离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第七章 滤波器设计方法

1、第七章 滤波器设计方法7.1考虑一个冲激响应为的连续时间系统，其系统函数为 （a） 用冲激响应不变法求离散时间系统的，使得。（b） 用阶跃响应不变法求离散时间系统的，使得，其中。 （c）求系统1的阶跃响应和系统2的冲激响应。请判定以及成立吗？解：(a) 极点为 (b) 当时其中， （c） 7.2 假设处有一个r阶极点,使得可以表示成(a) 给出由.(b) 得出利用来表示的冲激响应的表示式,其中的拉普拉斯反变换.(c) 假设我们定义是一个离散时间滤波器的冲激响应,利用(b)的结果写出该系统函数的表达式.(d) 给出一种由的直接方法.解: (a) 已知则令没有极点,所以可以在周围展开为泰勒级数,即

2、 将上式与的表达式进行比较,对应于p=0项,得到 对应于p=1项,得到 对应于一般项,得到 令,则 (b) 我们知道 的拉普拉斯变换,所以 (c) 因为 所以 (d) 如果在中由r阶极点的化,则要按照上式,对 次运算,其中k=1,r,再乘以,然后相加. 7.3假设我们已知频率响应为的一个连续时间低通滤波器，使得：，。利用如下双线性变换可以得到由的出一组离散时间低通滤波器：其中为变量。（a） 设是固定的，求对于离散时间系统，使得通带的截止频率为的。（b） 将固定，给出作为的函数曲线。（c） 将和均固定，给出过渡区作为的函数曲线。解：已知的一个连续时间低通滤波器，由双线性变换：（a） 当时，由的非

3、线性关系式（b） 将固定时，有以下关系：函数曲线如下图（c） 将和均固定，而且给出过渡区。 当，有最大值为：,函数曲线如下：77.4 某一离散时间低通滤波器是将重激响应不变法用于一个连续时间巴特沃兹滤波器而设计出来的。该连续时间滤波器的幅度的平方为该离散时间系统的技术指标为：假设，设计过程中不存在混叠问题。也就是说，可以通过设计连续时间的巴特沃兹滤波器，以满足离散时间滤波器所要求的技术指标。（a）画出连续时间巴特沃兹滤波器频率响应的幅度容限图，使得用冲激响应不变法（）后所得出的离散时间系统满足给定的技术指标。其中，不必假设。（b）求整数阶次N和量，使得连续时间巴特沃兹滤波器可以满足（a）中所确

4、定的在通带边沿处的技术指标。（c）说明：和得出的离散时间系统是一样的。解：（a）的幅度容限图如图解7.4a所示。图解7.4a（b）如（a）中所示，希望设计的连续时间巴特沃兹滤波器的性能指标为：。由巴特沃兹函数的单调性，应有：；。结合巴特沃兹函数的形式，将不等式简化为等式：；。折衷后（满足通带指标，超过阻带指标）：；。即的极点均匀分布在半径为的圆上，其中的极点取左半平面。第一对极点：；第二对极点：；第一对极点：。这样，可得系统函数：，其中：，。结合与的对应关系，应有：。7.5我们常希望用冲激响应不变法或双线性不变法来设计一个离散时间滤波器，该滤波器 可以满足如下技术指标： ， 。 由于历史的原因

5、，绝大多数的连续时间滤波器的设计公式，表格或曲线通常均用通带的峰值增益为1来规定技术指标，即 ， 。拉宾、凯泽、赫尔曼和多兰（Rabiner,Kaiser,Herrmann,and Dolan,1974）曾给出了十分有用的用这种形式规定的连续时间滤波器的设计曲线。（a）为了使用这种表格和曲线来设计峰值增益为的离散时间滤波器，必须将该离散时间滤波器的技术指标转换成式（P7.5-2）形式的技术指标。用除以离散时间滤波器的技术指标就可以实现这种转换。利用这种方法求用和来表示和的表示式。 (b) 在例7.3中我们曾经设计了一个最大通带增益为1的离散时间滤波器。这个滤波器可以用乘以常数的方法转换成满足式

6、(P7.5-1)中技术指标的滤波器。求所需要的值和与该例对应的值，并用式（P7.19）求新滤波器的系统函数的系数。(c) 对于例7.4中的滤波器重复（b）.解：（a）对两边同除以得： 同理， （b）在例7.3中 所以 解之得： 将式（P7.19）乘以得新滤波器的系统函数为 （c） 同（b）中 将式（P7.37）乘以得新滤波器的系统函数为 7.6 考虑一个连续时间系统,其系统函数为,这个系统被称为积分器,因为输出之间有如下关系: 假设某一离散时间系统是将双线性变换法用于而得到的.(a) 所得离散时间系统的系统函数是什么?冲激响应是什么?(b) 如果为输入,且为所得离散时间系统的输出,请写出输入和

