2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案

1、2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案一、圆的综合1 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于 G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求证：FE是。的切线；(3)若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) 5.【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示：BC是直径，/ BEG90 ；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示： BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，A

2、C,.FEI OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，FE?=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=82=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3.CG FC CG 2 1将,OE/ AC, .FCSFOE,，即 *2 + 3 ,解得：cg=' .点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.2.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO,。交BC于点D,交CA的延长线 于点E.过点D作DF, AC,垂足为F.(1)求证：

3、DF为。的切线；(2)若AB= 4, ZC= 30。，求劣弧？E的长4【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】分析：（1）连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角，可得 /ADB=90 ,然后根据等 腰三角形的性质求出 BD=CD,再根据中位线的性质求出ODLDF,进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE,根据三角形的外角求出 /BAE的度数，然后根据圆周角定理求出/BOE的度数，根据弧长公式求解即可 .详解：（1）连接 AD、OD. .AB 是直径，ZADB=90°.,.AB=AC,，BD=CD,又. OA= OB, ，OD 是ABC的中位线，OD/ AC,.DFAC,ODXD

4、F,，/BAE= 60°,./BOE= 2/BAE, ，/BOE= 120；12Q4EE .兀 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形 的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键.3.如图，在VABC中， ACB 90°， BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE AD交AB于点E,以AE为直径作e O .1求证：BC是e O的切线；2 若 AC 3, BC 4,求 tan EDB 的值.【答案】（1）见解析；（2） tan EDB 2【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明 OD/ /AC ,再利用ACBC 得到 OD BC

5、,的判定定理得到结论;2先利用勾股定理计算出 AB 5,设e O的半径为r,则OA OD r,再证明VBDO sVBCA ,利用相似比得到r： 3 5r5,解得r158然后根据切线OB 5 r,接着利用勾5股定理计算BD ,则CD3“1小2 ,利用正切定理得tan 1万，然后证明1 EDB ,从而得到tan EDB的值.【详解】Q AD 平分 BAC ,1 2,QOA OD ,2 3,3 3,OD /AC , Q AC BC,OD BC , BC是e O的切线；4 解：在 RtVACB 中，AB J32 425,设e O的半径为r,则OA ODQOD/AC ,VBDO sVBCA,OD ： A

6、C BO ： BA,15即 r： 35 r ： 5,解得 r 一，8OD15£ OB258，5在 RtVODB 中，BD JOBOD3CD BC BD , 23在 RtVACD 中， CD , 1 , tan 1 2AC 3 2Q AE为直径，ADE 900,EDB ADC 900,Q 1 ADC 900,1 EDB ,1tan EDB . 2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条 直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.4.如图，4ABC的内接三角形

7、，P为BC延长线上一点，/PAC4 B, AD为。的直径， 过C作CGL AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直线PA与。O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB；(3)若。的直径为10, AC=2j5, AB=4j5,求4AFG的面积.【答案】(1) PA与。O相切，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 3.【解析】试题分析：(1)连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得/B=/D,由已知/PAC玄B,可证得 DA, PA,继而可证得 PA与。O相切.(2)连接BG,易证得AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论 (3)连接BD,

8、由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 AEFABD,即可求得 AE的 长，继而可求得 EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：（1） PA与。O相切.理由如下: 如答图1 ,连接CD,. AD 为。的直径，/ACD=90.°/ D+/CAD=90 : . /B=/D, /PAC玄 B,，/PAC=/D. / PAC吆 CAD=90 ；即 DA± PA. 点A在圆上， .PA与。O相切.答图1(2)证明：如答图2,连接BG, . AD 为。的直径，CG± AD,Ac Ad ./AGF=/ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG： AB=AF

9、： AG. . AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD,. AD 是直径，Z ABD=90.°- AG2=AF?AB, AG=AC=275 , AB=4 5/5 , . AF=V5.-. CG± AD,/ AEF=Z ABD=90 :AE / EAF=Z BAD AE匕 ABD.ABAFAD即华也,解得：AE=2.4、510EFAPAE 1 .EG Jag2 AE2 4, FG EGc1 1 c c c''' S afg FG AE 3 2 3. 22EF4 1 3.考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系;角形的判定和性质；6.勾股定

