53定积分的换元法和分部积分法习题

1、1 .计算下列定积分: fJIsin(x +)dx ;33【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式fnsin(x + -)dx = fcsin(x+-)d(x + ) =-cos(x + -)"333333 3ji ji ji71= -COS(n +) -cos( + ) = -cos-(-cos-) =0°【解法二】应用定积分换元法令x十二=u,则dx = du,当x从二单调变化到 几时，u从 334 二单调变化到,于3是有Ji二 sin(x )dx334 二3 一二23 sin udu - - cosu4 二23 = cos3cos33JIdx丸11 5x)【解法一】应用牛顿-

2、莱布尼兹公式1 dx= (11 5x)322 11 1-31 1(11 5x) d(11 5x)(11 5x)5 25 -21111151=一2 -2 = 一 (2 -1)=。10 (11 5 1)(11 -5 2)10 16512【解法二】应用定积分换元法1令11+5x = u ,则dx =du ,当x从2单倜变化到1时，u从1单倜变化到16,于5是有J dx 1 ,16112 161 , 1,、513 =_ u du =一 1-u 1 =一(-2-1)=匕(11 +5x)5 "5 -210 16512耳sin中cos3中d中；0【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式TE02 sin c

3、os3 dJT- 02cos3 de0s14 ：-cos1 r 4 -4 - cos - cos 042=:0 -1=1。44【解法二】应用定积分换元法TT令cos平=u ,则-sin平d甲=du ,当中从0单调变化到 二时，u从1单调变化到0,2于是有40 lx021214 1110 s小中3%平=Tudu =10udu=zu 0=4一 二3 1 (1 -sin 6)d0 ;【解】被积式为(1 -sin36)d9 ,不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于 1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin4 =冗 +(T 1) 一(一1 -1)=n一一。 38d日的积分，这是正、

4、余弦的奇数次哥的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分： 2 .22 .sin9d9 =-dcos8,余下的sin日=1 一cos日，这样得到的 一(1 一cos日)d cosQ便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式一 n3-r 一 冗-一冗 2r rrrTT 尹2rrJ0 (1 -sin 8)d8 = J01dB -( sin 8 sin 8d日=8 0r + .( (1cos 8)d cos=几十(cos9 ；cos3e)0r1,33、二二 (cos9 一cos0) -(cos T 一cos 0)31 4=冗 +(1 -1)

5、(-1 -1)=冗-o3 3【解法二】应用定积分换元法令cos中=u，则-sin中d中=du，当中从0单调变化到n时，u从1单调变化到一1, 于是有+10 (1 -cos2g)d cossin:3 . . -： -：0(1-sin 呐口 = 01d1 0si191 Q=冗 + l (1 _u )du =冗 + (u -3u )-22碇 cos udu;这是正、余弦的偶次哥，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：2 u cos21 cosu,将平方部份降次成为一次的余弦三角函数:22cos u1 cos2u 公、,使之可以换元成为基本可积形式:【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式_3l2 cos

6、2 udu61 cos2udu1 二 1二(2du 222 cos2ud2u):2(uJI 261sin2u2兀 2H61二二1)(- -) (sin 蹙-sin)22623【解法二】应用定积分换元法1令2u = x ,则du = dx，当u从一单倜变化到26ji时，x从一单调变化到兀,于是有ji2 cos2 udu621 cos2uJ jiduji11=2(y 22 cos2ud2u)61= 2(U2c 2 J61+2冗二cosxdx)3r 1，.一 一(sin 区 一sin 3 2JI二 1 二3) =2(3(6)。J2 -x2dx ;【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都

7、是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x=j2sinu,当x从0单调变化到J2时，u从0单调变化到,，且。2-x2 = j2-2sin2u = J2cosu , 2§1 +cos2u 6dx =/2cosudu ,使得- x2dx = 2 2cosu 2 cosudu =2T二02 四 0ji2cos2udu =u02 +-sin 2u2JI 2 0冗=十202 cos2ud2u1 , c、(sin 二-0)=22JI【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:为使根号内的变量在后

8、的平方差转换成完全平方，应令1、x = sinu,当x从一产单倜变化2到1时，u从三单调变化到-,且1 - x21 -sin2 u_2sin ucosu . I,dx = cosudu ,使得 sin u/1 =dx2 x=-2cosu cosudu =4 sin u222 cot udu = 2 (csc u-1)duJTji ji ji790t 2一向4）（2一4）ji=1 一一 。4 i x2>/a2 x2dx( a>0);【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令=asin

