习指稿 差分方程

1、差分方程 教学基本要求 1.了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念。 2.掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3.会求解某些特殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解。 4.会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题。 差分与求导很相似，式中的分母在求导时是趋于零的，在差分时是等于1的，所以差分与求导的四则运算法则也有相似的形式。求解差分方程与求解微分方程的第一步相同，都要先判断方程的类型，阶数、齐次非齐次，特征方程的特点，确定相应的解题方法。一阶、二阶常系数齐次差分方程的通解及它们的非齐次差分方程的特解的求解思想，都可依照常系数微分方程的特征方程、特征根、设定特解采用待定系

2、数法求特解的全套办法，整体模仿。差分方程的解的结构，与微分方程完全对应。知识要点1 差分的定义，差分的阶。2 差分方程，差分方程的阶，差分方程的解，特解，线性无关的解的线性组合，通解。 差分方程的阶数：在求解时有用，故化为不带的形式后的阶数有实际意义。3解的结构：非齐方程通解（相应齐方程通解+非齐方程一个特解）4一阶常系数线性差分方程 无论是齐次方程或非齐次方程，可以用迭代法求通解，比较繁。多采用一般方法： 相应一阶齐次线性差分方程 设解为， 得特征方程，特征根，齐次方程通解 时称为非齐次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。 （常数） 试解设为 试解设为 为n的 t次多项式 试

3、解设为 试解设为 均为常数） ， 试解设为 ， 试解设为 设 设5二阶常系数线性差分方程 其中为常数 相应二阶常系数齐次线性差分方程 设解为代入， 得特征方程 可解出特征根和。（与微分方程相似） * 两个相异实根：齐方程通解 * 二重根： 齐方程通解 * 两个共轭复根： 由和， 可知， ， 所以 特解1： 特解2： 重新组合出两个新的线性无关的特解，再叠加成齐次方程的通解： 时称为非齐次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。 非齐次方程通解的结构：相应齐方程通解 + 非齐次方程一个特解 （待定系数法求特解在设定特解的形式时也要参照题目中的条件而定，比较繁琐，不 在此赘述。请参看朱

4、来义著微积分P340表10-2）典型例题例1求差分方程的通解。解：特征方程 特征根 齐方程通解 因 故设 代入原方程 = 整理 比较系数 原差分方程通解例2求差分方程的通解。解：特征方程， 特征根 ， 齐方程通解， 因 设特解 ， 代入原方程 化简 解出 ， 故 原方程通解；例3求差分方程的通解。解：特征方程，特征根 ， 齐方程通解 因， 故设， 代入原差分方程 ，化简为 解得， ，故原差分方程通解 .例4 求差分方程的通解。解：特征方程，特征根, 得到齐方程通解；设特解 代入原差分方程， ，化简为 ， 解得， 所以 ； 原二阶常系数非齐次差分方程的通解 ；注1：解的过程都是代数运算，没有难度

5、，须注意不出计算错误，所得解是否正确还可以代回原方程进行验算。非齐次差分方程特解的设定若不合适，待定系数时会发现有问题，须对设定做调整。若有初始条件，代入通解确定任意常数即可。注2：差分方程在经济问题中的应用请看教材中的例题。课堂练习一、 填空题 1差分方程的通解_ 2差分方程具有形如_的特解。3某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再增加2百万元，若以表示第n年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是 _. 4已知 是差分方程的两个特解， 则_,_.二、选择题 1在x=1处的二阶差分是（ ）。 A1 B2 C3 D0 2差分方程的阶数为（ ）。 A1 B. 2 C. 3 D.

6、 4 3差分方程的通解是（ ） A. B. C. D. 4下列差分方程中，不是二阶差分方程的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 1求差分方程的通解 2求差分方程的通解。 3求差分方程通解，再求时的特解 4求差分方程通解，再求时的特解. 5求差分方程的通解.答案与提示一、 填空题 1（改变形式后再解。可取不同变量符号） 2。 3(百万元) 4（二元一次方程组）二、选择题 1B 2C（以展开化简为运算时的形式为准） 3D 4C三、解答题 1 2解:齐通,因a-1故设特解代入方程， 比较系数得, 即， 所以原方程通解为： . 3解:,所以齐通，非齐特通解 。 再用 解出故满足条件的特解为.

7、 4解：由得 齐通设特解（由取），所以，从而原方程的通解+4. 再由已知条件和解出， 故满足条件的特解为. 5解：由解出，tgq, q，原方程通解.单元测试一、 填空题 1的一阶差分是_. 2是_阶差分方程. 3是差分方程的一个特解，则_，_。 4差分方程的通解为_。 5差分方程的阶数为_。二、单项选择 1下列方程中（ ）是二阶常系数线性差分方程 A B C D 2差分方程的通解是（ ） A B C D 3差分方程具有形如（ ）的特解。 A B C D 4.函数是差分方程（ ）的通解。 A. B. C. D. 5.下列等式中不是差分方程的是（ ） A. B. C. D.三、计算题 1求差分方程

8、的通解 2求差分方程的通解。 3解差分方程, 已知 4求差分方程通解，再求时的特解 5.求差分方程通解，再求时的特解.四、解答题1 某产品在时段t的价格为Pt，供给为St，需求为Dt，且对t=0,1,2,3···有 St=2Pt+1 Dt=-4Pt-1+5，St=Dt （1）根据上述关系推出满足的差分方程 （2）求上述方程满足P（0）=P0的特解。 2设分别为t时期国民收入、消费和投资，三者之间的关系如下： 其中a,b,g 都是常数, 0< a< 1, b ³ 0, g > 0。 若已知t = 0 的基期国民收入为，求：。五、证明题： 1设分别是下列差分方程 ， 的解， 求证：是差分方程的解。 2证明下列公式： （1） （2）单元测试答案一、 填空题。 (1) (2)2 (3) (4) (5) 3 二、 单项选择 (!) A (2) C (3) C (4) C (5) B 三、 计算题 1.,n=0,1,2, 2. ；齐通解,令为特解代入原 方程， 比较两端同次项的系数可得 3. ；由 求得 ，通解为 将代入通解，4 通解；满足条件的特解为。齐通，因 设， 代入解出用解出。 5.通解. （，tgq=1，q） 满足条