10、理；7.三角形的面积3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三5.四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE= EG BE= ED,以AD为直径的半圆过点 E,圆 心为O.（1）如图，求证：四边形 ABCD为菱形；口 。42?0（2）如图，若BC的延长线与半圆相切于点 F,且直径AD = 6,求弧AE的长._ . 、_一 .兀【答案】（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出 AC± BD即可得出结论； （2）先判断出 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE进而得出Z CDA=30°,最后用弧长公式 即可得出结论.试题

11、解析：证明：（1） .四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE=EC, BE=ED, .四边形ABCD是平行四边形.二以AD为直径的半圆过点 E,/ AED=90°,即有AC BD, 四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四边形 ABCD是菱形， 4ADC为等腰三角形，AD=DC且DEL AC,/ADE=/CDE如图2,过点C作CG，AD,垂足为G,连接FO. 丁 BF切圆。于点F,-1 ，.OFXAD,且OF -AD 3 ,易知，四边形 2CG在 RtCDG 中，CD=AD=6, sin/ADC=CGOF 为矩形，.-.CG=OF=3.，/CDA=30°,，/ADE=1

12、5°.301802CD点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性 质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.如图，AB是。的直径，点 C, D是半圆O的三等分点，过点 C作。的切线交 AD的 延长线于点E,过点D作DU AB于点F,交。于点H,连接DC, AC.(1)求证：/AEC=90;(2)试判断以点 A, O, C, D为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析；(2)四边形AOCD为菱形;(3) DH=2'.【解析】试题分析：(1)连接OC,根据EC与O O切点C,则/ OCE=90 ,

13、由题意得Z AEC=90,/DAC=/ CAB,即可证明 AE/ OC,则/ AEC-+Z OCE=180 ,从而得出(2)四边形AOCD为菱形. 平行四边形，再由 OA=OG 形是菱形)；(3)连接OD.根据四边形1?1用1)得m则/DCA=/ CAB可证明四边形 AOCD是即可证明平行四边形 AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边AOCD为菱形，得4OAD是等边三角形，则 /AOD=60,再由DFDHAB于点F, AB为直径，在 RtOFD中，根据sin/AOD，0,求得DH的长.试题解析：（1）连接OC,.EC与。O切点C,OCX EC,/ OCE=90,°点CD是半圆O的三等

14、分点，E) (3 C3Z DAC=Z CAB, .OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=Z OCA, .AE/ OC (内错角相等，两直线平行) / AEC-+Z OCE=180,°/ AEC=90;°(2)四边形AOCD为菱形.理由是：r?i ra,sn = ch-1 ，Z DCA=Z CAB,.CD/ OA,又 AE/ OC,四边形AOCD是平行四边形，.OA=OC,平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)； (3)连接OD.四边形AOCD为菱形, ，OA=AD=DC=2 .OA=OD, .OA=OD=AD=2, .OAD是等边三角形，/ A

15、OD=60 ； DHL AB于点F, AB为直径， .DH=2DF,DF在 RtOFD中，sin/AOD='"，DF=ODsinZ AOD=2sin60 =打, . DH=2DF=2V'3考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质 3.菱形的判定与性质 4.解直角三角形.7.如图，4ABC内接于。O,且AB为。的直径./ ACB的平分线交OO于点D,过点D 作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AEL CD于点E,过点B作BF, CD于点(1)求证：DP/ AB;(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析(1)连接OD,由AB为。的直径

16、，根据圆周角定理得 /ACB=90,再由 /ACD=/ BCD=45 ；则/ DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB为等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根据切线的性质得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于 DAB为等腰直角三角形，可得到ADAEAB210-25衣；由4ACE为等腰直角三角形，得到CE £ -1= 3 J2 ,在Rt AED中利用勾股定理计算出 2、2DE=4/2，则CD=7 2，易证得一PDPAAD5 25 .PDAsPCD,得到PDPA2*2,所以pajpd,PCPDCD7.277PC=-PD,然后禾1