7、输出满足的差分方程.在用这个差分方程来实现该离散时间系统时,你预料会有什么问题?(c) 求出该系统频率响应的表达式.画出时该离散时间系统的幅度和相位.将它们与连续时间积分器之频率响应的幅度和相位作一下比较.在什么条件下可以认为该离散时间”积分器”是连续时间积分器的良好逼近? 现在考虑一个连续时间系统,其系统函数是,这个系统称为微分器,因为它的输出是输入的导数.假设某一离散时间系统是将双线性变换用于而得到的.(d) 所得离散时间系统的系统函数是什么?冲激响应是什么?(e) 求出该系统频率响应的表示式.画出当时该离散时间系统的幅度和相位.将它们与连续时间微分器之频率响应的幅度和相位作一比较.在什么

8、条件下可以认为该离散时间”微分器”是连续时间微分器的良好逼近.(f) 连续时间积分器和微分器完全是互为可逆的.对于它们的离散时间逼近也同样正确吗?解: (a)将可得: (b) (c) 时,即 时可以认为该离散时间积分器时连续时间积分器的良好逼近.(d)同理可得 (e) 可以认为该离散时间微分器时连续时间微分器的良好逼近.(f) 所以离散时间逼近也正确.7.7 一个连续时间滤波器有冲激响应，其频率响应的幅度为用该滤波器作为设计离散时间滤波器的原型。所得离散时间系统用于图P7.7的配置中对连续时间信号进行滤波。（a） 冲激响应为和系统函数为的某一个离散时间系统是利用取的冲激响应不变法由原型连续时间

9、按系统而得到的，即。给出当这一离散时间系统用于图P7.7中时，全部有效频率响应的幅度图。（b） 另外，假设冲激响应为和系统函数为的某一个离散时间系统是利用的双线性变换由原型连续时间系统而的道德，即，请给出当这一离散时间系统用于图P7.7中时，全部有效的频率响应的幅度图。解：一个连续时间滤波器频率响应的幅度为用该滤波器作为原型来设计离散时间滤波器。（a） 用冲激响应不变法：那么的图像如下：由数字域到模拟域的变换关系，等效幅频特性如下：（b） 用双线性变换法： （）由于数字域到模拟域的非线性关系，那么如下图示：7.8 某一离散时间系统的系统函数为。（a）假设这个系统是用的冲激响应不变法设计出来的，

10、即,其中是实数。求一个连续时间滤波器，它可以作为设计的基础。答案唯一吗？如果 不是，求出另一个系统函数。（b）假设可取的双线性变化法得出。求出作为设计基础的。答案唯一吗？如果不是，求出另一个系统函数。解：（a）答案唯一。由和的唯一对应关系可得结论，对应关系如下：对应。所以：。（b）答案仍唯一。 7.9冲激响应不变法和双线性不变法是设计离散时间滤波器的两种方法。这两种方法都是将一个连续时间系统函数变换成一个离散时间系统函数。回答下列问题，指出哪一种方法或二者均能够得出要求的结果？（a） 最小相位连续时间系统的所有极点和零点均在左半s平面上，如果将一个最小相位连续时间系统变换成一个离散时间系统，哪

11、一种方法将得出最小相位离散时间系统？（b） 如果连续时间系统是一个全通系统，则它的极点将在左半平面处，而它的零点将在所对应的右半平面的处。哪一种方法将得出全通离散时间系统？（c） 哪一种设计方法可以保证 ？（d） 如果连续时间系统是一个带阻滤波器，哪一种方法会得出离散时间带阻滤波器？（e） 假设，和分别是，和的变换型式，哪一种设计方法可以保证，只要当时就有？（f） 假定，和分别是，和的变换型式。哪一种设计方法可以保证，只要当时就有？（g） 假设两个连续时间系统函数满足条件 如果和分别是和的变换型式，哪一种设计会得出满足下式的离散时间系统： （这类系统被称为“90度分相器”）解：（a）在冲激响应

12、不变法中，所以处的极点变换成z平面中处的极点所以左半s平面的极点可以映射到z平面的单位圆内；但离散时间系统函数中的零点是部分分式展开式中的极点和系数的函数，通常并不按照与极点相同的方式进行映射。 而在双线性变换法中，所以，则极点和零点是按照同种方式映射的。若，则对任意值，有。同样若，则对任意值，有所以左半s平面的极点和零点映射到z平面的单位圆内，右半s平面的极点映射到z平面的单位圆外。所以如果将一个最小相位连续时间系统变换成一个离散时间系统，双线性变换法将得出最小相位离散时间系统(b)由（a）中分析可知，双线性变换法可得到全通离散时间系统。（c） 在冲激响应不变法中，而在双线性变换法中，所以只

