虚功原理和静定结构位移计算

1、第九章 虚功原理和静定结构位移计算§91 虚功原理一、概念P虚位移：与对应的力无关的位移：虚力： 与对应的位移无关的力：虚功： 彼此无关的位移和力：二、虚功原理：位移状态：可能的位移状态 *变形与位移协调位移连续，杆件变形后不断开，不重叠。 *位移约束相容位移函数在约束处的数值等于约束位移。力状态：平衡力系；虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功=外力产生的内力在微段虚位移上所做的功。简称：外力功T=内力功U。§92 静定结构荷载作用下的位移虚功原理外力功：内力功：令、为荷载作用下微段的轴力、剪力、弯矩；则： 故：故：虚功原理：外力功T=内力功U故： 故：的物理意义：单位力在位

2、移上所做的功，在数值上等于位移，对于多个杆件组成的结构：单位荷载法求位移对于刚架梁：只考虑弯矩引起的位移对于桁架：只有轴力对于拱：通常只有项，当拱轴与压力曲线相近时，需考虑、两项引起的位移。例1、求、，为常数。PCBaAPa例2、求：、。解： （ ）qAl例3、求、为常数。ql2/2qCBxlAlxxxl解： BC： AB： （“-”说明实际C的转角与所设单位力方向相反）例4：试求圆弧曲杆B点的竖向位移。PPrr解： （） 若截面是矩形（）则：设：，于是最后一项表明轴向变形与剪切变形对位移的影响。因h远小于r，所以该很小，因而只考虑弯矩这一项。书上例题。作业：求： （已知：）解： PArBP/

3、2P/2对于拱结构，当拱的压力线与拱轴接近时，则还要考虑轴力影响，即： §93 图乘法求内力功应用条件：1、各杆EI为常数； 2、杆轴线是直线； 3、中至少一个为直线图形。单杆： 考虑积分： BAy0y积分：即等于曲线图形的面积乘以起形心对应直线图形的纵坐标，与同侧取正，异侧取负。P求： （EI为常数）解：Pll1结构均为直线图形，纵坐标可任造。作业：求8kNmE4m2m4m2mB8kNm4mCDA例1：已知：为常数 求） （ ）1kN/m8mBA8m328kNm1例2：求。14EIaEIEIPa解：（ ）一、图形的面积及重心的位置。b*aab*二、图形分辨1、按图形分解*积分：y2

4、y1*积分：*+y2y1按直线图形分段：按荷载分解：M2M1y2y1M1*M2积分：*qy3y2y1积分：三、例题：已知：、求解：（让两个学生分别做两种不同情况，加深假使印象）PAEIPlCBll/2例：已知：、求P=ql/2P=ql/2（ql2/8）+ql2/8lql2/2ql2/2ql2ql2（ql2/8）ql2例：BACllql2/2+2ql2ql2ql2/8+ql2/22ql2ql2/2qlql2/2ql2/2+ql2+ql2/2lqllql22EI（ql2/8）BEIACqll例：PC3a3Pa2a作业：求图示结构中B的转角（为常数）（5）C5kN3m8B14m1kN/mA2m2m例

5、7：已知：如图，求、）A75kN20kNm10kN/m3m90kNmB3m2m4m5/25/122m 3m 11 （ ）相对位移的求法：求C、D两点的相对位移。D例：ClPl位移状态Pl/4l力状态l/2l/2解：外力功内力功图乘 故，求两点间的相对转角在两截面加一对等值反向的力偶。例：求（为常数）PPa/21111（ ）CaaaAPPPa-2PBaa 若使外力功 作业：求图示组合结构中C截面两侧的相对转角（、常数）P=4kNP=4kN11661/323m CEDA3m 3m B3m （ ）求桁架杆的转角在杆的两端垂直于杆的连线上加一对等值反向的力，力的大小为杆长的倒数（即二力形成的力偶为单位

6、力偶） 1A1BB1A11/l11AAlBB1/l111/l1l1l2AB1/l21作业：AB1CA1PaaaAB已知：求：、例：两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个e长的垫块，问需要多大的两个P力？（EI已知）e解：已知位移求荷载 PPaPPPaPaaa例：由于D点下垂过大，要加固一段长为a的区段。问：加固哪一段效果最显著？PPDCBA解：11、已知：梁端点被拉降低，求跨中C点的竖向位移。15a4aCBA4a5a12a 用求位移的方法计算力P作用下简支梁轴线与变形线之间的面积。Px0l/2l/2§93 温度改变的影响 荷载作用时：温度改变时：（1）由于纤维的伸长或缩短引起轴变 （2）由于