9、u ,当x从0单调变化到a时，u从0单调变化到2,2_22x a -x =a sin u一222、a -sin u =sin u acosu ,dx =acosudu,使得ji2a02sin4 二a 2 . 2a cosu a cosudu = sin 2udu21 cos4ua41du= 8 (u 4 sin4u)1_2 4(sin2 二一 0) :1 4-a816dxx2 .1 x2【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令x = tanu，当x从1单调变化到J3时，u从工单调变化到上，且

10、4322dxsec udu sec udu cosu ,1,.22 du =2 dsin ux2 1 x2tan2u 1 tan2 u tan usecu sin u sin u一3 dx 9 1使得dx=2.2 dsinu23t从上单调变化到二,1 x2 1 x24 sin u这时，再令sinu=t,当u从二单调变化到二时,431又付 32d sin u4 sin u23 1=2 t2 dt =2 t1 暂 J 2 r- 2 0，2x -x2dx ；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法。由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或

11、差的标准形式，需要先将其转化为标准形:2x -x2 = J1 -(1-2x + x2) = J1-(x-1)2 ,现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令x 1 = sinu ,当x从0单调变化到1时，x-1从-1单调变化到0,从而u对应从单调变化到0,而且 v'2x-x2 = 41 -sin2u = vcos2u = cosu , dx = cosudu ,于是1200 1 cos2uc 2x -x dx - cosu cosudu =du0.一, Q22211(u sin 2u)220"21一一 二 1-. 二=2。-(-2)+2sin0-sin(

12、-) =4。【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令 jx = u，当x从1单调变化到4时，u从1单调变化到2,且由此得x = u2,11dx =2udu , 1=,于1 x 1 u4 dx2 2udu2=21(1 -)du =2(u -In 1 + u) 232、=2(2 -1)-(ln3 -ln2) =2(1-ln2) =2(1 + ln-)o【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1 + JX = u ,当x从1单调变化到4时，u从2单调变化到23,且由此得x =(u -1),11dx = 2(u1)d

13、u, -f= 1 - v x u4 dx1 1 xU'du31=2 (1 - )du =2(u In2uu) 3dx 3.一4 % 1 - x - 1【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令 J匚x = u,当x从=2(3 -2) (In3 -In 2) =2(1 In-)。2单调变化到 1时，u从1单调变化到 0,且由此得422. 一 ,11 一一x=1u , dx = -2udu,$-=，于是1 -x -1 u -11 dx0 2u-1I -3 j = lhdu =2 p(1 +)du =2(u +In u -1

14、) 04 v1 -x -12 u _10 u -11 1=2(一+In In1) =12In2。2 2【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令JT7x-1 = u ,当x从3单412倜变化到1时，u从单调变化到 1,且由此得x = 1(u+1), dx=-2(u + 1)du , 211日1 dx3 -=4 1 -X -1-2(u+1) 1f'1-du =2 j=(1 +-)du =2(u +ln u ) j2” u- u1ln 1) =1 _2ln 2。21 xdx f；.5 -4x【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的

15、直接变换法：令J5 4x =u ,当x从-1单调变化到1时，u从3单调变化到 1 ,且由此得1 2111 工曰x = (u -5) , dx = udu, j = 一，于425 -4x u1 xdxt 54xJ1力向一13u 421 1 21 1 3udu (u -5)du ( u -5u)8 38 31 131= (13 )5(13)=。8 3612 ex(14) wdx;1 x21ex1 1111【解】由于 -dx =ex，丁dx ,为含复合函数ex的积分，且微分部份 二dx仅与复合函数ex xxx11之中间变重一的微分dx相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：xx【解法一】应用牛顿-莱

16、布尼兹公式1、，1112 ex2 - 1- 2-1Lj 2-dx = -1 exd = -ex 1 = -(e2 -e ) = e- ve o1 x 1 x【解法二】应用定积分的换元法,111令一 =u，当x从1单倜变化到 2时，u从1单倜变化到 一，且由此得-dx =du , x2x于是e2dx = x1 2ex二dx x2 uu2e du - -e12 = _(e5 -e ) = e - Ve。10tet2t2t2【解】为含复合函数e7的积分，且微分部份tdt与复合函数e=之中间变量t2珀-的被分2-tdt仅相个常数倍，可以应用第一换元积分法:1x 1 ln x【解法一】应用牛顿-莱布尼兹