13、有冲激响应不变法可以保证 （d）在冲激响应不变法中，连续时间频率和离散时间频率之间的变换是线性的，所以只适用于带限滤波器，而双线性变换法中，s平面和z平面的映射关系是单值对应的，而避免了使用冲激响应不变法中所遇到的混叠问题，可有效地将分段恒定的幅度响应特性从s平面映射到z平面。 所以如果连续时间系统是一个带阻滤波器，双线性变换法会得出离散时间带阻滤波器。 （e）和（f）中，双线性变换法满足要求，而对冲激响应不变法，只要采样率满足，也可以满足题目要求。 （g）在冲激响应不变法中，s平面和z平面的映射关系不是单值对应的因此会产生混叠现象，而双线性变换法中，s平面和z平面的映射关系是单值对应的，它将

14、s平面的整个虚轴映射成z平面的单位圆周，因此可将的频率范围映射成，而的频率范围映射成，所以双线性变换法可满足题目要求。 7.10 具有系统函数的离散时间滤波器是把具有系统函数的连续时间滤波器经过变换而设计出的.设计要求.(a) 若用冲激响应不变法设计该滤波器,上述条件能成立吗?如果能,必须满足什么条件(如果有的话)?(b) 若用双线性变换法设计该滤波器,上述条件能成立吗?如果能,必须满足什么条件(如果有的话)? 解: (a)对于冲激响应不变法有 而,则 所以用冲激响应不变法设计上述条件可以成立,条件是 (b)对于双线性变换法有: 现令,则有 7.11在例7.3中用冲激响应不变法来设计低通滤波器

15、。所得出的系统函数是：（a） 画出用2阶环节的并联形式来实现的该系统的信号流图。（b） 画出用直接形式和直接形式来实现系统的信号流图。（c） 画出作为2阶环节的级联形式来实现该系统的信号流图。（注意：这部分需要用到多项式求根的计算机程序。）解：用冲激响应不变法来设计的系统函数是：（a） 那么并联形式的信号流图为：（b） 为了画出用直接形式和直接形式来实现系统的信号流图，必须对系统函数进行通分，结果如下：这样就可以画出直接形式的信号流图：直接形式的信号流图：（c） 在Matlab中利用多项式求根函数得出如下形式的系统函数：由上面的系统函数可以画出2阶环节的级联形式的信号流图：7.12 用双线性变

16、换法设计出的一个低通滤波器系统函数为：（a）画出用2阶级联形式实现的该系统的系统流图。（b）画出用直接形式I和直接形式II来实现该系统的信号流图。（c）画出用2阶并联形式实现的该系统的系统流图（冗长的计算可以用计算机程序来实现）。解：（a）见图解7.12a。（b）系统函数化为：即可得图解7.12b所示的信号流图。图解7.12（c）程序暂缺！ 7.13如果一个线性时不变连续时间系统具有有理系统函数，则它的输入和输出满足常规的常系数线性差分方程。在模拟这类系统时的标准方法是用有限差分来逼近微分方程中的导数。特别是，因为对于连续可微函数， 这似乎是合理的，因为如果“足够小”，当我们用来代替时，应当得

17、到一个好的逼近。 虽然这个简单的方法在连续时间系统的模拟中可能是有用的，但是在滤波器的应用中它并不总是一种设计离散时间系统的有用方法，为了了解用差分方程逼近微分方程的影响，我们来研究一个具体的例子是有益的，假设一个连续时间系统的系统函数是 其中A和c为常数。（a） 证明该系统的输入和输出满足微分方程 （b） 计算当时的微分方程，并且进行替代 也就是用一阶反向差分来代替一阶导数。（c） 定义和。用这一定义和（b）的结果求联系和的差分方程，并求所得离散系统的系统函数。（d） 证明，对于这个例子 ，也就是证明可用如下映射由直接求得： （可以证明，如果高阶导数可由重复使用一阶反向差分来逼近，则对于高阶

18、系统（d）的结果也成立。）（e）利用（d）的映射，求出由平面的轴映射到平面区域。若具有系统函数 的连续时间系统是稳定的，则用一阶反向差分逼近所得出的离散时间系统也是稳定的吗？该离散时间系统的频率响应是原连续时间系统频率响应的准确复现吗？的选择对稳定性和频率响应有何影响？（f）假设用一阶正向差分逼近一阶微分，即 。 求由平面到平面所对应的映射，并且用这一映射重复（e）。解：（a）的拉式变换为将微分方程两边取拉式变换得： （a）得证。（b）当时的微分方程为： 将代入微分方程得： （d） 将和代入（b）中结果得： （d） （e） 当时， 上式相当于一个圆，圆心位于处。半径为。左半s平面映入小圆内部，

