习题参考解答

1、数学建模习题解答第一章部分习题3(5).决定十字路口黄灯亮的时间长度.4 .在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5 .模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少6 .利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：(1)分段的指数增长模型.将时间分为若干段，分别确定增长率r.(2)阻滞增长模型.换一种方法确定固

2、有增长率r和最大容量xm .7.说明1.5节中Logistic模型(9)可以表示为xt =t0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t0与r, xm的关系.8.假定人口的增长服从这样的规律：时刻 t的人口为x，t至ij t+At时间内人口的增量与 xm-x(t)成正比(其中为xm最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、 阻滞增长模型的结果进行比较 .9(3).甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙， 某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往

3、甲乙两站的电车经过丙 站的时刻表是如何安排的。参考答案3(5).司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1 ,设通过十字路口的距离为S2 ,汽车行驶速度为v ,则黄灯的时间长度t应使距停车线Si之内的汽车能通过路口，即,Si S2t v其中Si可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路 面及司机反应灵敏程度等因素的影响 .4.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f S利g® ),将椅子旋转180°其余作法与1.3 节相同.5.人、猫、鸡、米分别记为 i =1,2,3,4 ,当i在此岸时记为=1 ,否则记为=0 ,则此岸的 '状态可用S=%,

4、X2,X3,X4成本。记s的反状态为s =(1 x1,1 X2,1 X3,1X4 ),允许状态集合为S =(1,1,1,1)(1,110总1,0,1 )(1,0,1,1 )(1,0,1,0及他们的5个反状态决策为乘船方案，记作 d =(u1,u2, u3,u4 ),当i在船上时记5 =1,否则记5=0,允许决策集合为 D ='：1,1,0,0, 1,0,1,0, 1,0,0,1 , 1,0,0,0 :'记第k次渡河前此岸的状态为sk,第k次渡河的决策为dk,则状态转移律为kSk书=Sk +(-1 ) dk ,设计安全过河万案归结为求决策序列d1，d2,，dn w D,使状态Sk

5、 w S按状态转移律由初始状态G =(1,1,1,1 )经n步达到Sn书=(0,0,0,0)。一个可行的方案如下：k12345678Sk(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,01 )(0,1,0,0)(1,11,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)dk(1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,01 )(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)6(1).分段的指数增长模型根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：1790年至1880年平均年增长率 2.83%;1890年至1960年平均年增长率 1.53%;1970年至2000年平均

6、年增长率 1.12% .三段模型为(1790年为t=0, 1880年为t=1 , ?)X1=3.9e0.283t , t=0,1, ?,10X2(t)=X1(10) e0.153(t-10) , t=11,12, ?,18X3(t尸 X2(18) e0112(t-18) , t=19,20, ?,226(2).阻滞增长模型可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r,取某些专家的估计400百万为最大容量Xm,以1790年的实际人口为X0,模型为1.5节的(9)式。 以上两个模型的计算结果见下表：年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.2

7、9.612.917.123.231.4模型(1)3.95.26.99.112.116.121.328.3模型(2)3.95.27.o9.412.616.722.229.3年187。188o189o19oo191o192o193o194o实际人口38.65o.262.976.o92.o1o6.5123.2131.7模型(1)37.549.866.177.o89.71o4.6121.9142.o模型(2)38.449.964.181.21o1.3124.1149.o174.9年195o196o197o198o199o2ooo实际人口15o.7179.32o4.o226.5251.4281.4模型(

8、1)165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型(2)2oo.9225.8248.6268.7285.93oo.17.X注息到t=to时x = ,立即可得x(t)=XmXmrt1(-1)eXo且toJnrXm -Xo,，X(t)=XoXm1 et_Lo .8.dX=r Xm dtx o = Xo,其中r为比例系数。解上述初值问题得Xt = Xm - Xm - Xo e如下图中实线所示:x当t充分大时，它与 Logistic模型相近。9(3).不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是:8:00, 8:10, 8:20, ?,那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09, 8:19,

9、8:29, ?.第二章 部分习题3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%9.用宽 w 布条缠绕直径 d的圆形管道，要求布条 ,.不重叠，问布条与管道轴线的夹角«应多大（如/一7八图）。若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端 4关_d的影响）。如果管道是其它形状呢J /16 .雨滴的速度v与空气密度 P、粘滞系数 N和“萩一重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运”包动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数， 用量纲分析方法给出速度 v的表达式1

