李雅普诺夫稳定性分析方法

1、自动控制原理自动控制原理第五章第五章 李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定性分析方法性分析方法 1.1892 1.1892年年A.m.LyapunovA.m.Lyapunov发表的发表的运动稳定性的运动稳定性的一般问题一般问题提出了稳定性的一般概念和方法提出了稳定性的一般概念和方法. . 2.Lyapunov 2.Lyapunov方法可适用于线性系统方法可适用于线性系统, ,非线性系统非线性系统, ,时变或非时变系统时变或非时变系统, ,连续时间系统或离散时间系统连续时间系统或离散时间系统. . 3. 3.本节研究的内容是基于常微分方程描述的动本节研究的内容是基于常微分方程描述的动力学系统力学系统,

2、,并分为两种分析方法并分为两种分析方法. .（1）Lyapunov第一方法第一方法: 也称间接法也称间接法,属于小范围稳定性分析方法。属于小范围稳定性分析方法。 基本思路是基本思路是:将非线性自治系统运动方程在将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似线性系统线性系统.再根据线性系统特征值在复平面再根据线性系统特征值在复平面上分布上分布,推断非线性系统在邻域内的稳定性推断非线性系统在邻域内的稳定性. 在在LyapunovLyapunov第一法中第一法中,有一个基础性的问题有一个基础性的问题,即将非线性方程线性化的问题即将非线性方程线性

3、化的问题. 实际上其方法的主要数学工具是泰勒展开实际上其方法的主要数学工具是泰勒展开式式, ,即对函数即对函数f(xf(x) )在在 邻域内展开后邻域内展开后 仅取线性项仅取线性项, ,忽略高阶次项忽略高阶次项0 x2( )000000011( )()()()()()()()2!nnf xf xfxxxfxxxfxxxn000( )()()()f xf xfxxx 称上式为称上式为f(x)非线性函数在非线性函数在 邻域内的线性邻域内的线性函数表达函数表达. 故而故而 必须要足够小必须要足够小,其变化其变化 应在应在 的小邻域内进行的小邻域内进行,即运动是非常小的即运动是非常小的,因为运动亦可称

4、为一种扰动因为运动亦可称为一种扰动,因此上述方法因此上述方法常称为小扰动线性化常称为小扰动线性化.0 x0 xx0 xxx 0 x例子例子:一个系统的描述输入输出的模型为一个系统的描述输入输出的模型为其中其中 x:x:输入输入, y, y:输出输出.设设 是平衡点是平衡点,即满足即满足2sinyaybyxx00,xy200000sinyaybyxx 由于由于 均为常数均为常数,则则 从而有从而有 令令 则方程左边是则方程左边是00,xy000yy2000sinbyxx00,xxx yyy0ya ybyb y 将方程右边在将方程右边在 点处点处,用泰勒展开用泰勒展开,并取到一并取到一次项次项,忽

5、略高次项忽略高次项,故有故有 从而有从而有0 x220000sin2sincosxxxxxxxx 200000sin(2cos)ya ybyb yxxxxx 显然显然 代入后代入后,得到得到 两边进行拉氏变换得两边进行拉氏变换得(初始状态初始状态 ),则则2000sinbyxx00(2cos)ya yb yxxx 00y200()( )(2cos)( )sasby sxxx s 则有则有 故线性模型故线性模型G(sG(s) )描述了非线性方程在描述了非线性方程在 处处 和和 的运动特性的运动特性,而而LaypunovLaypunov第一方法第一方法,则是根据则是根据G(sG(s) )的特征值来

6、分析其在小扰动的特征值来分析其在小扰动范围内运动稳定性范围内运动稳定性.0022cos( )( )( )xxy sG sx ssasb0 xxy（2）李雅普诺夫第二方法）李雅普诺夫第二方法 也称直接法也称直接法,属于直接根据系统结构判断内属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法部稳定性的方法. 该方法直接该方法直接面对非线性系统面对非线性系统, ,基于引入具有基于引入具有广义能量属性的广义能量属性的LyapunovLyapunov函数和分析李氏函数和分析李氏函数的定量性函数的定量性, , 建立判断稳定性的相应结建立判断稳定性的相应结论论. . 因此直接法也是一般性方法因此直接法也是一般性方法-