19、又因小圆位于单位圆内所以左半s平面的极点映射到z平面的单位圆内若具有系统函数 的连续时间系统是稳定的，则用一阶反向差分逼近所得出的离散时间系统也是稳定的，但该离散时间系统的频率响应不是原连续时间系统频率响应的准确复现。 T越小，频谱的非零部分越集中在附近。 （f）将代入（a）中所得微分方程得：求其z变换得： ，当时，s平面的轴在z平面的映射是横坐标为1，平行于纵轴的直线。当时，当时，极点位于单位圆外。s平面的稳定系统不能映射成z平面的稳定系统。 7.14 考虑一个具有有理系统函数的线性实不变连续时间系统.输入和输出满足常规的常系数线性微分方程.模拟这类系统的一种方法实利用数值计算方法 对微分方

20、程积分.在这个习题中我们将表明,如果使用提醒积分公式,则这一方法等同与 用双线性变换法将连续时间系统函数变换成离散时间系统函数. 为了说明这一点,考虑连续时间系统函数式中A和c为常数.对应的微分方程是(a) 证明可用表示成.在这个方程中的定积分表示在从(nT-T)到nT的区间上函数下方的面积.图P7.14表示函数和一个划阴影线的梯形区域,该区域的面积近似为曲线下方的面积.这种对积分的逼近方法称为梯形逼近法.显然,T越接近零这种逼近就越好.利用这种逼近方法求用,来表示的表示式.(b) 利用该微分方程求的表示式,并且将这个表示式带入在(a)中得出的表示式.(c) 定义,利用这个定义和(b)的结果,

21、求联系的差分方程,并求所得离散时间系统的系统函数.(d) 证明,对于这个例子也就是证明可用双线性变换法由直接求得.(对于高阶微分方程,重复将梯形积分用于输出的高阶导数将得出与具有有理系统函数的一般连续时间系统相同的结论).解: (a)证明:右= 所以等式成立.7.15在这个习题中我们研究一种称为自相关函数不变法的滤波器设计方法。考虑一个具有冲激响应和系统函数的稳定连续时间系统，该系统的自相关函数的定义是：，并且对于实冲激响应很容易证明，的拉普拉斯变换是，同意考虑一个具有冲激响应和系统函数的稳定离散时间系统。该系统的自相关函数的定义是：,并且对于实冲激响，,自相关函数不变法意味着，使该离散时间系

22、统的自相关函数等于一个连续时间系统采样后的自相关函数。由此来定义一个离散时间滤波器，即：，。当是一个有理函数，在处有N个一阶极点并有MN个零点，对于自相关函数不变法，特提出如下的设计步骤：（1）得出的部分分式展开式，形式为：（2）形成变换（3）求的极点和零点，并且由在单位圆内的零极点构成最小相位系统函数。（a）确认在所提出的设计方法的每个步骤，也就是证明所得的离散时间系统的自相关函数的采样形式。为了证明该方法，一种有用的办法是将它用于一个一阶系统，其冲激响应为：且系统函数为：。（b）之间的联系是什么？哪一种频率相应的函数对应自相关函数不变法是合适的？（c）在步骤3中的得出的系统函数是唯一的么？

23、若不是，请说明如何得出另外的自相关函数不变离散时间系统。解：系统的自相关函数：，而且的拉普拉斯变换是，对于离散系统有：（a）证明：令一个一阶系统的冲激响应为： 若，则1，它在单位圆内，那么可以写成如下的形式（为常数） 其中 ，（b）而，也就是说s平面的极点对应于z平面的极点，并有如上的变化对应关系式。当在左半平面的零极点对应于单位圆内的零极点，那么因果稳定的频率响应函数对应于自相关不变法是合适的。（d） 步骤3中得出的系统函数不是唯一的。因为可以取单位圆外的零点构成非最小相移系统。7.16 假设已知一理想低通离散时间滤波器，其频率响应为：我们可以通过对其冲激响应的处理，得出新的滤波器。（a）绘

24、出冲激响应为所对应的频率响应。（b）绘出频率响应，所对应的冲激响应为。（c）绘出频率响应，所对应的冲激响应为解：各数学表达式见如下推导，频域示意图见图解7.16。（a）。（b）。（c）。图解7.16 7.17考虑一个连续时间低通滤波器，其通带和阻带的指标为：，用如下变换将这个滤波器变换成一个低通离散时间滤波器： ，并且用另一种下述变换将同样的连续时间滤波器变换成一个高通离散时间滤波器： （a）确定连续时间低通滤波器的通带截止频率和离散时间低通滤波器的通带截止频率之间的关系。 （b）确定连续时间低通滤波器的通带截止频率和离散时间高通滤波器的通带截止频率之间的关系。 （c）确定离散时间低通滤波器的