10、7 .原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放的能量e,大气密度P,大气压强p有关（设t = 0时r =0）用量纲分f t2 #5 f 5t6、析方法证明r =句金鸟上，*是未定函数参考答案3.由模型假设3,划桨功率P与体重切成正比，而桨手数 n=8不变，所以2.5节（2）式改为v工 侬/ s3。 记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为1 、1/3/、1/3.1,3v202s1小、t 叫，仍2 ,Vi, v2,3, t2 , Si, S2 ,则= -。估计Si / S2的大小：重重级组体t2 Vl'产 1 J

11、（S2 /重大，会使浸没面积增加，单艇身略大，又会使浸没面积减少，因而s1/s2不会超过1.05。代入孙=86,82 =73可得 t1/t2ft 0.96.9.将管道展开如图， 可得0=叼8$"，若 一定，8 T 0尸T冗/2；切T 叼,口一 0若管道长度为l ,不考虑两端的影响时布条长度显然为ndl/co ,若考虑两端的影响，则应加上nd8/sin 口，对于其他形状管道，只需将 nd改为相应的周长即可16.设17.设f(v,P,R,g )=01N】=MLT，解得 F(q2 )=0,兀1 =vr/2g/23/2 4/2.1 1/2口 g是 丫二中后中(r3/2Pg1/2/N ), 中

12、是未定函数.f (e, P, p,r,t )=0 解得 F(ni,n2 )=Q0 =e_1Pr5t,冗2 = ePp5t6 于是21/5- 中第三章部分习题1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小3 .在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度九与开始救火时的火势 b有关,试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。4 .在3.4节、最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量X的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。7.要在雨中从一处沿直线跑

13、到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 a=1.5m (颈部以下)，宽b = 0.5m厚c = 0.2m,设跑 步距离d = 1000m,跑步最大速度Vm=5m/s,雨速u=4m/s ,降雨量w = 2cm/h,记跑步速度为v ,按以下步骤进行讨论；(1)不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量(2)雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为9 ,如图1建立总淋雨量与速度 v及参数a,b,c,d, u, w,e之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少,计算0 =0,0 =30&#

14、176;时的总淋雨量。(3)雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为 石，如图2建立总淋雨量与速度 v及参数a, b,c,d,u,w, E之间的关系，问速度v多大，总淋雨量 最少，计算3 =300时的总淋雨量。(4)以总淋雨量为纵轴，速度 v为横轴，对(3)作图(考虑«的影响)，并解释结果 的实际意义。(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。参考答案1 .设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型，每天平均费用为c1c2rTc(T+kr,T,Q,的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为T 2c(T,Q)=- |ci +cQ-

15、+c(rT -Qf +kQ1利用三=Q a=0,可求出 T,Q 的最T 2r 2rFTQ优结果为2Z'2r7. 2 2,*12Gl C2 +q k c*2c-rq qk rkrI = J- ,Q = -n -,rG2C3c2c3C2C2C3C2G2G3G2C3* * . . . . T , Q均不考虑费用k时的结果减小.3 .不妨设九(b )=,表示火势b越大，灭火速度九越小，分母b+1中的1是防止bT 0 b 1时九T 如而加的，最优解为也 Kb2 +2c2b(b +1 (b +1 ) (b +1 )P2c32一4 .不妨设q(x)=q0 -kx,k ,是产量增加一个单位时成本的降低

16、，最优价格为* qo -ka aP2 1 - kb 2b7.1) 全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2,淋雨时间t = * = 200s ,降雨量 Vm切=2cmh =10%8嗯，所以总淋雨量 Q=s惜之2.44升2)顶部淋雨量Q1 =bcd6cos% ；雨速水平分量usinH ,方向与v相反，合速度 usinH +v ,迎面单位时间、单位面积的淋雨量"(usin" +% ,迎面淋雨量Q2 =abdWusine +少 所以总淋雨量 q = Q1 +Q2 lcuco'，usn+vI UVuVv=vm 时 Q 最小，e=0,Q 电 1.15 升。e =30

17、76;,Q 定 1.55 升。3)与2)不同的是，合速度为 usin" -v ,于是总淋雨量,v _ u sin 工,v u sin :"bd© cu cos a +a(u since v ) bdw u(ccos。+ asinct )av uvuvbd cu cos： »a v usin：工 j bd u ccos： - a sin "av,uvuv若ccosa asin ot <0,即tana >% ,则v = usn a时Q最小。否则v = vm时Q最小(见卜图)当 a =30°,tano( >0.21.5,