7、Lyapunov-Lyapunov第二法更具有一般性第二法更具有一般性. .（3）用李氏方法分析的必要性）用李氏方法分析的必要性 以一个例子说明以一个例子说明:用特征值来判断线性时变用特征值来判断线性时变系统一般稳定性是会失效的系统一般稳定性是会失效的. 其中特征值为其中特征值为 -1,-1.-1,-1.2101texx 但由于其解为但由于其解为 当当 时时,若若 则必有则必有 故平衡状态是不稳定的故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现即系统的实际表现是不收敛和发散的是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失从而采用特征值判断失效效.()/2( )(0)0tttteeex txe(0)0 xt x

8、 一一.系统运动稳定性的性质系统运动稳定性的性质. 运动稳定性的实质运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的归结为系统平衡状态的稳定性稳定性. 平衡状态的稳定性问题实际就是平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临或者使之限制在平衡状态的有限临域内域内,或者使之同时返回平衡状态或者使之同时返回平衡状态. 从而要讨论三个重要概念从而要讨论三个重要概念: 1.自治系统自治系统. 2.平衡状态平衡状态. 3.受扰运动受扰运动.1.自治系统自治系统 定义地定义地:自治系统定义为不受外部

9、影响即没自治系统定义为不受外部影响即没有输入作用的一类系统有输入作用的一类系统. 一般情形的系统描述一般情形的系统描述: 线性时变系统的描述线性时变系统的描述: 线性时不变的描述线性时不变的描述: 000( , ), ( ), ,xf x tx tx tt000( ) , ( ),xA t x x tx tt000, ( ), ,)xAx x tx tt2.平衡状态平衡状态 定义定义:对连续时间非线性时变系统对连续时间非线性时变系统,自治系统自治系统 的平衡状态定义为状态空间满足属的平衡状态定义为状态空间满足属性性 的一个状态的一个状态.( , )xf x t0(, )0, ,)eexf x

10、ttt 下面对平衡状态的说明下面对平衡状态的说明: (1).平衡状态的直观含义平衡状态的直观含义,平衡状态平衡状态 直观上直观上为系统处于平衡时可能具有一类状态为系统处于平衡时可能具有一类状态,系统系统平衡的基本特征平衡的基本特征 . (2).平衡状态的形式平衡状态的形式.平衡状态平衡状态 可由方程定可由方程定出出,对二维自治系统对二维自治系统, 的形式包括状态空的形式包括状态空间中的点和线段间中的点和线段.ex0ex exex (3).不唯一性不唯一性.平衡状态平衡状态 一般不唯一一般不唯一. 对定常线性系统而言对定常线性系统而言,平衡状态平衡状态 为方程为方程 的解的解. 若矩阵若矩阵A非

11、奇非奇,则有唯一解则有唯一解 若矩阵若矩阵A奇异奇异,则解则解 不唯一不唯一.exex0eAx 0ex ex (4).孤立平衡状态孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此该状态是指状态空间彼此分隔的孤立点形式的平衡状态分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状孤立平衡状态的重要特征是态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换通过坐标移动可将其转换为状态空间的原点为状态空间的原点. (5).对平衡状态的约定：对平衡状态的约定：LyapunovLyapunov第二法中第二法中,对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态,从从而在研究中可把平衡状态设为空间原点而在研究中可把平衡状态设为