17、公式t20te 2dt =1 - t一心 2d(-2)=t2-e 2= -(e-2-e°)【解法二】应用定积分的换元法-tdt = du, 1,x从0单调变化到1时，u从0单调变化到-一，且由此得 2t2ote 2dt-0 u- 2e du = 1 e du 010021 =e -e 2222=1-4=。ee2(16)dxx *1 In x【解】为含复合函数的积分，且微分部份dx ，dx与复合函数1 ln x之中间变量1 + ln x的微 1 ，一一分一dx相等，可以应用第一换兀积分法:x【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式dxx 1 ln x1 ln xd(1 ln x)=e21一 d

18、x =du , x= 2(<1+lne2 71 +ln1) =2(VT + 2->/V0) =2(731)。【解法二】应用定积分的换元法令1+lnx = u，当x从1单调变化到e2时，u从1单调变化到3,且由此得dxdu =2.|； =2(731)。0 (x 2)dxJx2 2x 2【解】为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分:0 (x 2)dx2x22x 21 0 (2x 2) 2- d dx2 N x2 2x 2 ,22x 22x2 2x 21 dx2 n-2dxx2 2x 22"x2

19、2x 22d(x2 2x 2)N(x 1)2 1d(x 1)12=2 ln(x 2x 2)02 +arctan(x+1)1 . c、，)，一、=2 (ln 2 -In 2) arctan1 - arctan(-1)Jikn=-(一一)=一。dx4422(18)0【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元 法中的直接变换法:令Jx +1 = u，当x从0单调变化到2时，u从1单调变化到3 ,且由此得x= u2 -1 ,dx =2udu ,x 1 (x 1)3dx1c2 du = 2arctan u1 u2n 所以 2二 cosx - cos3 xdx&quo

20、t;2-冗 冗= 2(arctan 3-arctan1) 二2(一)3 4K (19)Mcosx - cos13 2udu = 21 u u31 xdx ;i【解】 由于 Jcosx -cos3 x = Jcosx(1 -cos2 x) = Jcosxsin2 x = Vcosx|sin x ,03-3- 二 cosx(-sin x)dx 一2Tl2 cos x sin xdx0,二 cosx-cos xdx02 cosx-cos xdx0二 一 cosxd cosxji 2cosxd cosx于是有【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式cosx - coS5 xdx0二 二(cos x)2dcos

21、x22 .-(2 (cos x)2d cosx=2 (cosx)兀 "2-2(cosx)32 cosx - cos3 *-2(20)udu11u2du - u2du= 2u2310du+iu2厘 /-.( v1 +cos2xdx。(1_0)(0 _1) 333【解法二】应用定积分的换元法令cosx=u,当x从-;单调变化到0时，u从0单调变化到1,当x从0单调变化 到上时，u从1单调变化到0,且由此得-sin xdx = du ,于20xdx = - cosx(-sin x)dx，cos xdx - I. (-cosx)dx = 2sin x cosxsin xdx【解】由于 1 c

22、os2x = 2cos2 x = 2 cos所以13 +cos2xdx = V2 j cosxdx = 22 cosx dx +J0!：.： cosx dx2it =2.022(2 - sin x【解】由于函数y =x4sin x是奇函数，即知f"x4sinxdx = 0。'cos4 9d9 ;J jL22【解】由于函数f（日）=4cos48是偶函数，且有41 cos2i 22/ 八 c1cos414cos 1-4() =1 2cos 2 1 cos 21 -1 2cos2 1 3 -1= 2cos2cos41223.1.即得2.4cos rd 二-2 1 32二 3二(ar

23、csin )3-0 =()3 =4cos W i - 2 2 (- 2cos 2 cos4i)d i-200 2231= 2(-0+sin2e +gsin48) 03 二1=2 ( 0) (sin 二0)(sin2二 一0)2 28-x110 -J1 -x2 d arcsin x2 (arcsinx)【解】由于函数y(arcsinx)21-x2是偶函数，所以2 (arcsinx)11-x2dx=21(arcsinx)2 01 -x2dx = 2； (arcsinx)2d arcsinx= 2(arcsin x)3 3324(4)1 2 xarcsinxdx。【解】由于函数y =xarcs1nx

24、杲偶函数，所以 1-x21 112 xarcsinxxarcsinx ,21 - dx=2 2 . dx = -2 2arcsinxd 1一21-x201-x20-2 1 - x2 arcsinx02 dxl =3.证明:1一 arcsin- 0 一4JI2二1 一 3,61 dtx1 t21 1 t2(x >0)。【证明】作倒数变换,当t从x单调变化到1时,且有11t2于是有证毕。4.证明:1(1)2dt2x1 t1 1 t2-1I 2 - 2 x 1 u udu12x1 udu2 dudt,JIsinnxdx = 2102sinnxdx。【证明】由于QSinnxdX = :sinnx