17、J用PC=PA+ACT计算出PD.5【详解】解：（1）证明：如图，连接 OD,.AB 为。的直径，/ACB=90.°/ ACB 的平分线交 O O 于点 D, Z ACD=Z BCD=45 :/ DAB=Z ABD=45 . DAB为等腰直角三角形.DOXAB.PD为。的切线,2 .DP/ AB.3 ODXPD.(2)在 RtACB 中,AB =7AC- +BC; = 10，f AB 10 一 £, DAB为等腰直角三角形，於=飞=不=、立.AEXCD, .ACE 为等腰直角三角形.，aE=CE = , = £=3 .在 RtMED 中，DE =JAD'A

18、E： f 仍'“4. 4/2 , CD=CE-nDE =3拒+ 4点=7忠.PD PA .AS 5 也 pc =. AB / PD, / PDA=Z DAB=45 : / PAD玄 PCD.又 / DPA=Z CPD, PD PCD.35.PA=-PD, PC=- PD.又PC=PA+AC7PD+6=5PD,解得 PD=.57r(1)请用圆规和直尺作出 OP,使圆心P在AC边上，且与 AB, BC两边都相切(保留作图 痕迹，不写作法和证明).(2)若/B=60°, AB=3,求。P 的面积.【答案】(1)作图见解析；(2) 3兀【解析】【分析】(1)与AB、BC两边都相切.根

19、据角平分线的性质可知要作/ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置.(2)根据角平分线的性质和30。角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积.【详解】 / A=90 ；BP=2APRtAABP 中,AB=3,由勾股定理可得： AP=J3,，So p=3兀9.如图，在RtAABCC 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上，OO 经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若。O的半径是2cm, E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)【答案】(1)证明见解析 (2) 2- J33【解析】【分析】(1)连接OD,只要证

20、明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. / OAD=/DAC, ./ODA=/DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； . . OD,BC, . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De，oe，ad-/OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°,，S呻S 扇形 oae- Sa aoe 602-22 V3 .3604

21、3【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.10.如图1,已知。是AADB勺外接圆，/ADB的平分线 DC交AB于点M,交。O于点C,连接 AC, BC.（1）求证：AC=BG（2）如图2,在图1的基础上做OO的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作OO的切 线AH,若AH/BC,求/ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若 AABD勺面积为6，3, AABDW A ABC勺面积比为2: 9,求CD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）

22、30。； （3） 2J33【解析】分析：(1)运用 在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；(2)连接AO并延长交BC于I交。O于J由AH是。的切线且 AH/ BC得AILBC,易证/IAC=30,°故可得/ABC=60=2 F=/ACB,由CF是直径可得 / ACF的度数；(3)过点 D作DGLAB,连接 A0,知ABC为等边三角形，求出 AB，AE的长，在 RtAAEO 中，求出A0的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求 CD的长.详解：(1) DC平分 /ADB,ZADC=Z BDC, . AC=BC(2)如图，连接 A0并延长交BC于I交。于J.AH是。的切线

23、且 AH/BC, AIXBC,.BI=IC, .AC=BC, .IC=1AC,2/ IAC=30 , °/ ABC=60 =°Z F=Z ACB.FC是直径，/ FAC=90,°/ ACF=180-90 -6030 :(3)过点D作DG AB,连接AO由(1) ( 2)知ABC为等边三角形 / ACF=30AB CF ,，AE=BESMBCAB2 27“ , 4，AB=6 囱,AE 33.在 RtAAEg,设 EO=x,贝U AO=2x, AO2 AE2 OE2, 2x 23x/3 2 x2, .x=6,。的半径为6, .CF=12. SMBD AB DG - 6

24、.3 DG - 6,3, 22 .DG=2.如图，过点D作DGCF ,连接OD. AB CF ,DG AB,.CF/DG,四边形GDGE为矩形，GE 2,CG GE CE 6 3 2 11,在 RtAOGD 中，OG 5,OD 6,DG 而，CD DG2 CG2,11 112 2.33点睛：本题是一道圆的综合题 .考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.11.如图，点B在数轴上对应的数是-2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧 AB, 使点A在原点的左上方，且 tan/AOB= 6，点C为OB的中点，点 D在数轴上对应的数 为4.(1)