18、v = 2m/,Q 定 0.24升最小，可与 v = vm,Q 定 0.93升相比.4) 雨从背面吹来，只要 a不太大,满足tan a c c/ ( a = 1.5m, c = 0.2m时，a7.60即可)，v =usin a,Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨.5)再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化第四章部分习题2. 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向 个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售 代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线

19、性规划模型 并求解3.某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9-10101111-121211 -22 33445服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇 佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元，问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费 用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少

20、多少费用？6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品 （分别记为A, B）,按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、Bo已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3, 1,2, 1 （%）,进货价格分别为 6, 16, 10, 15 （千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过 2.5, 1.5 （%），售价分别为9, 15 （千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有 限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100, 200吨，问应如何安排生产？参考答案2.将大学生数量为 34

21、, 29, 42, 21, 56, 18, 71的区分别标号为 1,2, 3, 4, 5, 6, 7区, 划出区与区之间的如下相邻关系图：记ri为第i区的大学生人数，用0-1变量Xj =1表示（i, j ）区的大学生由一个销售代理点供应图书（i < j且i, j相邻 ），否则xij = 0，建该问题的整数线性规划模型Max * ri - rj xiji ,j相邻s.tJ x < 2i.j" % ji w 1- ixij0,1)IPMax63x12 67x13 7仅23 50x24 85x25 63x34 77x4539x46 92x47 74x56 89x67s.t.Lx

22、12+x13十x23十x24+ *25+*34 + x45x12+x13<1x12+x23十*24+ *25<1x13+x23+ *34<1x24十x34+ *45+ *46+ x47<1x25+x45+ *56<1x46十x56* x67<1x47+x67<14=0或1-x46 - x47 - x56 - x67 < 2用LINDO求解得到：最优解为 x25 =x47 = 1 （其他为0）最优值为177千人.3.设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以 12: 00为午餐时间的有 人名，以1: 002: 00 为午餐时间的有x2名；半时服务员中从 9:

23、 00, 10: 00, 11: 00, 12: 00, 1: 00开始工作 的分别为y1，y2, y3, y4, y5名，列出模型：Min100x1 100x2 40yl 40y2 40y3 40y4 40y5x1+x2+y1> 4x1+x2+y1+ y22 3%+X2+y+ y2+ y3父4x2+y+ y2+ y3+y4之6s.t.xi+y+ y2+ y3+y4+y5 之 5xi +x2+ y3 + y4 + y5 之 6x1 +x2+ y4 + y5 之 8x1+x2+ y5 > 8+ y + y2 + y3 + y4 + y5 w 3x1, x2, y1, y2, y3,

24、y4, y5 之。且为整数(1)求解得到最优解xi=3,x2=4,yi=0,y2=0, y3= 2, y4=0,y§= 1，最小费用为820元。(2)如果不能雇佣半时服务员，则最优解为xi =5,x2 =6, yi =0, y2 =0,y3 =0,y4 = 0,y5 = 0,最小费用为 1100 远，即每天至少增加 1100-820=280 元。(3)如果雇佣半小时服务员的数量没有限制，则最优解为x1 0, X2 =0, y1 4, y2 = 0,丫3 = 0,丫4 2, y5 8 ,最小费用为560兀，既每天可以减少820-560=260 元。6.设y1,Z1分别是产品 A中是来自

25、混合池和原料丙的吨数，y2,Z2分别是产品B中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丙所占的比例分别为x1, x2, x4 o优化目标是总利润最大，即Max9 -6x1 -16x2 -15x4 y1 15 - 6x1 -16x2 -15x4 y2 9-10z115 -10 z2约束条件为：1)原料最大供应量限制：x4(y1 +y2产502）产品最大需求量限制：y1 +乙<100, y2 +Z2 <2003）产品最大含硫量限制：对产品 A,（3x1 +x2 +x4 M +2Z1 E2.5,即（3x + x2 + x4 -2.5）y1 0.5乙 < 0y Z1对产品 B,

26、3x1x2x4 -1.5 y20.5z2 M 04）其他限制：xI +x2 +x4 =1,x1，x2,x4,y1,Z1,y2,Z2 之 0用LINGO求解得到结果为：x2 =x4 =0.5, y2 =Z2 =100,其余为0;目标函数值为450 .第五章部分习题1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：(1)若so >1/。，则i(t )先增加，在s = 1/仃处最大，然后减少并趋于零；s(t )单调减少至sg。(2)若So >1/。，则i(t评调减少并趋于零，st弹调减少至 江。9.在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率P(t怀口生育模式h(r,t )是两种控制人口增长的手

