第三章静定结构的内力计算

1、第三章 静定结构的内力计算学习目的和要求不少静定结构直接用于工程实际，另外，它还是静定结构位移计算及超静定结构的计算基础。所以静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。通过本章学习要求达到：1、 练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。 2、 练掌握截绘制弯矩图的叠加法。 3、 熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图的绘制和多跨静定梁及刚架的几何组成特点和受力特点。4、 了解桁架的受力特点及按几何组成分类。熟练运用结点法和截面法及其联合应用，会计算简单桁架、联合桁架既复杂桁架。5、 掌握对称条件的利用；掌握组合结构的计算。6、 熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。了解三铰拱的内力

2、图绘制的步骤。掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征学习内容梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接内力算式法；内力图的形状特征；叠加法绘制内力图；多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。静定梁的弯矩图和剪力图绘制。桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。§3.1梁的内力计算回顾一、截面法1、 平面杆件的截面内力分量及正负规定：轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。剪力Q (shearing force)截面上应

3、力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。2、 截面内力计算的基本方法：截面法：截开、代替、平衡。内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。3、弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。（例子5）二、内力图的形状特征内力图与荷载的对应关系内力图与支承、连接之间的对应关系1、 在自由端、铰结点、铰支座处的截面上

4、无集中力偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确定（如图1-(a)C左截面和D截面）。2、 在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆端弯矩还要满力矩平衡条件M=0。尤其是两杆相交刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点B）。3、定向支座、定向连接处Q=0，Q=0段M图平行轴线（如图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。三、用叠加法绘制内力图弯矩图叠加法：首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的

5、弯矩图。一、简支梁弯矩图叠加法二、直杆段弯矩图叠加法弯矩图叠加的注意事项：1、弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合；2、要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图3、利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图；4、利用叠加法可以少求控制截面的弯矩；5、对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩叠加法均适用（如下图）。 （例子6）§3.2  静定多跨梁多跨静定梁的几何组成特点从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及附属部分组成,将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能

6、独立平衡其上外力的称为附属部分,附属部分是支承在基本部分的。图示多跨静定梁中ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。其层次图如图所示。多跨静定梁的受力特点：由构造层次图可得到多跨静定梁的受力特点为：力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。多跨静定梁的计算特点：多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 （例子7）§3.3  静定平面刚架一、 刚架的组成刚架和桁架都是直杆组成的结构，二者的区别是：桁架中的结点全部都是铰结点，刚架中的结点全部或部分为刚结点。二、 刚架的特点刚架

7、的内部空间大，便于使用。刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。三、 刚架支反力的计算1、悬臂刚架、简支刚架对于悬臂刚架和简支刚架，只有三个支座反力，可由刚架的三个整体平衡方程直接求出全部支座反力。2、三铰刚架的反力计算：一般方法    整体对左底铰建立矩平衡方程，右半边对中间铰建立矩平衡方程，这两个方程求出右底铰的支座反力；    再由整体的两个投影平衡方程求出左支座的两个支座反力。    校核。 （例子8）3、主从刚架求反力：其支座反力计算与多跨静定梁相同

8、。先进行几何构成分析，将刚架分为基本部分和附属部分，然后求出附属部分的约束力，并将此约束力反向施加在支承它的基本部分上，再计算基本部分的支座反力。这样可避免求解联立方程的麻烦（例子10）四、刚架内力计算和内力图绘制1、计算步骤：（1）求支座反力。简单刚架可由三个整体平衡方程求出支座反力，三铰刚架及主从刚架等，一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。 （2）求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成受力简单的区段。运用截面法或直接由截面一边的外力求出控制截面的内力值 。（3）根据每区段内的荷载情况，利用“零平斜弯”及叠加法作出弯矩图。作

9、刚架Q、N图有两种方法，一是通过求控制截面的内力作出；另一种方法是首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆），计算内力较麻烦事，采用第二种方法。 （4）结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。 （5）注意结点的平衡条件。 （例子11，例子12）2、 刚架弯矩图绘制静定结构弯矩图绘制是结构力学中最重要的基本内容，要求熟练掌握。根据结构特点和荷载特点，利用弯矩图与荷载、支承、联结之间的对应关系，可以不求或少求支座反力（只需求出与杆轴线垂直