25、 S扇形aob= (大于半圆的扇形)；(2)点P是优弧AB上任意一点，则 /PDB的最大值为 °(3)在(2)的条件下，当 /PDB最大，且/AOPV 180°时，固定OPD的形状和大小， 以原点O为旋转中心，将 OPD顺时针旋转a (0° WaW 3600 连接CP, AD.在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；当PD/AO时，求AD2的值； 直接写出在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围.【解析】【分析】AD=2P20+8 省或20+861WdW3(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中，当PD与。相切时，/PDB的值最大.解

26、直角三角形即可解决问题.(3) 结论：AD=2PC.如图2中，连接 AB, AC.证明COW4AOD,即可解决问题. 分两种情形：如图 3中，当PD/ OA时，设OD交。于K,连一接PK交OC于H.求出 PC即可.如图 中，当PA/ OA时，作PK± OB于K,同法可得.判断出PC的取值范围即可解决问题.【详解】(1) tan Z AOB=4,/ AOB= 60 ;°3002210、. .S扇形AOB= 300 (大于半圆的扇形)，3603OPXPD,/ OPD= 90八 OP sin PDO - OD/ PDB= 30 °, 同法当DP与。相切时， /PDB的最

27、大值为30 °, 故答案为30.(3)结论：AD=2PC./ BDP = 30°,理由：如图2中，连接AB, AC.OA=OB, /AOB= 60；.AOB是等边三角形， BC= OC, .-.AC± OB, / AOC= / DOP= 60 °,/ COP= / AOD,AO OD 2OC OP.,.COPAAOD,AD AO 2PC OC.AD=2PC.如图3中，当PD/ OA时,设 OD交。于K,连接PK交OC于H.,. OP=OK, / POK= 60；.OPK是等边三角形，1. PD/ OA,/ AOP= / OPD= 90 °, /

28、 POH+Z AOC= 90 ；/ AOC= 60 ；/ POH= 30 ；,-.PH= 1OP=1, OH= 3PH= 3 , 2PC= PH2 CH2,12 (1 '3)2.5 2.3.AD=2PC,AD2=4 ( 5+2 J3) = 20+8 73 .如图中，当PA/ OA时，作PKiL OB于K,同法可得：PC2=12+ ( J3 - 1) 2=5- 2 邪,AD2=4PC2=20-85/3 .由题意1中Cc3，在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围为1甫W3【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定 理，等边三角形的判定

29、和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.12.如图，四边形4NCD为菱形，且LBAD= 120以AD为直径作0 0,与CD交于点P.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.（保留作图痕迹）在如图中，过点C作片口边上的高（2）在如图中，过点作。的切线（Q,与"交于点Q.任.【答案】 如图1所示.（答案不唯一，见解析；（2）如图2所示.（答案不唯一），见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E连接CE即为所求.（2）连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.（1）如图1所示.（答案不唯一）（2）如图2所示.（答案不唯一）【点睛】本题考查作图-复杂作图，

30、菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型.13.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦 BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于 H,交AC于G.求证：AG= GD; 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？若 AB=10, sin/ABD= 3 ,求 BC 的长.5【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析；(3) BC的长为14 .5【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE±AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE ,然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

31、角相等，证得/ADE=/ABD,又由弦BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD;(2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得 /DGF=/ DFG=60 ,即可证得结论；(3)利用三角函数先求出 tan Z ABD 3, cos/ ABD=-,再求出DR BF,然后即可求出45BC.【详解】(1)证明：连接AD,. DEXAB, AB 是。的直径，Ad Ae，/ ADE= / ABD,.弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC

32、, .AG=GD;(2)解：当/ABC= 60°时，4DFG是等边三角形.理由：二,弦BD平分/ ABC,/ DBC= ZABD=30 ;.AB是。的直径,/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / ABC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 °, .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 / CAB= 60 °, .DGF是等边三角形；(3)解：.AB是。的直径,/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,.AB=10' sin/ABD=r在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD=

33、6, BD= VABBD=8，AD 3BDtan / ABD= 一,cos/ ABD=BD 4AB,39在 RtA ADF 中,DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=BF= BD DF= 8 =,22147 4在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBC= BF?cosZ ABD= x2 5一 14.BC的长为：一5Z)【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用, 注意辅助线的作法.14.如图，已知 AB是。的直径，直线 CD与。O相切于