似值相加并取极限得精确值（精确化）. 这一过程本质上就是定积分的定义，其中近似化方法就是微元法.在上面（3.21）的导出过程中，就是将连续热量分布在直线上近似为许多质点，即将连续函数近似离散为，然后利用基本解和叠加原理而得出（3.

33、17）解的近似表达式，最后只需形式上取极限便可得出解的积分表达式. 希望同学们对这一方法引起足够重视.为帮助同学们进一步理解叠加原理，我们再给出一例. 考虑如下定解问题 （3.23） （3.24）其中为有界区域. 如果将（3.24）的解记为，只要将区域进行划分，并将在该区域内近似离散为，完全类似于（3.16）解的导出过程，就可得（3.23）的解为 （3.25）在这里称为定解问题（3.23）的函数，相当于带有齐次边界条件的基本解. Green函数的物理解释为，在区域中任取一点，并在此点置放一单位点热源，则该单位点热源在区域产生的且满足在区域的边界上为零的温度分布为. 因此，如果上有连续热源分布，

34、其密度为，则便是该热源在区域产生的温度分布，并且满足在区域的边界上温度为零. 请同学们在形式上给出（3.25）的导出过程. 叠加原理的另一重要应用是特征函数法（ eigenfunction method）. 其本质是用定解问题的特征函数系表示相应定解问题中的已知数据和要求的解，然后利用待定系数法确定出所求解的系数. 在第二章中，我们要比较系统地介绍相关的理论和方法，这里就不做介绍了.§1.4 齐次化原理对于线性系统，叠加原理说明多外因同时作用时所产生的效果,等于每个外因单独作用产生的效果之和.而齐次化原理(homogenization principle)则说明不同性质的外因作用可相

35、互转化或称为相互等效性. 掌握好这一原理，在定解问题求解时常可收到事半功倍之效. 1.4.1 由含参变量积分或无穷级数表示的变换为使同学们掌握好齐次化原理，先将高等数学中的函数概念和积分变换概念复习一下. 设，去掉自变量便有 . （4.1）这便是的结构或由确定的对应法则. 求在某点的值，只要在（4.1）两边括号中放入相应的自变量值即可. 例如, , ,等等. 对二元函数也同样理解，如，去掉自变量，并用，分别代替，所在的位置，则有 （4.2）由此便有 , , .如果函数以其它形式给出也可同样理解. 如在Fourier变换中我们知道：任给,其Fourier变换定义为 （4.3）首先固定，则有 （4

36、.4）要求在某一点之值，只需在（4.2）两端括号内放入自变量的值便可. 例如 , , .在（4.3）中，称为积分变量，称为参变量，故通常称（4.3）中积分为含参变量的广义积分. 即是由含参变量广义积分形式给出的函数.其次考虑在变，这时只须将(4.3)两边去掉换成括号即可 . （4.5）求某函数的Fourier变换，只要在（4.5）两边括号内放入该函数便可，例如 , .因此,这里的纯粹是一个函数符号，如，等. Fourier变换便是将原来自变量为的函数,变成自变量为的函数.它是一种由函数构成的集合之间的一种映射，数学上通常称为算子或变换. 同学们已学过的不定积分及变上限积分等概念，还有（3.21

37、）和（3.22）的右端表达式均属此问题. 再举一个函数变换的例子. 设为定义在区间上的一元函数，定义变换：将一元函数变换为二元函数,具体定义如下 （4.6）去掉（4.6）中的自变量，和函数符号便有 （4.7）如要计算函数变换后所得的函数在点的值，只需将函数和代入到（4.6）中便得 类似可得，函数在和点的值分别为. 对函数，用表示当代入后由确定的变量为的函数，即. 另外，此处也可为多维变量. 例4.1 设变换定义如（4.6）所示，为定义在区间上的一元函数，在上半平面有定义，参数. 求（1）. （2）. （3）.（4）.解 （1） .（2） .（3） .（4） .例4.2 设为一在上半空间有定义的

38、函数，参数，. 对任一在平面上有定义的二元函数，变换定义为.求（1）； （2）,其中在平面上有定义而在上半空间有定义. 解 注意到此时 ，则有（1） .（2） 由于,故有 .例4.3 设函数和在区间有定义，在带状区域有定义，参数. 变换如下定义 求 （1）；（2）；（3）. 解 （1）（2）（3）1.4.2 常微分方程中的齐次化原理为简单起见，本小节以一阶和二阶常系数常微分方程定解问题的求解为例，介绍齐次化原理. 考虑如下一阶常系数常微分方程Cauchy问题 （4.8）利用分离变量法可得齐次方程通解为， （4.9）其中为待定常数. 为求非齐次方程的通解，利用常数变易法，即设， （4.10）并将

39、其代入到（4.8）中的非齐次方程可得 故有 ， （4.11）将（4.11）代入到（4.10）中得 ， （4.12）由（4.8）中初始条件可确定出（4.12）中的常数为. 因此，问题（4.8）的解为. （4.13） 对（4.13），我们要进一步给出解释. 若记，另一项记为，即. 则和分别是如下两问题的解 （4.14） （4.15）不仅如此，还可由的表达式给出，其具体过程如下：先在的表达式中用替换得，再将上式中的时间变量 换成 得，最后，对上式在区间关于变量积分便得. 从以上分析可看出，为求解Cauchy问题（4.8），仅需求出齐次方程的Cauchy问题（4.14）的解便可，而非齐次方程Cauch