10、的反力），迅速绘制出弯矩图。（1）悬臂刚架绘制弯矩图，可以不求反力，由自由端开始作内力图。 （例子13）（2）简支型刚架弯矩图，往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起。 （例子14）（3）三铰刚架弯矩图，往往只须求一水平反力,然后由支座作起。 （例子15）（4）主从结构绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。以铰支座、铰结点、自由端作为切入点，先作附属部分，后作基本部分。 （例子16）（5）对称性结构作内力图要注意利用对称性：对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布，弯矩图和轴力图对称，剪力图反对称；对称结构在反对称荷载作用下，反力

11、和内力都呈反对称分布，弯矩图和轴力图反对称，剪力图对称。 （例子17）三、  弯矩图对误判别利用前述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。鉴于静定平面刚架M图的重要性，而初学者又常易搞错，故掌握M图正误判别是很有益的。下面结合例子说明画M图时容易出现的错误。1、M图与荷载情况不符。如图a所示刚架上DE段，有向左的均布荷载，该段弯矩图应向左凸；C点有向下的集中力作用，弯矩图应向下尖；AB段上A处只产生竖向反力，所以AB段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图b所示。又如图c所示刚架上

12、C截面上有集中力偶作用，弯矩图应发生突变 ，突变前后两条线平行。因为XB=0，YB通过C截面。所以由C截面以右可得MC右=0。正确的弯矩图如图d所示2、M图与结点性质、约束情况不符。如图e所示刚架上，铰结点C、铰支座A和B处无集中力偶作用，该处截面弯矩等于零。正确的弯矩图如图f所示。3、作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。如图g所示刚架，若取结点C为分离体，将发现它不满足结点的力矩平衡条件。另外AC段上A处只产生竖向反力，所以AC段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图2-4h所示。§3.4  静定平面桁架一、 桁架的特点桁架是由梁演变而来的：将梁中

13、性轴附近未被充分利用的材料掏空，就得到图所示的梁。桁架组成及特点：桁架是工程中应用较广泛的一种结构。除了在桥和塔架结构使用桁架外，桁架也使用在屋架结构中。图（a）是南京长江大桥的主体桁架结构，图（c）为一钢筋混凝土屋架。实际工程中的桁架常引入以下几点假定。 1. 桁架的结点都是光滑的铰结点。 2. 各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 3. 荷载和支座反力都作用在结点上。满足以上假定的桁架称为理想桁架。根据以上假定，理想桁架的各杆为二力杆，只承受轴力。截面上的应力均匀分布，可以充分发挥材料的性能，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种结构形式。 桁架的分类:按几何构造特点，桁架可分为三类

14、简单桁架  由基础或一个基本铰结三角形开始，而组成的桁架。 联合桁架    由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。 复杂桁架    不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。二、 桁架计算结点法结点法： 取单个结点为分离体，分离体受的力构成一个平面汇交力系，可建立两个独立的平衡方程。对于静定桁架，只要列出全部独立的平衡方程，然后联立求解，便可求出全部的轴力和反力。但是为了避免解联立方程，对于简单桁架用结点法求解时，按照撤除二元体的次序截取结点，可求出全部内力，而不需求解联立方程。特殊结点的力学

15、性质: 由结点的平衡条件得到以上结果仅适用于桁架结点（即结点上各根杆均为桁架杆）。【例题 】求图所示桁架的各杆轴力。解: 因为A，B结点为T型结点，得到AF，BF是零杆， 进一步得到FC，FD是零杆， DE，DB是零杆，最后由结点C的平衡条件得到NCA=P， NCE=1.414P 。 （例子22，23，24）对称性利用：对称结构在对称荷载作用下，对称轴上的K型结点无外力作用时，两斜杆是零杆。对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴垂直贯穿的杆轴力等于零；与对称轴重合的杆轴力等于零。 应用以上结论，不难判定出图示各结构中的零杆如图中虚线所示。 （例子25）三、桁架计算截面法截面法基本思想：

16、取桁架中的一部分（包含两个或两个以上的结点）为分离体,其受力图为一平面任意力系,可建立三个独立的平衡方程。为了避免求解联立方程组，所选截面切断的未知轴力杆数一般不多余三根。并注意：对两未知力交点取矩或沿与两个平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。 （例子26）截面法中的特殊情况：所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆1外，其余各杆均交于一点O，则对O点列矩方程可求出杆1轴力。（例子27）所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆1外，其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆1轴力。 （例子28）结点法与截面法的联合应用:在桁架计算中，有时联合应用结点法和截面法更为方便。（例

