高中数学《空间向量及其运算》同步练习5新人教A版选修2-1

1、用心爱心专心-1 -【考点 13】 空间向量及其运算1.(2009 安徽卷文 11)在空间直角坐标系中，已知点A (1 , 0, 2) , B(1 , - 3, 1)，点M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_2.(2009 海南宁夏卷理 19)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的.2 倍，P 为侧棱 SD上的点.(I)求证：ACL SD(H)若SDL 平面 PAC求二面角P-AC-D的大小(川)在(H)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点 E,使得 BE/平面 PAC 若存在，求 SE EC 的值； 若不存

2、在，试说明理由.3. (2009 浙江卷理 20)(本题满分 15 分)如图，平面PAC_平面ABC,ABC是以AC为斜边 的等腰直角三角形，E,F,0分别为PA,PB,AC的中点，AC =16,PA=PC=10.(I )设G是OC的 中点，证明：FG/平面BOE;(II )证明： 在ABO内存在一点M， 使FM_平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.4.(2008 全国H,10)已知正四棱锥S-ABCD勺侧棱长与底面边长都相等,则AE、SD所成的角的余弦值为()E是SB的中点,A.B.C.D.5. (2007 广东,19, 14 分)如图题 2 所示,等腰ABC的底边B=6、6，高CB3.

3、点E是线段BD上异于点B D的动点点F在BC边上，且EFLAB现沿已尸将厶BEF折起到PEF的位置，使PE!AE记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V( X)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.6. (2008 福建，18)如图题 3,在四棱锥P-ABC曲，侧面PADL底面ABCD侧 棱=PD二、2,用心爱心专心底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD ABL AD, AD=2AB=2BC=2,0为AD中点.(1) 求证：POL平面ABCD(2) 求异面直线PB与CD所成角的大小；若不存在，请说

4、明理由.7. (2008 全国I,11)已知三棱柱ABC-ABQ,的侧 棱与底面边长都相等，&(2008 福建,-AiBiCiDi中，AB=BC=2,AAi =1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()且二面角 B-AO-C 是直二面角.动点D在斜边AB上.(1) 求证：平面COL平面AOB(2) 当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；(3) 求CD与平面AOB所成角的最大值.10 . ( 2008 海南、宁夏高考题)如图题 7 ,书已知点P在正方体B.2.55D.、1059. (2007 北京,16, 14 分) 如图题 6,在Rt AOB中，/OAB，斜边A

5、B二4,6Rt AOC 可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到,(3)线段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为?若存在,2求出竺的值;QD中心，则AB1与底面 ABC 所成角的正弦值6)如图题乙在长方体ABCD用心爱心专心-3 -ABCDABCD的对解线BD上，/PDA =60.(1 )求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小.用心爱心专心高考真题答案与解析数学（理）【考点 13】 空间向量及其运算1 【解析】设M （0, y,0），则由|MA旧MB |得、.1 y24二1 （y 3）21，解得y二1即 M 的坐标是（0, -1,0）2.【解法一】（I）连 B

6、D 设 AC 交 BD 于 O,由题意SO _ AC在正方形 ABCD 中,AC _ BD,所以AC_平面SBD,得AC _ SD.（n）设正方形边长a，贝 USD = 2a.又OD2a,2所以/SOD =60,连OP，由（I）知AC_平面SBD,所以AC _ OP,且AC _ 0D,所以.POD是二面角P - AC - D的平面角.由SD_ 平面PAC,知SD _ 0P,所以.POD = 30,即二面角P - AC - D的大小为300.（川）在棱 SC 上存在一点 E,使BE /平面PAC由（n）可得故可在SP上取一点N,使PN二PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连 BN 在L

7、BDN中知BN / PO，又由于NE/PC,故平面BEN /平面PAC，得BE /平面PAC,由于SN: NP =21,故SE: EC =21用心爱心专心-5 -【解法二】（I）;连BD,设AC交于BD于0,由题意知用心爱心专心SO_平面ABCD.以 O 为坐标原点，OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图.S(o,o,C(0,#a,0),OC討),SD =(所求二面角的大小为30（川）在棱SC上存在一点E使BE/平面PAC.设底面边长为a，则高SO6a.2OC SD = 0故 从而AC _ SDOC _ SD（n）由题设知，平面PAC的一个法向量DS =a），平面