12、空间原点.3.受扰运动受扰运动. 定义定义:受扰运动定义为其自治系统由初始扰受扰运动定义为其自治系统由初始扰动动 引起的一类状态运动引起的一类状态运动. 也就是零输入响应也就是零输入响应,在稳定性分析中在稳定性分析中,可将非可将非零初始状态零初始状态 看成为相对于零平衡状态看成为相对于零平衡状态 的一个状态扰动的一个状态扰动.0 x0 x0ex 二二.LyapunovLyapunov意义意义下的稳定性下的稳定性(实际上只刻划实际上只刻划稳定性或描述稳定性或描述) 自治系统受扰后自治系统受扰后,其状态自平衡状态发生偏其状态自平衡状态发生偏离离,随后在所有时间内系统的响应可能出现随后在所有时间内系

13、统的响应可能出现下列情况下列情况. (1) 系统响应是有界的系统响应是有界的 (2) 系统响应不但有界系统响应不但有界,而且最终回到原先的而且最终回到原先的初始状态初始状态. (3) 系统自由响应无界系统自由响应无界.1.预备知识预备知识. 设设 代表系统的平衡状态代表系统的平衡状态,用下式表示在平用下式表示在平衡状态衡状态 周围半径为周围半径为k的球域：的球域： . 式中式中 称为欧氏范数称为欧氏范数,它代表向量它代表向量 的的长度长度.exexexxkexxexx 因此因此: A.A.对应于系统的初始条件可以划出一个球对应于系统的初始条件可以划出一个球域域S(S() )它的范数为它的范数为

14、 其中其中 为初始时刻为初始时刻 时的状态变量时的状态变量. B.B.球域球域S(S(),),它能将它能将 的解的解 的所有点都包围在内的所有点都包围在内,其范数为其范数为0exx0 x0t( , )xf x t00( ;, )x t x t000( ;, )()ex t x txtt 2.现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方法进行定义法进行定义 实际上也是对平衡状态稳定性的定义实际上也是对平衡状态稳定性的定义. 定义定义:如果对任意给定的如果对任意给定的0,都对应存在另都对应存在另一依赖于一依赖于和和 的实数的实数 ,使得满足使得满足不等式不等式: 的任一

15、初始状态的任一初始状态 出发的受扰运动出发的受扰运动 都满足不等式都满足不等式 则称自治系统则称自治系统 的孤立的孤立平衡状态平衡状态 在时刻在时刻 为李雅普诺夫意义为李雅普诺夫意义下稳定下稳定.0t0( , )exxt 0 x00( :, )x t x t000( ;, )ex t x txtt 000( , )( ), ,)xf x tx tx tt0ex 0t0,0t 3.渐近稳定性渐近稳定性 一般来讲一般来讲,如果受扰运动能回到原来的平衡状态如果受扰运动能回到原来的平衡状态,则称该平衡状态是渐近稳定的则称该平衡状态是渐近稳定的. 定义定义:如果上述自治系统如果上述自治系统 1)平衡状态

16、平衡状态 为李雅普诺夫意义下的稳定为李雅普诺夫意义下的稳定, 2)存在可任给的实数存在可任给的实数0,能使任一初始时刻能使任一初始时刻 出出发的受扰运动满足发的受扰运动满足 注意注意,该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的平衡状态平衡状态.0ex 0 x000( ;, )ex t x txtt 4.大范围内的渐近稳定大范围内的渐近稳定. 如果由系统状态的所有初始状态出发如果由系统状态的所有初始状态出发,其扰其扰动运动都是渐近稳定的动运动都是渐近稳定的,则这时的平衡状态则这时的平衡状态称为大范围内渐近稳定的称为大范围内渐近稳定的.或说或说 的的每个解每个解,

17、当当 时时,都收敛于都收敛于 ,显然这样的显然这样的系统只能有一个平衡状态系统只能有一个平衡状态.( , )xf x tt ex5.不稳定不稳定 如果对于某一实数如果对于某一实数0,不论不论取多么小取多么小,由由S()内出发的轨迹只要其中有一个轨内出发的轨迹只要其中有一个轨迹越出迹越出S(),则称平衡状态则称平衡状态 为不稳定的为不稳定的.ex 三三.李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 LyapunovLyapunov第二第二方法也称直接法方法也称直接法. 不但可用于稳定性判别不但可用于稳定性判别,且可用于系统设计且可用于系统设计. 该方法基于这样的思想该方法基于这样的思想,即一个系统或物体