17、子29）四、梁式桁架受力特点    弦杆轴力: N=±M0/r,上弦压,上弦拉。1、平行弦桁架：r=h=常数，弦杆内力两端小，中间大；腹杆内力：    Y=±Q0，两端大，中间小。斜杆拉，竖杆压。2、三角形桁架：r自跨中向两端按直线规律变化比M0减少的快，弦杆内力两端大，中间小；腹杆内力两端小中间大。斜杆拉，竖杆压。3、抛物线形桁架： r、M0都按抛物线规律变化，各上弦杆内力的水平分力相等等于各下弦杆内力；腹杆不受力。几类简支桁架的共同特点是：上弦受压，下弦受拉，竖杆、斜杆内力符号相反。斜杆向内斜受拉，向外斜受压。§

18、;3.5 三铰拱一、  拱的特点三铰拱的组成几个部分名称：三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。 拱的各部名称如右图：拱的特点：拱的基本特点是：在竖向荷载作用下会产生水平推力。水平推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。优点：水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布较均匀。节省材料，减轻自重，能跨越大跨度。宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等。有较大的可利用空间。缺点：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量。拱的常见类型：带拉杆的拱：在屋架中，为消除

19、水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆，由拉杆来承担水平推力，如下图。铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高度，可将桥面吊在拱上。如下图。二、三铰拱的反力和内力计算当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计算和对比分析拱的受力性质。1、反力计算公式：由三个整体平衡方程和半边对中间铰取矩平衡可推出三铰拱的反力计算公式为：（例子18）注意：1. 该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。2. 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，而与拱轴线的形状无关。 3. 水平推力与矢高成反比2、内

20、力计算公式：由截面法可推出三铰拱的内力计算公式为：                    （例子19）注意：1. 该组公式仅用于两底铰在同一水平线上,且承受竖向荷载； 2. 在拱的左半跨取正右半跨取负； 3. 仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4. M、Q、N图均不再为直线。 5. 集中力作用处Q图将发生突变。 集中力偶作用处M图将发生突变。 （例子20）三、 三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线概念：合理

21、拱轴线定义：在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。合理拱轴线方程：由 M（x）=M°(x)Hy(x)=0,  可得合理拱轴线方程为合理拱轴线特点：在荷载、跨度、矢高给定时，H是一个常数.合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例 。在荷载、跨度给定时，合理拱轴线随 f 的不同而有多条,不是唯一的。1、几种常用的合理拱轴线：1、三铰拱在满跨均布荷载作用下的合理拱轴线                三铰

22、拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理拱轴线为一抛物线。2、静水压力作用下的合理拱轴线静水压力作用下的合理拱轴线是圆弧曲线 （例子21）3、填土重量作用下的合理拱轴线填土重量作用下的合理拱轴线是悬链线。（例子22）§3.6  组合结构计算一、组合结构的组成：组合结构由链杆和梁式杆组成。常用于吊车梁、桥梁的承重结构、房屋中的屋架。 二、计算组合结构时应注意：1. 注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； 2. 前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； 3. 一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；4、取分离体时，尽

23、量不截断梁式杆。（例子31，32）§3.7 静定结构总论一、静定结构的受力分析方法对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目 =方程中所含的未知力的数目。因此，静定结构的内力完全由平衡条件确定。为了避免解联立方程组应按一定的顺序截取单元（分离体），尽量使一个方程中只含一个未知量。1、 计算单元的形式及其未知力：1 结点：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。2 杆件：多跨静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。3 杆件体系：桁架的截面法取杆件体系为单元。单元上的未知力的数目是由所截断的约束的性质决定的。 截断链杆只有未知轴力；在平面结构中，截断梁式

24、杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；在铰处截断，有水平和竖向未知力。2、单元平衡方程的数目：单元平衡方程的数目=单元的自由度数，不一定等于单元上的未知力的数目。因为单元有n个自由度，就由n 种独立的运动，如果单元平衡，那么，沿这n 种独立运动方向受力要平衡。3、计算简化：1、选择恰当的平衡方程，尽量使一个方程中只含一个未知量 （例子33）2、根据结构的内力分布规律来简化计算;     在桁架计算中先找出零杆,常可使简化计算 （例子34）对称结构在对称荷载作用下,内力和反力也是对称的; 对称结构在反对称荷载作用下,内力和反力也是反对称的; （例子35）3、分析几何组成,合理地选择截取单元的次序;主从结构,先算附属部分,后算基本部分;