25、通带截止频率和离散时间高通滤波器的通带截止频率之间的关系。(d) 图P7.17中的网络描述了一种实现系统函数为的离散时间低通滤波器的方法。系数A，B，C和D均为实数，对这些系数如何进行修改可以得到一个实现系统函数为的离散时间高通滤波器的网络？ 解：（a）将代入得： （b） (c) （d） ， 令，得 只要将A改为A，C改为C，2改为2，其它不变，就能得到一个实现系统函数为的离散时间高通滤波器的网络。 7.18 系统函数为和冲激响应为的一个离散时间系统有频率响应 其中通过变换,将这个滤波器变换成一个新滤波器,即 (a) 求原低通系统的频率变量与新系统的频率变量之间的关系式.(b) 画出新滤波器频

26、率响应的图形,并认真加以标记.(c) 求用的关系式.(d) 假设可用如下差分方程组来实现: 式中为系统输入,为系统输出.确定对于变换后的系统可以实现的差分方程组. 解: (a)令,则 (b) (c)7.19考虑通过下述的变换由有理系统函数的一个连续时间滤波器来设计一个系统函数为的离散时间滤波器：其中为非零整数，为实数。（a） 若，为何值时可以有一个具有有理系统函数的稳定因果连续时间滤波器得出一个具有有理系统函数的稳定因果离散时间滤波器？（b） 若，为何值时可以有一个具有有理系统函数的稳定因果连续时间滤波器得出一个具有有理系统函数的稳定因果离散时间滤波器？（c） 当时，确定s平面的轴映射成平面的

27、什么围线？（d） 假设连续时间滤波器是一个稳定的低通滤波器，其通频带响应满足：， 。如果该离散时间滤波器是用的上述变换而的得到的，求在区间中使得的值。解： （其中为非零整数，为实数）（a） 若时，由轴映射成平面的单位圆，s域的左半平面映射成平面的单位圆内部。显然，当时， ，对应于平面的单位圆；当时，有时，即s域的左半平面，得出，映射为平面的单位圆的内部。，可以有一个具有有理系统函数的稳定因果连续时间滤波器得出一个具有有理系统函数的稳定因果离散时间滤波器。（b） 由（a）的结论可知，当时，只有时, 可以有一个具有有理系统函数的稳定因果连续时间滤波器得出一个具有有理系统函数的稳定因果离散时间滤波器

28、。（c） 当时，。就是说轴映射成平面的单位圆。（d） 已知 ， 又变换关系为：，模拟低通滤波器的通带边界为： 那么对应的数字角频率为。7.20 离散时间高通滤波器可用如下变换由一个连续时间低通滤波器求得：。（a）证明上述变换将s平面的轴映射成z平面的单位圆。（b）证明：如果是一个极点均在左半s平面的有理函数，则是极点均在z平面单位圆内的有理函数。（c）假设要求的高通离散时间滤波器的技术指标为：。求连续时间低通滤波器的技术指标，使得上述变换可以得出所要求的高通离散时间滤波器。解：（a）由可得：。另，即有：。故得：，s平面的轴映射为z平面的单位圆。（b），即有：。当时，；同时考虑到有理式的带入运算

29、仍为有理式，可以得出结论：如果是一个极点均在左半s平面的有理函数，则是极点均在z平面单位圆内的有理函数。（c）将和代入，可得：。即：。（7.20c-1）结合离散时间低通连续时间低通滤波器设计时的频率对应关系：（7.20c-1）可知式（7.20c-1）中仅是在式（7.20c-1）中的基础上向右平移。故有对应关系：。7.21令表示一个离散时间低通滤波器的系统函数，这一系统的实现可用线性信号流图来表示，该流图由图P7.21(a)所示的加法器、增益因子和单位延迟等单元组成。我们希望实现一个低通滤波器，它通过改变某一单个参数就可以改变截止频率。这里提出的方法是用图P7.21(b)中所示的网络来代替的信号

30、流图中的每一个单位延迟单元，其中为实数，且。（a）当用图P7.21(b)的网络来代替实现的网络中的每一个单位延迟分支时，令 表示所得滤波器的系统函数。证明和是通过一个平面到平面的映射联系起来的。（b）如果和是两个系统的频率响应，求频率变量和之间的关系。画出当时作为的函数的曲线，并证明是一个低通滤波器。如果是原低通滤波器的通带截止频率，求新滤波器的截止频率作为和 的函数的方程式。（c）假设原低通滤波器有系统函数 。 画出实现的流图，并画出实现的流图，是用图P7.21(b)中的网络来代替第一个流图中的单位延迟单元而得到的。所得到的网络对应于一个可以计算的差分方程吗？（d）如果对应于一个用直接形式实