27、段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及 生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。*16.建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为V,出手高度为h出手角度为d (与 地面夹角)，建立投掷距离与v,h,白的关系式，并在v,h一定的条件下求最佳出手角度。参考答案di . dids1. SIR模型(14)式可写作 一=Ni ps1 )=九si.由后一方程知 一 <0,st单调减少。dt出dt11一， di_ . ,1di_ .1)右so >一，当一cscs。时，一:>0,巾 蹭加；当s =一时，一 = 0"(t)达到最大 d

28、t二dt1 . di.一值 im；当s<一 时，一 <0,i(t X 少且孱=0(18 此)二 dt,1 di一 ,一2)若so < 一, 一 < 0,i t单调减少至零二 dt9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率P(t)=1 ;晚婚晚育相当于生育模式 h(r)中(5。6节(13)式)使1和rc增大；生育第2胎一些规定可相当于 p(t)略高于1,且h(r)曲线(5。6节图19)扁平一些(规定生 2胎要间隔多少年)*16.在图中坐标下铅球运动方程为x =0, y =g,x(0 )= Q y(0 )= h, x(0 )=vcosu, y(0 )= vsinot.解出 x

29、(t), y(t)后，可以求得铅球掷远为1/2R v2 . K /v2.2+2h xR =sin ot cosot + I 2sin a + glgg Jv cosa ,这个关系还可表为222R g = 2v cos :工 i.h Rtan 不由此计算dRd：L 0 ,得最佳出手角度口*i=sin.2 v2 gh,和最佳成绩* vR = - qv + 2gh 设 h = 1.5m, v=10m/s,则 a 忠 41.4 , R =11.4m. g第六章部分习题N2 .与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型；x（t ）= rxln,x其中r和N的意义与Logi

30、stic模型相同。设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h= Ex,讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续广量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平Xo3 .在6.3节种群竞争模型中设 。1仃2 =1（5。仃2 ），求平衡点并分析其稳定性11 . 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点12 .大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少，在适当假设下建立

31、岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。参考答案NE /r13 模型为：x = F（x）=rxln Ex,如图所不，有2个平衡点：x = 0和X0=Ne 。 x可证x =0不稳定，Xo稳定（与E的大小无关）最大持续产量为hm = rN /e ,获得hm的*Em =r,% = N/e14 在条彳。1。2 =1 下，记。1 =仃即。2 =1/。有 3 个平衡点：Pi（Ni,0 ）, P2（0,N2 ）,P3（0,0 ）。P3不稳定；仃1时，P2不稳定，Pi稳定；。1时，反之11.植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作x1（t）x2（t ）x3（t ）,若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为式中常数可

32、作类似 6.5节的解释，平衡点为结果与6.5节相同。12.记岛上物种数为X（t ）,大陆上物种数为成正比，同时x（t ）的减少率与已迁移的物种数x t = ：- N -X ）一 . x因Pi（0,0,0 ）P2r2/2，1Z ,0 1 P2 点中 Xi 和 X2 的N。设x（t ）的增加率与尚未迁移的物种数N -XX成正比，则N,P A 0 ）稳7E状态时X0 = .a + P, X3 =第七章部分习题1（1）.对于7.1节的蛛网模型讨论：因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k+1可时段的价格yk书由第k+1和第k时段的数量xk书和Xk决定。如果仍设Xk

33、书仍只取决于y3给出稳定平衡的条件，并于 7.1节的结果进行比较6.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若总和繁殖率R. > 1,则种群增长，若 R. <1则种群减少。参考答案1（1）.简单地假设yk书由Xk4和Xk的平均值决定，模型为.,'Xk+Xk'二 c yk 书y。Xo 严 > 0<2；Xk 1 - X。= - yk - yo ,-0得2Xk七+aXk书+upXk =2（1 +d X0，与7.1节（B）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为:一: 2 .6.由7.4节定理1及（11）式可知，R = 1是九=1的充分条件。又因（11

