变量代换在求极限中的应用

1、变量代换在求极限中的应用1引言数学分析的理论与方法越来越被广泛地用于工业、农业、军事和科学技术等领域.极限尤其是 函数极限是数学分析中非常重要的内容.求极限的方法是微积分学中的基本方法，它是人们从有限 认识无限、从近似认识准确、从量变认识质变的一种数学方法，也是教学中的一个难点.求出已知 数列或函数的极限是学习数学分析必须掌握的基本技能，掌握了极限的求法就为学好数学分析打下 了扎实的基础.数学分析中讲了多种求极限的方法，在众多的求极限方法中变量代换法在解决那些 复杂、繁琐的极限问题时显得尤为重要.而现在的教材、参考书虽然对此有所涉及，但其介绍的不 够详细，也有些零散，不太系统，不便于初学者的学

2、习和掌握.鉴于此，现对变量代换法求极限作 进一步的探讨，并进行归纳总结，使其更系统，更便于了解和掌握.2变量代换在求极限中的应用2. 1 "变量代换法”在数列极限计算中的应用例11 (P46 47)设 an 为 Fibonacci 数列，即:a 二1 ， a2 =1,an 2an 1 an(n=12,)记xnan 1an,求 lim xn.n由已知条件知an 2an 1为，即xn an 11,、作变换xnyn1-,此即yn 1 xn11 yn且y11 a11.x1a2故limnyn0.618 limnxnlimnynlimnyn1.618例21(P47)证明数列收敛，并求其极限解从数

3、列特征可以看出，相邻两项的关系是xn1xn 12(1)1因此，设Xn收敛，则极限A满足方程考虑到xn0 ,所以A作变换xnA1 .2(2)将（2）代入（1）得至此我们已将满足由（3）应用数学归纳法,(1. 2) n(3 )的序列xnA的问题化为满足的序列 n 0的问题.实际上12易证15lim xn lim(1 2 n)nn说明 递推形式的序列，可以进行变量代换与变形，使变成已知极限或易于计算的极限.2. 2 “变量替换法”在一元函数极限计算中的应用定理2（P83）（复合函数极限）设复合函数fg（x）,若1) lim g(x) b ,x a2) x o(a),有 u g(x)o(b),3) l

4、im f (u) A,则 lim fu b-A.证明由条件（3）0,u b ，有 f(u) A由条件（1）,对上述x:0，有 g x b再由条件（2）x:0从而，即 lim f g x A.n说明该定理是求极限进行换元的理论根据.为了将未知的极限化简或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程例 32 P(1415)若 lim Xna , lim ynb ,试证nnlimnXUnX2yn 1证明作变换Xn a时，nn 0,于XynX2yn 1Xn yia 1 b n a 2 b n 1显然，nab a 1时第二、三项趋于零.现证第四

5、项极限为零.事实上，因 n0(当n时）故an有界.M 0,使得从而（i）式以ab为极限.说明M nN50,本例的变量具一般性， 常常用这种变换可将一般情况归结为特殊情况,如本例原来是已知limnXna , lim yn b ,求证 lim ynnnXnyiab .变换后，归结为已知lim n 0 ,nlimn0,求证limnn10.求limX 0分析此极限式看上去形式复杂，需要进行化简处理，将函数中的一个单元（子函数ex）作为个整体进行变量替换 eX该极限就变成一个容易求解的等价极限形式，从而使问题迎刃而解解令eX1,，且当X u0时，u.所以原式 limulimu2u2u求典Xa2x分析 该

6、极限式看起来形式简单，但却没有直接可利用的公式套用，需要进行变量替换.令ax 3 u ,可转化为对数形式的函数极限，然后利用第二个重要极限的结果计算.x、2 4例6 求极限lim 1 x 5 3x科人 252解令a , x 一 一, xie65 3x3 3a51原式 lim 1 a i2拓 a 03 x i例7求极限lim *x Lx 2 x 1解令 t x6,则 3/x t2, Vxt3, x2时，t64.原式116541612) 3 "变量代换法”在二元函数极限计算中的应用定理（复合函数极限）设有复合函数f g x, y1) lim g P bP Polim f (u) A u

7、b2) P Uo Po；有 u g P Uo b3) lim f u A ,则 lim f g(P) u bP F0证明由条件3）即0, o 0,使得当u Uo b; 0时，都有f u A由条件1）即对上述 0 0,0，使得当p Uo P0;时，都有g P再由条件2) 0 g P b u b 0,于是000,从而 0, p：0PPo，有(g Pf u Abub 0,从而f g P A即 lim f g(P) A.p Po例8 求lim (1xy a2x2)x y ,其中 a 0. xy“1，1解因为(1 ) xy2x2x y(12x1xy-,(x y)y一)xy,y a时，作变换令xy t,相