40、y问题（4.15）的解可由（4.14）的解给出，这一步就是根据齐次化原理得到的. 齐次化原理是求解常系数微分方程定解问题的一个非常有用的原理，是由数学家杜阿梅首次发现的. 因此，齐次化原理也称为杜阿梅原理. 注1 求解常系数线性常微分方程定解问题的困难所在，是求出非齐次方程的一个特解. 上例说明：为求一阶方程的特解，既可以用常数变易法，也可以用齐次化原理. 要说明的是，对高阶常系数线性常微分方程定解问题，齐次方程通解很易求出，而求出非齐次方程的一个特解却绝非易事. 即使对二阶方程，用待定系数法或Laplace变换求出一个特解，一般讲也是比较烦琐的一件事，但用齐次化原理却非常容易. 为加深同学们

41、对齐次化原理的进一步理解，再举几例加以说明.例4.4 求解Cauchy问题 （4.16）其中为一般的连续函数. 解 (1) ，用三种方法求解该问题.方法1 Laplace变换：对（4.16）中的方程两端取Laplace变换得 整理可得 . 对上式取Laplace逆变换得方法2 待定系数法：易得齐次方程通解为 ，而非齐次方程的特解形式为. 将代入到（4.16）中的方程可得. 因此，非齐次方程的通解为.利用（4.16）中的初值条件可求出故有.方法3 齐次化原理：为求解（4.16），需求解以下两个问题 （4.17） （4.18）易得齐次方程通解为 . 利用（4.17）中的初值条件可求出故(4.17)

42、的解为 （4.19）由齐次化原理可得（4.18）的解为在（4.19）中取并与上式相加便得（4.16）的解为 .(2)为一般的连续函数. 此时上面的第二种方法失效，但第一种方法仍可用. 作为练习请同学们利用Laplace变换求出该问题的解. 下面用齐次化原理求解此问题. 分为四步进行.第一步 利用叠加原理，将原定解问题（4.16）分解为齐次方程定解问题（4.17）和非齐次方程零初值定解问题（4.18）.第二步 求解齐次方程定解问题（4.17）.上面已求出该问题的解为第三步 利用齐次化原理求解定解问题（4.18）. （4.20） 最后，利用叠加原理便得（4.16）的解为.例4.5 质量为的物体挂在

43、弹性系数为的弹簧一端，作用在物体上的外力为. 若物体自静止由平衡位置处开始运动，求该物体的运动规律.解 所求定解问题为 或 （4.21）其中用齐次化原理求解此问题. 考虑如下定解问题 （4.22）易得方程通解为. 由初值条件可确定出故有 . （4.23）由齐次化原理便得（4.21）的解为 （4.24） 当 时，由（4.24）可得 . （4.25）在（4.25）中令时，利用罗必塔法则可得， （4.26）在（4.26）取，则有. 因此，不管多么小，将随时间的增加变得越来越大，最终要趋于无穷大.注2 上例所举的弹子振动问题在数学中是一个很有理论意义的问题，其中常数称为该系统的固有频率. 若当外力为且

44、外力的频率很接近系统的固有频率时，将随时间的增加而最终要趋于无穷大，即弹子振动的振幅变得越来越大而导致弹簧在某一时刻要断裂，这就是所谓的共振现象.例4.6 考虑如下三个定解问题 （4.27） （4.28） （4.29）其中为常数. 设（4.27）的解为，试用给出（4.28）和（4.29）的解，并证明所得到的结果. 解 分两步进行.第一步 求出（4.28）的解. 由叠加原理易得（4.28）的解为.为验证确是（4.28）的解，对直接求导可得.将上面两式及代入到（4.28）中的方程左端得，即满足（4.28）中的方程；又由可得，即也满足（4.28）中的初值条件. 因此，是（4.28）的解.第二步 求出

45、（4.29）的解. 由齐次化原理可得此问题的解为 . （4.30）为验证（4.30）右端确是（4.29）的解，注意到当时满足（4.27）中的齐次方程，且. 对（4.30）两端直接求导可得将上面两式和（4.30）代入到（4.29）中方程左端得即满足方程, 显然成立，问题得证. 注3 上例中的结果也适用于常系数高阶常微分方程Cauchy问题.1.4.3 偏微分方程中的齐次化原理和上小节中的结果相类似，下面不加证明地给出关于波动方程和热传导方程定解问题的齐次化原理.齐次化原理1 设是（3.13）的解，则是（3.12）的解，而是（3.11）的解，故（3.10）的解为 （4.31）齐次化原理2 定解问题 若当时，齐次化方程定解问题的解为.则当时,非齐次方程定解问题的解为 .故原定解问题的解为. （4.32）注4 齐次化原理对波动方程和热传导方程的Cauchy问题也成立，请同学们写出相应的结果. 另外，以上两个齐次化原理是针对一维弦振动方程和一维热传导方程的定解问题给出的结果，对于平面或空间上高维波动方程和热传导方程的定解问题，类似结论也成立,有兴趣的同学可查阅参考文献和. §1.5 二阶线性方程分类和化简15.1二阶偏微分方程的分类