第七章复习(续)人教义务版

1、第七章复习(续)【单元知识总结】本章学习的主要内容是：圆的概念和性质、圆与点、圆与直线、圆与圆、圆与角以及圆与三角形、四边形的位置关系和它们的应用重点是圆的有关性质、直线和圆、圆与圆相切的重要位置关系，以及和圆有关的计算问题全章的主要内容及其有关知识的相互联系如图所示一、圆的概念与性质1圆是到定点的_等于_的点的集合圆是_图形，过_的任意直线都是它的_；圆也是以_为对称中心的中心对称图形，且绕_旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合2经过_确定一个圆3在同圆或等圆中，如果两个_、两_、两_或两条弦的_中有一组量相等，那么它们所_的其余各组量也分别_二、与圆有关的角1_叫圆心角圆心角的度数等于

2、它所对_的度数2_叫做圆周角一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半；_所对的圆周角相等；_中，相等的圆周角所对弧_；半圆（或直径）所对的_是直角；_所对的弦是直径3_的角叫做弦切角弦切角等于_圆周角三、圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系1圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么2圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么3两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么4切线的性质和判定（1）_垂直于过切点的半径；（2）经过圆心且垂直于切线的直线_；（3）经过切点且垂直于切线的直线_；（4）_是圆的切线5相交两圆的连心线垂直_公共弦；两圆的外（内）公切线的长是_；相切两圆的_必经过切点四、和圆有关的比例线

3、段1相交弦定理：_推论：_2切割线定理：_推论：_五、圆与三角形、四边形、正多边形的关系1三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫做三角形的_和_2圆的内接四边形对角_，任何一个外角都等于_圆的外切四边形的两组_相等3（1）把圆分成n（n3）等份：依次连结_内接正n边形；_是这个圆的外切正n边形（2）任何一个正多边形都有一个_和一个_，这两个圆是_六、圆的度量1圆的周长C_；2弧长l_；3圆面积S_；4扇形面积S扇形_； 例1如图779，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DEAB于E，已知AEEB41，CD2，求BC的长图779剖析：由题意可设EB

4、x，AE4x，再设CBy，由切割线定理可得4y（yx4x）由相交弦定理的推论可用x表示DE再由勾股定理又可得x，y的一个关系式，解方程组可求得BC长解：设EBx，BCy，则AE4x，CD是O的切线，CD2CBCA，因此，得4y（yx4x），即y25xy4DE直径AB，DE2x（x0）又ECxy，CD2，DEC90，4x2（xy）24，即5x22xyy24由、，得y1，BCy1说明：解本题的关键是题设图形（比例中项、直角三角形）的应用和代数法（设BEx，列方程组求解）的使用 例2已知：如图780，AB是O的直径，PB切O于B，PA交O于C，A60，PF分别交BC、AB于点D、点E，交O于点F、点

5、G，APF15，EFEG2，线段AE、BD的长是关于x的方程x2bxc0的两个实数根（1）求证：PABDPBAE；（2）求b、c的值；（3）求tanBDE的值图780剖析：（1）构造相似三角形，观察图形并注意到要证的结论，易发现BPDAPE（2）考虑到b、c是一元二次方程的系数，故可用根与系数的关系来求，这时须计算AEBD和AEBD，注意到AEBEEFEG2，观察图形BE与BD有可能相等，先证明这个猜测，然后得c2，由于sinA，再结合AEBD2，便可分别解出BD和AE，所求b可求（3）tanBDEtanBED（1）证明：AB为直径，PB切O于B，ABP90，A60，APB30，APF15BP

6、FAPBAPF15APFAPBC，BPDAPE，PABDPBAE（2）解：ACB90，BCP90，又ABP90，BEPBPFPDCCPF90而BPFCPF，BEPPDC，又BDEPDC，BDEBEP，BEBD由相交弦定理，得AEBEFEEG2AEBD2c2在RtAPB中，ABP90，A60，PBPAsin60PAPABDPBAE，BDAEAEBD2，AE22，AE2（舍去负值）AE2，BD，b（AEBD）2（3）解：PB与O相切于点B，ABP90A60，ABAEBE2，tanAPB（2），BE，tanBDEtanBED2说明：本题的探索过程比较复杂，但是图形与题设条件给了我们很多暗示的信息，这