34、）式可写作：1 =丘+空1+ JnSiSjsg 所以当九>1时 必有Ra1当九<1时 R<1o反之, 2n九 AjAj亦有Ra1时九>1; R<1时九<1。再由（15）式即得Ra1时，种群增长；R<1时种群 减少.第八章部分习题2.对于n阶成比例阵A =电、设a。="引，5=1十厮，其中w =（w1,wn:是对Wj应与最大特征根的特征向量，6j表示aj在一致性附近的扰动，若 6j为方差62的随机变量，证明一致性指标 CI 25.为减少层次分析法中的主观成分，可请若干专家每人构造成对比较阵，试给出一种由若 干个成对比较阵确定权向量的方法7.右图

35、是5位网球选手循赛的结果。作为竞赛图，它是双和向连通的吗？找出几条完全路 径，用适当排出5位选手的名次。16.奇数个席位的理事会由三派组成，议会表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能 操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。参考答案二 i .鸟j可得jn2.记A的特征根为九，由.i =工ajj%（i =1,2,n）和aj j i1 nnSinn 'i致性指标为a = - Z z aj L,-1 = -Z Z ' +。注意到 =i+6j, n 一缸ns.ijijniTjTiniTj 4由、_ijJn一1 ,CI =1n-1 n-1nT n二二2

36、nn-1 y j/ j1 nT n 1、.2:' i2 .二n n 1 y j 才 125.设有s个专家的成对比较矩阵 人-)=匕1)"=1,2，s),要给出综合的权向量co =仙，5 ),方法很多，如方法一：由A(k求出权向量w(k ) = (w1)，w»。再求几何平均值 wi ,s'kw =(叫2) (i =1,，n)?*是第k个专家的加权因子，满足 k 二Wi最后归一化为方法二：先取ajtk柄几何平均，得到综合的成对比较阵 A = (aj晨,saj =n 禽2九,j =1,n)%同上，再由A计算权向量0 .k 17.竞赛图是双向连通的,2453 1,5

37、3124等都是完全路径，图的邻接矩阵0 10 100 0 110为：A= 1 0 0 0 00 0 10 11110 0_各级得分向量为s = sC )= (2,2,1,2,3 T , s(2 )= (4,3,2,4,5 T , s(3 )= (7,6,4,7,9;，s(4 )= (13,11,7,13,17 T 。由此 可知，名次为5,1(4 )2,3 (选手1和4名次相同)。这个结果也可由计算 A的最大特征根 儿和 对应特征向量s得到九=1.8393,s= 0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 T.16.设三派的席位分别为 n1,n2,n3,记n1 +n2

38、+n3 =n (奇数)，任一派不能操纵表决，即n 1 一n 75,也，,于是R +e，+%,%+3 A,即任两派的席位过半数。显然三22派的权重都是一样的各占13.第九章部分习题4.商店要订购一批商品零售，设购进价 cl,售出价c2,订购费c0 （与数量无关），随机需 求量r的概率密度为p（ r，每件商品的贮存费为 c3（与时间无关），问如何确定订购量才能使 商品的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制.7.在9。4节给出的例子中，若l=2.0m不变，现均方差减为=10.cm ,问均值m应为多大， 每得到一根成品材的浪费量多大（与原来的数值相比较）

39、参考答案4.设订购量为U ,则平均利润为u 二 uJ(u ) = C2 14 rp(r dr +up(r dr 厂仔 +cu + C30 (u r p(r Hr j-C2 - Cl u - Co - C2uC3 0 u - r p r dr*uu的最优值u*满足0p r dr = c2-c1C2 C3*u最大利润为J（u）=（C2+C3% rp（r Hr-Co为使这个利润为正值，应有* uCo ：二 C2 C3 0 rp r dr*7. L = % =20 解(13)得 Z =2.1。再由(11), (18)式，N = 22.1,m = 2.21m 此即最佳均值*m又可算出p(m )=0.98

40、21 ,每一根成品材的浪费量为J1 =一7 l =0.25m,比原来的p m0.45m减少甚多.第十章部分习题7.下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降，希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产 批量与单位成本的关系.生产 批量650340400800300600720480440540750单位 成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50参考答案7.生产批量与单位成本分别记作X和y ,为表示x在500以上和以下时，y与x的不同关一 一，、人一口 _, n, x>500系，引入一个虚拟变量 D ,令D =），建立线性回归模型0, x < 500y = P0+F1x+P2仅-500 D十名，得到的结果为参数参数传计值置信区间久6.16215.03687.2874】-0.0047L0.0074-0.0020】-0.0036L 0.00760.000