25、dx二. n .+ 1Hsin xdx ,3T其中，对于Jsinn xdx ,作如下的处理:冗作变换x = n - u ,当x从一单调变化到n时,2u从3单调变化到0,且有 sinn x = sinn(T - u) = sinn un.二 sin2xdx- - - sinn udu02sinnudu102 sinn xdx,从而得sinn xdx ?0JI5.设f(t)为连续函数,证明:当f(t)是偶函数时,p2sinn xdx - I .sinn xdx：(x)=【证明】当f(t)是偶函数时，有xf f(t)dt为奇函数;0f(t) = f(t),=2 f2sinn xdx。证毕。 0_xx

26、x使得cp(-x) = f f (t)dt t - 1G f(-u)d(-u) = L f(u)du =中(x),x可知此时?(x) = f (t)dt为奇函数，证毕。x当f (t)是奇函数时，平(x)=(f(t)dt为偶函数。【证明】当f (t)是奇函数时，有f(t)=f(t),_xxx使得 中(_x) = j0 f (t)dt t =u L f (-u)d(-u) = 0 f (u)du =(x), x可知此时中(x) = f f (t)dt为偶函数，证毕。6 .设f (x)是以T为周期的连续函数，证明：对任意的常数a,有a -TTL f(x)dx= L f (x)dx。【证明】题设f (

27、x)是以T为周期的连续函数，可知成立 f(x±T)= f(x),a T0Ta T由于 f (x)dx = f f (x)dx + .10 f (x)dx + ( f (x)dx aTa T=一0 f(x)dx» f(x)dx- f(x)dx a T其中，对于T f (x)dx ,作如下的处理：令x = u+T,当x从T单调变化到a+T时，u从0单调变化到a, a： ；Ta使得1rf(x)dx x=u+T j0 f(u+T)d(u+T)aa=j0 f (u)du = L f (x)dx , a TaTaT于是有 f (x)dx = 一、f (x)dx + I f (x)dx+

28、 Jo f (x)dx =f (x)dx , 证毕。7 .计算下列定积分：，八1,101=-e _(e -e ) =1 -2e 。. J0 xe dx ;【解】被积函数属分部积分第一类，应选e以为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式,11-xx、. xxe dx = xd (-e ) = -xe001d1x1x Io (-e )dx = -e - 0 i e dx-4-x二一e e【解法二】应用列表法符号求导积分-x e-e-x e可得 0xe*dx =(-xe-x-_x、1, 1 A /八00'yce ) o (1 e e ) (0e e )1 2e 。【解】被积函数属分部积分第二

29、类,套用分部积分公式，选x为先积分部份,ee 1 2xln xdx = In xd - x12 一、=(e In e -0) - 112 ,=x ln x21 2 1 . x - dx2 xe1 x2dln x 2e1xdx21 21,2.、1,2e - (e -1) (e244+ 1)。（含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）1:x arctan xdx ;【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选X为先积分部份,1x arctan xdx011 21 2,= arctanxd x = x arctanx 02211 2 , 02xd arctanx111 2=arctan1

30、 - x20 2二 1 .11 x2JI1 dx= - 8 2 ' 1 一 二、=- -(x-arctanx) 0 =- -(1-)=一8 28 2441 、, 2)dx 1 x1一o2ji fxsin2xdx；【解】被积函数属分部积分第一类，应选sin2x为先积分部份,-1 xcos2x2二 1- 02 (- 2 cos2x)dx【解法一】套用分部积分公式,冗冗彳11 二-(cos2 21 -0)2冗cos2xdx - - (-1) 41 sin 2x4ji20二 1 ,.=十 (sin n -0)=。4 44【解法二】应用列表法可得符号求导积分+xsin 2x11c一 cos2x2

31、+01. c一 sin 2x4n 202ii2 xsin2xdx =( - x cos2x -sin2x)1 二1=- ( cos 二-0) (sin 二-sin0) 2 2414十二 2-/V12dxInx衣411 a【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选为先积分部份,f lnxdx = ( ln xd2Tx =2/xln x 4 - f 2Vxd ln x"Jx由1X n X 21 . 一 L. 4 一 .4 1.一 dx = 2vx 1nxi -2 j dx x1 x=2Vx In x 4 -4Vx|4 =26(lnx-2)= 2j4(ln 4 -2) -?(I