8、DAC的一个法向量OS =)0,0,吕，设所求2.面角为OS DSOS DS用心爱心专心-7 -且DS =(鼻a,0, 0a),CS =(0,-2 22、6、a, a)2 2设CE =tCS,则B &B CCBE DC=0二t =-,3即当SE:EC =2:1时，BE _ DS由（n）知DS是平面PAC的一个法向量,用心爱心专心-8 -而BE不在平面PAC内，故BE/平面PAC0B =(8,0,0), OE(0,一4,3)，因此平面 BOE 的法向量为n =(0,3, 4)，FG (-4,4, -3得n FG =0,又直线FG不在平面BOE内，因此有FG/平面BOE_(II )设点 M

9、 的坐标为(x0,yo,0 )，则FM =(x04,y0,3)，因为FM丄平面 BOE 所以 有FMn，因此有x0=4, y0- -9，即点 M 的坐标为i4, -9,0，在平面直角坐标系xoy4I 4丿x 0中，.AOB的内部区域满足不等式组y：0，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式Ix - y：8组，所以在. ABO内存在一点M，使FM_平面BOE，由点 M 的坐标得点M到OA，9OB的距离为4,.44. 答案：CPE!平面ACFE / EFLAB CDLABEF/ CD-EFCD四边形ACFE勺面积SACFE二S.ABC- SBEF1 11 3. 【证明】(I )如图，连结 0P 以

10、0 为坐标原点，分别以 OB OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0 0,0,0 ,A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(010,6)1E(0,二,3),F 4,0,3，由题意得，G 0, 4, 05.令正四棱锥的棱长为 2 ,则A(1,-1,0),B(1, 1,2),E0), D(-1 , -1 , 0),S(0, 0,SD= (-1 , -1 ,1 AE SD所成的角的余弦值为|AE|SD|3AE SD【解析】：(1)EFAB EF PE 又PEL AEEFAEE，且BDEF二型x=xBD v 6車z故选 C.PE在平面ACFE外,用心爱心专心

11、-9 -=x 6、6 3 x x2= 9 6 2 2 .61四棱锥 P-ACFE 的体积VPCFESACFE3PE=3.6x-1x3.即V(x)=3.6x6J6(0：x : 3.6.).(2)由(1)知V(x) =3、6 -1x2.令V2(6(x) =0= x =6.当0：x：6时，V(x)0当6：x：3.6时，V(x)：0,.当BE=x = 6时，V (x)有最大值，最大值为V (6)=12.、6.(3)解法一：如图，以点 E 为坐标原点，向量EA、EF、EP分别为x、y、z轴的正 向建立空间直角坐标系. 则E(0, 0, 0),P(0, 0, 6),F(0,6,0),A(6j6,0,0),

12、于是AC =(-3.6,3,0),PF二(0,.6, -6).AC 与 PF 所成角二的余弦为COS*AC PF3 61| AC | | PF |54 90 6 3671异面直线AC与PF所成角的余弦值为 -.7用心爱心专心-10 -解法二：过点F作FG/ AC交AE于点G,连结PG,则/PFG为异面直线AC与PF所成的用心爱心专心-11 -角.ABC是等腰三角形，GBF也是等腰三角形于是用心爱心专心-12 -.42，从而PGPE2GE2-_ 2 2FG=BF=FPflBE2EF2=BE2BE2=6、2在GPF中根据余弦定理得cos/PF2FG2- PG22PF FG1故异面直线AC与PF所成