7、些信息为我们提供了联想和猜测的依据利用图形根据直觉进行猜测，是常用的手段，这种手段既体现了由形到数的数形结合思想，又体现了探索未知世界的最基本的方法例3关于图形变化的探讨（1）如图781（1），AB是O的直径，直线l与O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则ECCF上题中，当直线l向上平行移动时，直线与O有两个交点C1、C2，其他条件不变，如图782（2），经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1C2F图781把直线l继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于P点（P不与A、B重合）其他条件不变的情况下，请你在图781（3）的图中，将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写

8、出与、相应结论的等式判断你写的结论是否成立若不成立，说明理由若成立，给出证明 （2）如图782（1），BC是O的直径，直线l是过C点的切线，N是O上一点，直线BN交l于点M，过N点的切线交l于点P，则PM2PC2图782把图782（1）中的直线l向上平行移动，使之与O相交，且与直线BN不交于B、N两点其他条件不变，请你利用图（2）的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母并写出与相应结论的等积式判断你写的结论是否成立若不成立，说明理由，若成立给出证明（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简炼的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律解：（1）结论为：EC1C2F证明：过O作OMC1C2于M，

9、连结OC1、OC2，如图783，图783则AEOMBF，MC1MC2OAOB，EMMF又C1OOC2，EC1C2F （2）结论为：PM2PC1PC2证明：连结ON（如图784）图784PN是切线，O是圆心，MNPONB90又ONBB，BCl，NMPBBMC3B90MNPNMPPMPNPN2PC1PC2PM2PC1PC2（3）在某些几何图形中，平行移动某条直线，有关几何关系保持不变例4如图785，延长O的直径DC到P，作PA切O于A，弦AB和CD相交于H，且AB所对的两条弧分别被点C、D平分，OHHC12，PC6（1）求O的半径；（2）在上任取一点E（不与B、C重合），射线PE与O交于F，当点E

10、在上运动时，试问PF的长是否与HE的长构成函数关系若是指出是何种函数关系，并求出自变量的取值范围若不是，请证明PF的长与HE的长无关图785剖析：（1）由已知OHHC12，可设OHx，HC2x，从而半径OC为3x因为PA是切线，连结切点与圆心，会发现含未知数的量所在的三角形存在相似关系，故由相似得方程，解出x，从而求得半径（2）由（1）可知O的半径及直线PD上各线段的长度，要找PF与HE之间的关系，需建立所求量或已知量与PF、HE之间的联系考虑利用相似，由PA是O的切线，C、D平分AB所对的两弧可得PA2PHPOPEPF又有HPEFPO，连结OF，可证PHE与PFO相似利用相似可求出PF、HE

11、之间的关系式解：（1）连结OA设OHx，则HC2xOAOHHC3xPO63xPA是O的切线，OAPAAB所对的两条弧分别被点C、D平分，ABCDOAHOPA，x1OA3x3，即O的半径为3（2）连结OF，由（1）知PA是切线，ABCD，PAHPAO，即PA2PHPO由切割线定理知：PA2PEPFPHPOPEPF，即又HPEFPO，PHEPFOPHPCCH628，PFHEPHOF8324即PFHE24PF与HE成反比例函数关系AH2PHHO818，HBAH2E在上运动，HCHEHB2HE2即自变量的取值范围为2HE2【单元达纲训练】1选择题（1）扇形的圆心角为60，弧长为2 cm，这个扇形的半径

12、长是（）A6 cm B6 cm C12 cm D12 cm（2）已知线段AB的长为10 cm，点A、B到直线l的距离分别为6 cm和4 cm，符合条件的直线l的条数为（）A1B2C3D4（3）如图786，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于P，那么等于（）AsinBPDBcosBPDCtanBPDDcotBPD（4）如图787，一座圆弧形拱桥的跨度AB（弧所对的弦长）为24米，拱高CD（弓形高）为4米，则拱桥的半径为（）A16米B15米C80米D18米（5）底面圆半径为3 cm，高为4 cm的圆锥侧面积是（）A7.5 cm2 B12 cm2C15 cm2 D24 cm2（6）在O中，弦A

13、B、CD相交于点P，且AB8，CP2.5，PD6，则以线段PA、PB的长为两根的一元二次方程是（）Ax28x150 Bx28x150Cx28x150 Dx28x150（7）用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据如图784所表示的情形，四个工件中哪一个肯定是半圆环形（）（8）如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）A8B4C16D8（9）如图788，在ABC中，AB5，AC4，BC3，O1是ABC的内切圆，O2与O1外切且与边AB、AC相切，则O2的半径长是（）A B C D图788（10）两圆的半径比是53，两圆外切时，圆心距是16，如果两圆内含时，它们的