7、伸长或缩短的不一致将引起弯曲 （3）温度改变不能引起剪应变设截面高度h，截面形心对称，线膨胀系数，取微段长度h 符号说明：（1）由温度引起的弯曲方向与单位力引起的弯曲方向一致取正，反之取负； （2）由温度引起的轴变方向与单位力引起的轴变方向一致取正，反之取负； （3）其余符号均取绝对值。例：试求图示结构由于杆件一边温度升高10，在C点产生的竖向位移，各杆截面相同且与形心轴对称。已知。1lCB10l10A解： l例：求图示结构C点的水平位移。已知。各杆外侧温度无变化，内侧温度升高10，截面对称于形心。l11ABClll1010解：例：已知：,温度变化见图，求：Ea-201020aa111a解：

8、图示两层刚架左柱，温度变化如图，其他各杆温度不变，试求（1）A、B两点间的竖向位移；（2）截面C的角位移。（已知：）ABlll/2t-t解：温度改变，不能引起静定结构内力； 故B点无任何位移，C的角位移也同理为零。 Cl/21/4l/411/21/2梁CD下面加热t，其他部分温度不变，求（已知：）BA300300l/3l/3l/3解： 111二、制造误差引起的静定结构位移。BA位移状态：C力状态：要想使加后，力能平衡，可在AB杆位置上加水平力。刚体虚功原理：注意： 拉力短的长度 取正 压力长的长度 取正一般情况： 制造误差。 单位力在有误差的杆件中引起的内力。例题：桁架杆，下弦杆均做短了0.6

9、cm，求结点A的竖向位移。6m1A11/21/21/21/26m6m6m6m6m6m解： 例题：GD杆做短了1cm，求。3/81/24m5/813m3m3m3m解： §94 虚功原理的应用位移状态Ci静定结构的支座位移只能引起结构的刚体位移，不能引起内力和变形。即：虚功原理： 力状态刚体虚功原理：外力在刚体虚位移上所做的功等于零。故支座位移引起的静定结构位移：例题：求、。CaBA12a11/21111/2a解： ）例题：求：、。1hl/211/hl/4hbl/20a1/2解：（ ） 例：图（a）所示，已知支座移动情况下，求刚架铰D上面杆与地面的相对位移。CB11/9D1/9A1/30

10、.011/61/62m0.012m3m0.02rad3m解： 对A点取矩：（内侧受拉）（ ）；利用刚体虚功原理求支反力及内力虚位移法。应用原理：公式： 其中，R：所求内力，支反力； Pi：集中荷载（力、力偶）； ：单位位移引起的位移； qi：均匀荷载； ：与qi对应的虚位移面积。例：用虚位移法求多跨静定梁的支反力与。P2=2PP1=P2a2a2a2aP1MEP2P2P1RB13/43/211/21/2aa/2a例2：用虚位移法求、。aNCPNbaa11例：利用虚位移，求指定内力。20kNDCBA10kN2m2m2m2m力状态（平衡）2m位移状态（协调）1/21/21/2112例：求、。q=2k

11、N/mCBDA2m2m3m112§95 互等定理一、功的互等定理：P121P2 微段内力 微段变形变形体虚功原理：功的互等定理：第一状态的外力在第二状态位移上所做的虚功等于第二状态的外力在第二状态位移上所做的虚功。推广1：令，则：位移互等定理：第一单位力方向上由第二单位力引起的位移等于 第二单位力方向上由第一单位力引起的位移。推广2：功的互等定理：Y21Y12反力互等定理：支座1由于支座2的单位位移所引起的反力等于 支座2由于支座2的单位位移所引起的反力。推广3：P2=1Y12一状态：二状态：（注：二状态力所做功为零）位移反力互等定理：由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力等于该支

12、座与反力方向相一致的单位位移在单位荷载处所引起的位移，但符号相反。例题：已知：图a在支座B下沉时，D点竖向位移，试做图b的弯矩图。3Pl/32P11/16（b）：DBA（a）：C1ll/2l/2RB根据功的互等定理：P11/161R5R4RBR3R2R1（b）图变成静定结构，弯矩图如图示总结一、 虚功原理：二、 虚功原理的应用：（1） 荷载作用下求位移： （a）梁：只考虑弯曲，图乘法 积分 （b）桁架： （c）组合结构：注意区分杆件是梁还是桁架。（2）支座位移作用时，求位移：制造误差： 虚位移法： （3）温度改变作用时，求位移：三、互等定理： 图示：结构各杆用同一材料制成，弹性模量为E，且均为矩形截面，ACD与DGH两杆均为等截面，截面高度为h，惯性矩为I，杆件GB截面面积为A，材料的线膨胀系数为，试求：（1） 图示荷载作用下（2） 图示温度变化情况下，D点的竖向位移（3） 图示支座位移情况下，截面H的角位移（提示：矩形截面）1a/2qqa2a/2GHDC3/2BAaa/2aaaqa2/8211/a9/8-13qa/8318/8 （ ）20.015rad0.01a1/a1/a0.02a-10-1020-102a1a 计算悬臂式刚架的实内力功和实外力功，并利用内力功的关系求出P作用点K的竖向位移。解：外力实功：内力实功： = PPllABlEIC求：图示