13、角的余弦值为-.76.【解析】解法一：(1)证明：在厶PAD中PA=PD O为AD中点，所以POLAD又侧面PADL底面ABCD平 面PADc 平面ABCD=ADPX平面PAD所以PCL平面ABCD(2)连结B0,在直角梯形ABCD中，BC/ AD,AD=2AB=2BC有OD/ BC且ODBC所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB/ DC由(1)知，POLPBO为锐角，所以/PBC是异面直线PB与CD所成的角因为A=2AB=2B(=2，在RtAOB中AB=1,AO=1，所以OB = J2，在RtPOA中，因为AP = *迈,AO=，所以Of=1,在RtPO1J2PBO中,tan/PBO二=，

14、/BO寸22PBO2=arctan .所以异面直线PB与CD所成的角是2(3)假设存在点Q使得它到平面PCD勺距离为,313.设QD = x，贝ySDQCx，则(2)得CD=OB =、2，在RtPOC中,P(=OC2OP2= 2，所以PC二CD=DP13 l2v3SPCDC2)2，则VPQCVQ -PCD，得3 1x*1=3弋弋x-? 3，解得23=2，所以存在点Q满足题意,2此时如QD(3用心爱心专心-13 -AQ以存在点Q满足题意，此时母QD 37答案：B【解析】可设底面A在底面ABC内的射影为ABC的中心，所以三棱、:6*6A-ABC为正四面体，所以A1到底面ABC的距离为，所以B1到底

15、面的距离为 ,(2)以O为坐标原点，OC、OD、OP的方向分别为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz依题意，易得A(0) B (1 , -1 , 0), C (1, 0, 0), D (0,1, 0)PBCDP( 0 , 0 , 1),所以CD= (-1 , 1 , 0),PB= (1 , -1 , -1),cos：PB,CD =.|PB|CD |一1一16,所以异面直线PB与CD所成的角是arccos6-3233(3)假设存在点Q,使得它到平面PCD勺距离为 .2由(2)知CP =(-1,0,1),CD =(-1 , 1, 0)设平面PC的法向量为n =(x0,y0,z0),n CP

16、 = 0,所以丿n CD = 0,_ X。z0二0,- X。y。= 0,即x二y= z，取X0= 1，得平面PCD勺一个法向量为n =(1,1,1).设 Q (0,y,0) (-1 兰y兰 1),CQ= (-1 ,y,0),由竺也|n|讶,得二讥于,解得y15或者y-(舍去)，此时|2213AQ=,|QD|二，边长与侧棱长为 1 个单位长度，因为用心爱心专心-14 -33易知/ABB1=120,所以AB13,所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为用心爱心专心-15 -, 633-.故选B.3&答案：D【解析】连结AiCi，设AG一B1D1=0连结OB由已知得C10丄面BB1D1D ,/

17、 C1BO为所求角，在RtC1OB中，得sin/C1OB9.【解析】：（1）由题意，CO丄AO,BC丄A0BOO二面角B-AO-C的平面角.又二面角B-AO-C是直二面角，CO丄BO,又AO BO =O,COL平面AOB又C严平面COD二平面COD_平面AOB（2）解法一：作DELOB垂足为E,连结CE（如图），则DE/ AQCDE是异面直线AO与CD所成的角.1在Rt COE中，CO=BO=2 ,OEBO=12CE二.CO2OE2=5又DE =1AO2=3，在RtCDE中，tan/CDE二些，二5=-I5DE 3 315异面直线AO与CD所成角的大小为arctan .3解法二：建立空间直角坐

18、标系O-xyz，如图，则O(0, 0,0),A( 0,0,2屈屈),C(2,0,0),D( 0,1,43), OA=（5-xOA CD|OA| | CD |2i3 2.24异面直线AO与CD所成角的大小为6arccoc .4(3 )由(1)知，CCL平面AOB/ CDC 是CD与平面AOB所 成的角，且tan/CDO=C .当OD最小时,OD OD/CDOt大，这时，ODLAB,垂足为D,OD二AB二.3ABtan/CDOCD与平面AOB所成角的最大值为3arctan葺.10.【解析】如图 42-8，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D -xyz则DA= (1，0，0)，CC = (0,0,1)，连接 BDB D.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.