14、圆心距d是（）Ad4Bd6Cd8D6d102填空题（1）已知O1与O2的半径长分别为方程x29x140的两根，若圆心距O1O2的长为5，则O1与O2的位置关系为_；（2）过已知点A且半径为3 cm的圆的圆心的轨迹是_；（3）已知半径分别为9和1的两圆相外切，那么它们的外公切线长为_；（4）半径为6 cm的圆，60圆周角所对弧的弧长为_ cm；（5）正六边形的边长为2 cm，则它的面积为_ cm2；（6）矩形ABCD的边AB4 cm，AD2 cm，以直线AD为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_ cm2（结果保留）；（7）一个圆柱形油桶，高为1米，底面半径为0.3米，要把它的外侧面刷上防锈漆，则所

15、要刷的面积是_平方米（结果保留）；（8）有一个边长为2 cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是_ cm；（9）已知O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O的半径长为_；（10）如图789，已知ABC的三边长分别为AB9，BC5，CA6，内切圆O切AB、BC、CA于D、E、F，那么AF的长为_图7893如图790，已知AB是O的直径，M是劣弧AC的中点，弦AC与BM相交于点D，ABC2A求证：AD2DC图7904如图791，在O中，CD过圆心O，且CDAB，垂足为D，过点C任作一弦CF，交O于F，交AB于E求证：CB2

16、CFCE图7915如图792，已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交O的切线BF于点F，B为切点求证：（1）BD平分CBF；（2）ABBFAFCD图7926如图793，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，AC、BD相交于点P求证：（1）DBC为等腰三角形；（2）ABBDPBPC图7937如图794，ABC30，O是BA上的一点，以O为圆心作圆与BC相切于点D，交BO于点E，连结ED，F是OA上的一点，过F作FGAB，交BC于点G，BD，设OFx，四边形EDGF的面积为y（1）求y与x的函数关系式；（2）若四边形EDGF面积是BED面积的5倍，试确定FG所在直

17、线与O的位置关系，并且说明理由图7948如图795，已知AC切O于点A，AB为O的弦，ABAC，BC交O于E，O的弦ADBC，AO的延长线交BE于F求证：（1）四边形ADEC是平行四边形；（2）EG2CFCB图7959如图796，已知O2过O1的圆心，且与O1内切于点P，弦AB切O2于点C，PA、PB分别与O2交于D、E两点，延长PC交O1于点F求证：（1）BC2BEBP；（2）12；（3）CF2BEAP图79610如图797，在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8现在建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，使

18、AC8，BC6（1）求ABC中AB边上的高h；（2）设DNx，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形的水池边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树？图797参考答案【单元知识总结】一、圆的概念与性质1距离，定长轴对称，圆心，对称轴圆心，圆心2不在同一直线上的三点3圆心角、条弧、条弦、弦心距，对应，相等二、与圆有关的角1顶点在圆心的角，弧2顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，圆心角；圆弧（或等弧）；在同圆或等圆，相等；圆周角；90的圆周角3顶点在圆

19、上，一边与圆相切；它所夹弧对的三、圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系1（1）dr；（2）点在圆上；（3）dr2（1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离3（2）dRr，或dRr（Rr）；（3）RrdRr（Rr）；（4）dRr（Rr）4（1）圆的切线；（2）必经过切点；（3）必经过圆心；（4）经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线5两圆；公切线上两个切点的距离；连心线四、和圆有关的比例线段 1圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 2从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

20、的比例中项 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等五、圆与三角形、四边形、正多边形的关系 1外心，内心2互补，它的内对角，对边的和3（1）各等分点所得的多边形是该圆的；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形（2）内接圆，外切圆，同心圆六、圆的度量12R23R24；lR【单元达纲训练】1（1）A （2）C （3）B （4）C （5）C （6）D （7）D （8）A （9）D （10）A2（1）内切；（2）以A为圆心，3 cm为半径的圆；（3）6；（4）2；（5）6；（6）16；（7）0.6；（8）2；（9）7或1；（10）53证CBD30，ADBD即可4连结FB，C