8、应有t则 lim (1xy a1 _1)xy xy1 . tim(1 -)te所以例9求lim因为exy 12x所以limexy2xlim(1x y aexy 12x,yexy 12xy2x21 _1)x yxylim(1xy ax eylim ln(12x1 ) xy (x y)yxylim ex y a1 xv 2x ln(1 )xyxy (x y)ya时,0.作变换xy1 _)xy xy2x limx (x y)yy at,相应有texyy ,又因为 lim a 2xy一 21 lim xFyay 一、xt.e lim t 2t21-e a2eK上述两例说明，当x,y a(a 0常数)时

9、，二元函数f (x, y)的极限，作代换xy t(t ),利用已知一元函数的极限公式来求使计算简便可行.例 10 求 lim (x2 y2)e 2x yxy解因为(x2 y2)e 2(x y)(x y)22(x y)e,y 时,作变换x y t ,相应有t ,则limx y(x y)22(x y)elimtt22te0, lim 2xyx2xee2y2 limxy2xelimx yye2y所以 lim (x2 y2)e2(xy)0.xy此例说明，当x ,y时，二元函数f(x, y)的极限作代换x y t(t用已知一元函数的公式来求.y2 t综上所述，根据函数f(x, y)的特殊类型，利用两个变

10、量x, y的和x y t ,平方和x2 及乘积xy t等作代换，把所求极限问题整体或部分转化为一元函数求极限的问题.例11 求 limx,y 0,02 22x y解法因为当2x22x yJ2|y由极限的定义，得limx,y0,0解法二作变换当x, y 0,0时，有因为 cos2 sin22x22 xx, y2 22x y0,02x2时,2x0,取2 22x y0.r cosr sin代表x, y到0,0的距离),2 02x2-2- x2y2 ylimx,y 0,0c 42r cos2. 2, sin2 r-22. 22r cos sin ，22x ylim 2r2r 02.2cos sin0.

11、此例说明用极坐标代换求极限比用定义求极限简单.对函数的自变量作极坐标变换x r cos , y r sin这时x, y0,0就等价于r 0 ,极限值与极角无关.例12 求limx,y 0,02x32 x3y2 y解法一 1) 令y则limx 0 y kxkx32 kx2x 1 k3lim 1 k0 ,其值与k无关.x 0 1 k2）因为2 x33y2 y2 x3所以只要取，且limx,y 0,00.此解法用变量代换kx求极限其结果与A ,人 x解法二令 yr cosr sin当x, y0,0因为cos_ 3 sin所以 lim2(x23y23)(x,y) (0,0) x2y23 cos_ 3

12、sin3lim 2r(cosr 02x1 ly2y 1max2x,2y ,x, yk无关,时，有rsin3 )0,0时2y,|y2 x3但还需用极限定义加以验证由以上例题可以看出，选择恰当的变量代换，在求解二元函数极限时显得十分重要.例13求 lim(x,y) (0,0)3( x2y2) y2 1 人 x r cos解令y r sin(x, y)（0,0）时，有r 0 ,则lim (x,y)(（0,0）1422、3(x y )x2limr 03r2limr 02 1 1)lim 3( , r2 1 1) 6r 0lim(x,y) (0,0)x作变换ln(2y2)rcos 、，当（x, y）y

13、r sin(0,0)时,有 rlim(x,y) (0,0)_22ln(2 x y )22x ylimr 0_2ln(2 r )2r洛比阿2r2 r22r例 15 求 lim (x2(x,y) (0,0)2 2xyy )解因为(x2 y2)2xy(x2 y2)ln(x2 y2)_ . , 2 2、_e2xy叭x y) 0 2xyln(x2y2)(x, y)(0,0)时，有r cos r,当r sinlim(x2(x,y) (0,0)y2)ln(x22)limI 2 ln r2-ry2)0，2lim 2xyln(x(x,y) (0,0)因此(“叫,户22 xyy)2y例16求lim x y作变换,

14、y时,0,v0(uv 0)则limx y2y2xlim(u,v) (0,0)2v 1/1 2(u )/1 2(V )lim(u,v) (0,0)2u2v由人u 再令vr cosr sin(u,v)(0,0)时,相应有(u,v)lim(0,0)2u2v2u v32.2r cos sin2r22r cossin 0 (2cos sin1)说明由以上几个例题可以看出当x r cos , y r sin ,相应于 r(x, y) (0,0)时，二元函数 f (x, y)的极限用极坐标变换0，将 f (x, y) f (rcos ,rsin )化成(r)()的形式计算比较简单，通过变换可化不定式为定式求出极限，也可以将其化为无穷小量与有界变量的乘积， 然后利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量求出极限.3总