31、现的FIR系统，那么该流图可以得到一个可以计算的差分方程吗？若FIR系统是线性相位的，所得系统也是线性相位的吗？如果FIR系统具有长度为个样本的冲激响应，则变换后的系统冲激响应的长度是多少？ （e）为了避免在(c)中出现困难，建议将图P7.21(b)的网络与图P7.21(c)绘出的单位延迟单元级联。当用图P7.21(c)的网络代替每一个单位延迟单元时，重复（a）的分析。求将 作为的函数的方程，并证明，若是一个低通滤波器，则不是一个低通滤波器。 （a） （b） （c） 图P7.21 解：（a）P7.21(b)的网络函数为，以代替中的单位延迟得： 和是通过一个Z平面到z平面的映射联系起来的。 （b

32、） 令 令则作为的函数的曲线如图所示: 由图可看出，为一低通滤波器.（c）的流图如图： 所以的流图如下： 对应的差分方程为（d）（e） P7.21(c)的网络函数为 令 令则关系如图：可以看出，若是一个低通滤波器，则为带一个带阻滤波器。7.22 若给定基本的滤波器组件(硬件或计算机子程序),有时可能重复使用它来实现一个具有锐截至频率响应特性的新滤波器.有一种方法是将该滤波器与自身级联两次或更多次,但是很容易证明,尽管阻带误差是平方的(若误差小于1,则总误差将减小),但是这种方法将增加通带逼近误差.另一种由杜基(Tukey,1977)提出的方法示于图P7.22-1的方框图中.杜基称这种方法为”加

33、倍”法(a) 假定基本系统具有对称的有限长冲激响应,即 确定整个冲激响应是否是(i)FIR的;(ii)对称的.(b) 假设满足下列逼近误差指标: 如果基本系统具有这些指标,可以证明整个系统的频率响应满足如下形式的指标: 求利用表示的A,B,C和D.如果,则近似的最大通带和阻带逼近误差是多少?(c) 正如(b)中所求出的,杜基的加倍法减小了通带逼近误差,但是增加了阻带误差.凯泽和哈明(Kaiser and Hamming,1977)推广了该加倍法,使得通带和阻带同时得到改善,它们把自己得出的方法称为”锐化法”.使通带和阻带同时得到改善的最简单锐化系统如图P7.22-2所示.再次假设该基本系统的冲

34、激响应与(a)中给出的相同.对于图P7.22-2的系统重复(b).(d) 假定基本系统是非因果的.如果该基本系统的冲激响应是一个因果线性相位FIR系统,使得 则图P7.22-1和P7.22-2中的系统应当如何修改?可以使用哪种类型的(,)因果线性相位FIR系统?对于图P7.22-1和P7.22-2中的系统,冲激响应的长度是多少(利用L表示)? 7.23令表示一个理想的所要求系统的冲激响应，对应的频率响应为，还令分别表示对于该理想系统的FIR逼近的冲激响应和频率响应。假设当，我们希望选择冲激响应的个样本以使频率响 应的均方误差最小，该误差定义为:。（a） 利用帕斯瓦尔关系式并借助序列和来表示误差

35、函数。（b） 利用（a）的结果，求可使最小的值。（c） 在（b）中确定的FIR滤波器可以用加窗的方法求得。这就是说，可以用一个有限的序列来乘以无限长序列来得到，求所需要的窗使得最优冲激响应为：。解：该误差定义为:而误差函数为:。（a） 而可以写成如下的形式：由于， 由（b） 由以上推证的结果：当时，有最小值（c）由以上分析可知，只有当是长度为M+1的矩形窗时，能够得到最优的冲激响应。7.24 理想离散时间希尔伯特变换是一个对于引入弧度的相移，而对引入弧度的相移；幅度相应均为1。这类系统也称为理想90度移相器。（a）给出一个理想离散时间希尔伯特变换器的频率响应的方程，改变换器包括稳定的（非零）群

36、时延。画出该系统对于的相位响应。（b）确定用那种类型的（I、II、III或IV）FIR线性相移系统来逼近（a）中的理想离散时间希尔伯特变换器。（c）假设我们要用窗函数法设计一个逼近理想离散时间希尔伯特变换器的线性相移系统。若要求该FIR系统nM时，利用（a）中给出的求出理想冲激响应。（d）当M21时该系统的延时是多少？若采用矩形窗，画出这种情况下FIR逼近的频率响应之幅度曲线。（e）当M20时该系统的延时是多少？若采用矩形窗，画出这种情况下FIR逼近的频率响应之幅度曲线。解（a）由题意得：（7.24a-1）其中为群延时项。（b）I、II类FIR线性相位系统满足：，其中为实偶函数，对照式（7.2