18、即一个系统或物体之所以有运动之所以有运动,是因为它具有能量的缘故是因为它具有能量的缘故,如如果一个系统在运动过程中果一个系统在运动过程中,其内部贮存的能其内部贮存的能量随时间的推移逐渐的衰减量随时间的推移逐渐的衰减,一直到运动平一直到运动平衡状态处衡状态处,系统所具有的能量变成最小系统所具有的能量变成最小. 所以若能找到一个可以完全描述上述过程所以若能找到一个可以完全描述上述过程的所谓能量函数的话的所谓能量函数的话,则系统的稳定性就不则系统的稳定性就不难解决了难解决了. 但由于实际系统形式是复杂多样的但由于实际系统形式是复杂多样的,一般不一般不容易找出具有直观物理意义的能量函数容易找出具有直观

19、物理意义的能量函数,因因此此,李雅普诺夫引入了一个广义能量函数李雅普诺夫引入了一个广义能量函数,它它虽非是系统真正物理意义上的能量函数虽非是系统真正物理意义上的能量函数,但但有着能量含义有着能量含义,且在形式上更具有一般性且在形式上更具有一般性. LyapunovLyapunov函数与函数与 有关有关, ,用用V(xV(x) )来来表示表示. . 一般情况下一般情况下V(xV(x)0)0 , 表示能量随时表示能量随时间的变化率间的变化率. 当当 表明能量在运动中随时间推移而减表明能量在运动中随时间推移而减少少. 当当 表明能量在运动中随时间推移而增表明能量在运动中随时间推移而增加加.12,nx

20、 xx( )dvV xdt( )0V x ( )0V x 1.预备知识预备知识 1).1).标量函数标量函数V(xV(x) )性质意义性质意义: : 令令V(xV(x) )是向量是向量x x的标量函数的标量函数,是是x x空间包含空间包含原点的封闭有限区域原点的封闭有限区域. . (1). (1).如果对所有区域如果对所有区域中的非零向量中的非零向量x,x,有有V(xV(x)0,)0,且在且在x=0 x=0处有处有V(xV(x)=0)=0则在域则在域内称内称V(xV(x) )为正定为正定. . (2). (2).如如果果V(xV(x) )除原点以及某些状态等于零除原点以及某些状态等于零外外,在

21、域在域内其余状态处都是正的内其余状态处都是正的, ,则则V(xV(x) )称称为半正定为半正定. . (3). (3).如果如果-V(x-V(x) )是正定的是正定的, ,则则V(xV(x) )称为负定称为负定的的. . (4). (4).如果如果-V(x-V(x) )是半正定的是半正定的, ,则则V(xV(x) )称为半称为半负定的负定的. . 2).二次型标量函数二次型标量函数 称为二次型函数称为二次型函数,若若 则则p p称为称为实对称的实对称的.( )TV xx pxijjipp2.Lyapunov第二方法的几个定理第二方法的几个定理-稳定性判稳定性判据（书据（书P317)P317) 定理一定理一.设系统的状态方程设系统的状态方程: (坐标原点为平衡状态坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统如果上述给定系统存在一个有连续偏导数的标量函数存在一个有连续偏导数的标量函数V(xV(x) )并并满足下列条件：满足下列条件：( , ),(0, )0 xf x tft且 1).对所有对所有 时时V(xV(x)0)0 2).对所有对所有 时时 ,则平衡点则平衡点x=0 x=0是渐是渐近稳定的近稳定的. 3).除满足除满足1),2)1),2)外外,如果如果 则则x=0 x=0是大范围渐近稳定的是大范围渐近稳定的.0 x 0 x ( )0