32、n1 -2) =4ln41 =4(2ln 21)。",一一一,、，1【解】被积函数属分部积分第一类，应选 Y-sin x为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式,nno x32 dx - 3 xd( -cotx) - -xcotx4 sin x 4-(-cotx)dx4=-x cot x=-xcot xji3 -n4H3 cosx_,.3 dx = -xcotx4 sin x兀3 -3143 1.<3 . dsinx4 sinxJ354+ ln sin x3T4= (-xcot x + ln sin x)nn二(cot In33Hsin 一 3nn-cot 一44Innsin

33、)42二 13 二 2=( 一，ln)-(- ln)33242【解法二】应用列表法符号求导积分+x1_ , _ 2 _ _sin x.1-cot x+0-ln|sin x- X xI可得 f2 dx = (x cot x + ln sin x)4 sin xITJl JTJT= ( cot +ln sin ) 一(一一cot +ln sin )3 二 2ln)-(- ln)242二 ln=(4 -31ln32 2ji2 e2x cosxdx;【解】被积函数属分部积分第一类, e2x与cos x均可选为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式，选2xI为先积分部份,02e2xcosxdx 二2co

34、sxd 12x e1 2x=e cosx2712021 2x.2 e d cosxj"os 二22-e0 cos0)，i02；1 2x .e sin xdx111(0 -1)，2 sin xd20 22x e11 2x .一一 e sin x2 4ji 20二 1 “0 4e dsinx11 / - 二一 (e sin2420-e sin 0)2e2x cosxdx即得02e2xc0sxdx = -1e-：-T 24: fe2xc0sxdx,移项，整理得：2x1-(2e cosxdx = g(e，-2)。【解法二】套用分部积分公式，选cosx为先积分部份,02e2xcosxdx =

35、2 e2x2x 一i dsin x = e sin x02sinxde2x即得移项,TT二(e sin -0)2-0Tt2 2e2xsin xdx = eJT-022e2xd(cosx)二e,J2e2x( - cosx)2x _=e 2e cosxji20T _JT02 - 02(-cosx)d2e2x02 4e2x cosxdx7102 2x=e 2(e cos -e cos0)-4 02 e cosxdxre 02e2x整理得2 x x 1og2 xdx ;cosxdx = e" - 2 - 4 f2 e2x cosxdx ,-0二：“1 -2e cosxdx = (e'

36、-2)。°5【解】被积函数属分部积分第二类,套用分部积分公式,x为先积分部份,221x 1og2 xdx = 1og2 xd 21 一一=2(4喻22-0)-.121 2 x1 2!12 ,=2x 1og2x1 dx -2-xln 22 1 2-.1 2x d1og2x12xdx21n 2 1=2- 1 U21n 2 22 =241n 2(4-1) -2-o41n232 二 2xcos xdx =【解】将三角函数降次后求解,2二 1 cos2x 1 2二0 x dx = 2 ° (x xcos2x)dx1/1 (x2 22 2n02 二° xcos2xdx),一，

37、、 2 二其中，积分02 二x cos 2xdx =，2JI . 1. c 1. cxdsin2x = xsin2x021 二: sin 4五一0 一 cos2x 42二 10 2sin2xdx1 ,= 0- 0 - (cos4舆-cos0)从而得1= _(1_1)=0,42 二 2,21xcos xdx = 一0222120 xCos2xdx = 72 0=二e(io) 1 sin(ln x)dx ;【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有udv的结构，直接套用分部积分公式得esin(ln x)dx = xsin(ln x)ee 一 xd sin(ln x)e1= esin(lne) -0

38、 - x cos(lnx) dx 1xe= esin1 - 1 cos(ln x)dx=esinl -xcos(ln x)e e1 - 1 xd cos(ln x)xcos2xdx中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选cos2x为先积分部份，得e1 ,=esin1-ecos(lne)-cos(ln1) x-sin(ln x) dx 1xe= esin1 -ecos1 1sin(ln x)dx即得 (sin(ln x)dx =e(sin1 -cos1) +1 - 1 sin(ln x)dx ,e1 .移项、整理得s sin(ln x)dx = -e(sin1 一cos1)+1。(11)j! |ln x dx ;e1e1e【解】j! In x dx = 1 |ln x dx + In x dx = 1 ( In x)dx + ( In xdx eee1e-1 ln xdx - I In xdxe=-xln x1- 1 xdln x xln xee e1