37、4a-1），很明显，不可用逼近；III、IV类FIR线性相位系统满足：，其中为实奇函数，对照式（7.24a-1），可用逼近。（c）理想的冲激响应：。（d）延时。冲激响应和频率响应之幅度见图解7.24。（e）延时。冲激响应和频率响应之幅度见图解7.24。图解7.247.25在7.4.1节中提出的常用窗函数均可以利用矩形窗来表示。这一特性可以用来得出巴特利特窗和包括哈明、汉宁及布莱克曼窗在内的提升余弦窗族的傅立叶变换表示式。 （a）证明式（7.77b）定义的点巴特利特窗可以表示成两个较短矩形窗的卷积。用这一事实证明，点巴特利特窗的傅立叶变换是 或 （b）很容易看出，由式（7.77c）至式（7.77

38、e）定义的点提升余弦窗均可以表示成 式中是点矩形窗。用这个关系式求一般提升余弦窗的傅立叶变换。 （c）利用适当选择的A，B和C以及（b）中得出的结果，画出汉宁窗傅立叶变换的幅度曲线。解：式（7.77b）定义的点巴特利特窗为： 则此窗函数可看作由两个较短矩形窗卷积而成，其中 M为偶数时 M为奇数时 则M为偶数时，则M为奇数时，（b） （c）见课本P371页。 7.26 我们希望用凯泽窗函数法设计一个具有广义线性相位的离散时间滤波器,它满足如下技 术指标: (a) 对于满足以上技术指标的滤波器,求冲激响应的最小长度(M+1)的值,以及凯泽窗参数的值.(b) 该滤波器的延迟是多少?(c) 确定使用凯

39、泽窗的理想冲激响应.7.27考虑一个多频带滤波器的频率响应如下：（a） 该滤波器的延迟时多少？（b） 求理想冲激响应？（c） 确定FIR滤波器所满足的一组逼近误差技术指标，即确定在下式中的参数， ， 。解：一个多频带滤波器的频率响应如下：（a） 显然，由可该以看出滤波器的延迟为M/2。（b）（c） FIR有限项逼近中，由于矩形窗对应的凯泽窗的形状因子，此时对应的. （） 7.28 考虑帕克斯-麦克莱伦算法设计一个低通线性相移的FIR滤波器。利用交错点定理说明在通带和阻带逼近区之间“不在乎”区域中的逼近函数必须单调减小（利用三角多项式的所有局部极大点和极小点必须在通带中或阻带中，以满足交错点定理

40、）。证明：假设逼近函数在“不在乎”区间内并非单调减小，则必在该区间上至少存在一个极点。这样，对于r次的逼近函数，（），交错点最多有（r-1+2+2-1=r+2）个。若或不满足等波纹条件，则交错点数目将少于r+2个，故只有所有的极值均在通带和阻带中。即：通带和阻带逼近区之间“不在乎”区域中的逼近函数必须单调减小。 7.29图P7.29表示一个离散时间FIR系统的频率响应，该系统的冲激响应是： （a）证明不能对应于由帕克斯麦克莱伦算法产生的FIR滤波器，该滤波器的通带边缘频率为，阻带边缘频率为，且在通带和阻带中误差加权函数为1。并详细解释其理由。（提示：交错点定理表明，最佳逼近是唯一的。） （b）

41、根据图P7.29和不能对应于一个最佳滤波器的论述，对于L值可以得出什么结论？ 图P7.29 解：（a） 该滤波器为II型FIR滤波器 其中用多项式来逼近的所要求频率响应函数定义为，又本题中，题中所给误差加权函数为1则为的交错点则的交错点的个数为个而L不同时，题目中所给的滤波器在相同的下，该滤波器均能称为最佳滤波器，而由交错点定理，最佳逼近应当是唯一的不能对应于由帕克斯麦克莱伦算法产生的FIR滤波器。 （b）由图P7.29可知 所以 所以当L=50时，该滤波器是最佳的。7.30 用帕克斯-麦克莱伦算法设计一个最佳等波纹FIR线性滤波器.其频率响应的幅度示于图P7.30中.通带中的最大逼近误差为,

42、且阻带中的最大逼近误差为.通带和阻带截至频率分别为.(a) 这是什么类型(,)的线性相位系统?并请解释其理由.(b) 在优化中使用的误差加权函数是什么?(c) 仔细画出加权逼近误差的曲线,即画出 (注意,图P7.30已表示出).(d) 系统冲激响应的长度是多少?(e) 如果这个系统是因果的,则它能具有的最小延迟是多少?(f) 在z平面上尽可能精确的画出系统函数的零点.7.31考虑用帕克斯-麦克莱伦算法设计一个型带通线性相位FIR滤波器，其冲激响应长度为。回想一下，对于型线性相位FIR滤波器频率相应的形式为，并且帕克斯-麦克莱伦算法可以求出可使如下的误差函数的最大值达到最小的函数：， ，式中F是

43、区间上的一个闭子集，是加权函数，且是定义在逼近区间F上所要求的频率响应。某一个带通滤波器的容限图于图P7.31中。（a） 对于容限图P7.31，给出所要求的频率响应的方程式。（b） 对于容限图P7.31，给出加权函数的方程式。（c） 对于最佳滤波器，误差函数之交错点的最少个数是多少？（d） 对于最佳滤波器，误差函数之交错点的最多个数是多少？（e） 画出一个“典型的” 误差加权误差函数的曲线，该函数能够作为一个最佳带通滤波器（取M=14）的误差函数。假设由最多个数的交错点。（f） 现在假设，加权函数和所要求的函数都保持不变，但是增大使得过渡带也增大，对于这些新指标的最佳滤波器必须有比原指标相联系

44、的最佳滤波器要小的最大逼近误差吗？详细说明其理由。（g） 在低通滤波器的情况下，的所有局部极小点和极大点必然出现在逼近频带中。他们不能出现在“不在乎”的频带中，在低通的情况下，在逼近带中出现极小点和极大点必须是误差的交错点。证明：在带通滤波器中这一点不争气，具体讲，用交错点定理证明：（1）的局部极小点和极大点不限于在逼近频带中；（2）在逼近频带中的局部极小点和极大点不必是交错点。解：用帕克斯-麦克莱伦算法设计一个型带通线性相位FIR滤波器，。（a） 由图P7.31可知，所要求的频率响应为：（b） 对于给定的容限图，那么（c） 交错点最少为：(L+2)个。（d） 由于是带通滤波器，有两个过渡带，

45、那么交错点最多为：(L+4)个。（e） 画出一个“典型的” 误差加权误差函数的曲线，M=14时，可以知道最多有11个交错点。（f）增大使得过渡带也增大，由如下的计算等式： 对于低通滤波器的各参数的相互关系，有：当过渡带增大，M不变时，由上面的计算等式可知，最大逼近误差必然减小。该变化关系同样适用于带通滤波器。（g）（暂缺）7.32 考虑如图P7.32的系统。图P7.321. 假设时，并且是理想低通重构滤波器：。2. D/A转换器有一个内置的零阶保持电路，使得：，其中。（我们忽略D/A的量化误差。）3. 图P7.32中第2个系统是是一个具有频率响应为的线性相移FIR离散时间系统。我们要利用帕克斯

46、-麦克莱伦算法设计该FIR系统，以补偿零阶保持系统的影响。（a）输出的傅立叶变换为，利用和T表示。（b）如果线性相位FIR系统是，当n51时hn=0，且，求和 之间总的延时（ms为单位）。（c）假设时，我们希望有效频率响应在以下容限范围内是等波纹的（包括通带和阻带）：。我们希望用一个包括补偿零阶保持在内的最佳线性相位滤波器（利用帕克斯-麦克莱伦算法设计）来实现。给出应当使用的理想频率响应的方程。求出应当使用的加权函数，并作图。绘出所得出的“典型”频率响应曲线。（d）如何修改你在（c）中的结果，使其包括对重构滤波器的补偿，已知该滤波器在以上增益为零，且具有倾斜的通带？解：（a），其中。（b）由题

47、意可得，FIR系统延时为；同时考虑到的延时为，所以系统的总延时为。（c） 7.33一个离散时间信号经过低通滤波器过滤后常常如图P7.33-1所示的那样被欠采样或抽取。在这种应用中往往希望滤波器是线性相位FIR滤波器。但是如果图P7.33-1中的低通滤波器有一个很窄的过渡带，则FIR系统将具有一个很长的冲激响应，因此计算每个输出样本就需要大量的乘法和加法运算。 在这个习题中，我们将研究图P7.33-1所示系统的多级实现的优点。当很小并且抽取因子M很大时这种实现方法是特别有用的。一种通用的多级实现绘于图P7.33-2中，它的基本思路是，在前面几级低通滤波器中使用较宽的过渡带，因此减少了在这几级中所

48、需要的滤波器冲激响应的长度。当进行抽取时信号样本数就减少了，并且我们可以逐渐地减小对抽取后信号过滤的滤波器过渡带的宽度。用这种方式就可以减少实现抽取器所需要的总计算次数。 图P7.33-1 图P7.33-2 （a）如果图P7.33-1中抽取的结果没有出现混叠，最大允许的抽取因子M是多少（用表示）？ （b）在图P7.33-1所示系统中，令。若，请绘出的图形。 现在考虑当时抽取器的二级实现，如图P7.33-3所示，其 我们必须选择或等效地选择的过渡带，使得二级实现得到与单级抽取器同样的等效通带和阻带频率。（我们没有考虑在过渡带中频率响应的形状细节，单二个系统在过渡带中均应当有单调下降的频率响应。） （c）对于一个任意的值和输入，绘出图P7.33-3所示二级抽取器的， 。 图P